2019 06 29 方法精讲-数量5 程成

方法精讲-数量 5 主讲教师：程成 授课时间：2019.06.29 粉笔公考官方微信 1 方法精讲方法精讲- -数量数量 5 5（笔记笔记） 数量关系 方法精讲 5 学习任务： 1.课程内容：排列组合与概率、几何问题。 2.授课时长：3 小时。 3.对应讲义：197 页204 页。 4.重点内容： （1）掌握常用的排列、组合公式，理解分类与分步的区别，了解枚举法的 适用范围。 （2）掌握捆绑法、插空法、插板法的适用范围和使用步骤，掌握错位排列 的条件识别特征并记住常见的错排数。 （3）掌握求概率的两种情况的解题思路。 （4）掌握基本几何公式，掌握平面图形面积比例的求法、求平面最短路径 的技巧。 【注意】1.本节课主要讲解两部分，分别是排列组合与概率、几何问题。 2.排列组合与概率可能对于文科生有点障碍，高中没有接触过，但是对于公 考中的排列组合难度比高中低很多，老师从最基础概念开始讲起。 3.本节课的排列组合题老师会从基本题型讲起， 概率问题和排列组合考点一 样，多了概率的概念，整体难度不大多。排列组合与概率整体考查频繁，可能会 考查 2 题左右，一般概率比较简单。 4.对于几何问题，可能懂题目的意思，但是不知道如何下手。首先要知道基 础公式， 常见三角形、 四边形的面积和周长公式要知道， 一些特殊考法需要技巧。 5.排列组合讲解的会慢些，几何问题重点学习公式和技巧，公式需要记忆， 技巧老师会讲解。 第九节 排列组合与概率 2 【知识点】基础概念：比如从 482 人中选 2 人做幸运学员送课程，问有多少 种方法（方案），这种题是排列组合问题。最基础的是分类和分步。挑两个人可 以先挑一人，然后再挑一人，从 482 人中选 1 人有 482 种方法，选第 2 人有 481 种方法，“先再”，分步骤用乘法。 1.分类与分步： （1）分类（要么要么）：比如老师写论文期间，每天都要从家去 学校，有以下几种方式，平时开车去，如果限号就骑摩拜单车，如果下雨就打车 去，如果是周末坐公交去，问从家到学校一共有多少种方法。要么开车、要么骑 单车、要么打车、要么坐公交，任选其一可以完成事情，一步到位是分类，分类 用加法，即一共 4 种。 （2）分步（先后）：比如老师从家到学校后要学习，学习要到图 书馆，图书馆在 3 楼的经济馆，到 3 楼可以爬楼梯也可以坐电梯，问从家到图书 馆共有多少种方式。从家到图书馆要先到学校，再到图书馆，分两步完成，分步 用乘法，即 4*2 种。 2.排列与组合： 比如从 8 人中选 2 人送东西， 一人送冲刺班， 一人送一元课， 先选哪个人和后选哪个人干的事情不一样，此时有顺序。“顺序”指的是挑出来 的几个人，从总体中挑一部分人做任务，挑的人有顺序用 A，无顺序用 C。如果 A 先到则拿到冲刺班，B 后到则拿到一元课；如果 B 先到则拿到冲刺班，A 后到 则拿到一元课，得到两种不同的结果指的是有顺序，用 A（8,2）表示。如果挑 出 2 人都是送冲刺课， 则先挑 A 和先挑 B 的结果都一样， 无顺序用 C， 即 C （8,2） 。 （1）排列：与顺序有关。一个单位有 10 人，选 3 人去三个地级市视察。挑 3 人去三个不同地方，先挑的人可能去了 A 市，后挑的人可能去了 B 市，调换顺 序后结果不一样，有顺序用 A，即 A（10,3）。 （2）组合：与顺序无关。一个单位有 10 人，选 3 人去总部培训。比如选的 人是甲乙丙， 无论先挑甲还是后挑甲， 甲都会去总部， 没有顺序用 C， 即 C （10,3） 。 （3）练习： 从 6 人中挑 3 人在周日值日，此时要用 C，因为三人做的是同一个事情， 并且在同一天值日。如果挑 3 个人依次安排在周一到周三值日，则为 A（6,3）。 全班 6 人选 3 人站一排照相，比如三人站一排可能是 ABC，或者三人站一 3 排是 ACB，站队位置有区别，此时用 A，即 A（6,3）。所有排队模型都是用 A 表 示。 3.计算方法： （1）A（6,3），从下面的数开始依次递减，上面是几就乘几个，即从 6 开 始依次递减，上面是 3 就连续乘 3 个，即 A（6,3）=6*5*4=120。 （2）C（5,2），分为分子、分母两部分，分子计算方法同 A（5,2），从 5 开始连续乘 2 个；分母部分从上面的数开始乘，依次递减乘到 1 为止，即从 2 开始乘到 1，C（5,2）=（5*4）/（2*1）=10。 （3）练习：A（4,3）=4*3*2=24；C（4,2）=（4*3）/（2*1）=6。 （4）注意： 如 C（9,7）=（9*8*7*6*5*4*3）/（7*6*5*4*3*2*1）=C（9,2），意思是 9个人中挑7个人值日与9个人挑2个人留下是一样的， 公式为C （n,m） =C （n,n-m） 。 如 C（4,3）=C（4,1）=4。 常考：A（3,3）=3*2*1=6；A（4,4）=4*3*2*1=24；C（4,2）=（4*3）/ （2*1）=6；C（5,2）=C（5,3）=（5*4）/（2*1）=10；C（8,2）=（8*7）/（2*1） =28。 4.辨一辨： （1）一道有 4 个选项的单项选择题，甲乙丙丁四个人都做了，有多少种不 同的选择方案？ 答：有四个人做了，每个人都可以随便选，甲有 C（4,1）种方案，只要是 几个人中选 1 个，用 A 和用 C 都一样；乙和甲没有任何关系，乙也有 C（4,1） 种方案，同理丙和丁都是 C（4,1），要先甲再乙再丙再丁，不能一步到位，分 步用乘法，即 C（4,1）*C（4,1）*C（4,1）*C（4,1）=4 4。 （2）一道有 4 个选项的单项选择题，甲乙丙丁四个人都做了，且每人的选 项均不相同，有多少种选择方案？ 答：选项均不相同，甲有 C（4,1）种方案，乙选择的时候不能再是 C（4,1）， 而是 C（3,1），同理，丙是 C（2,1），丁是 C（1,1），先后，分步用 乘法，即 C（4,1）*C（3,1）*C（2,1）*C（1,1）=4*3*2*1=A（4,4），相当于 四个选项分给四个人，和四个人站队是一样的道理。 4 【例 1】 （2019 河南）某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括 A 科技馆在 内的 6 个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择 A 科技馆的方案有： A.1800 种 B.18750 种 C.3800 种 D.9375 种 【解析】例 1.有两个年级选 A 科技馆，相当于先从 6 个年级中挑 2 个年级 选 A 科技馆，不管是先选一年级再选二年级还是先选二年级再选一年级，结果都 一样，即 C（6,2） ； “有且只有两个年级选择 A 科技馆” ，剩下 4 个年级不能再选 A 科技馆，一共 6 个科技馆还剩下 5 个科技馆可以选择，如果剩下的是一年级、 二年级、三年级、四年级，一年级可以从 5 个科技馆中选 1 个，即一年级有 5 种； 题干中没有说剩下的科技馆有且只有一个年级可以选，则二年级可以和一年 级选的科技馆一样，即二年级有 5 种；同理，三年级、四年级都有 5 种，先 再， 分步用乘法， 列式： C （6,2） *5*5*5*5= （6*5） / （2*1） *5*5*5*5=15*5*5*5*5， 利用尾数法，尾数为 5，对应 D 项。 【选 D】 【注意】1.一个判断题有三种选择，要么选对，要么选错，要么不做，做对 得 2 分，做错扣 1 分，不做不得分。现在有 5 人做题，问一共有多少种答案。第 一人做有三种答案，第二人也有三种答案，两人都是独立作答，所以最后应该有 3*3*3*3*3=3 5种。 2.从总体里面选部分才能用 A 表示，比如剩下的 5 个科技馆分给四个年级， 每个年级都选择不一样的科技馆，此时用 A 表示，即 A（5,4） 。科技馆和科技馆 不一样，比如科技馆可以是 A、B、C、D、E，交换顺序结果不一样，所以用 A 表 示。 3.如果要求甲乙二人作答判断题， 且要求甲乙二人答案不同， 则为 A （3,2） 。 【例 2】 （2019 广东）小李今天上午有 a、b、c、d 这 4 项工作要完成，下午 有 e、f、g 这 3 项工作要完成，每半天内各项工作的顺序可以随意调整，则他今 天有多少种完成工作的顺序？ A.30 B.60 5 C.72 D.144 【解析】例 2.上午有四项工作要排，先看上午，四项工作全部干完，先干 a 和先干 b 不一样，即 A（4,4） 。同理，下午应该是 A（3,3） ，先排上午再排下午， 分步用乘法，即 A（4,4）*A（3,3）=24*6=144，对应 D 项。 【选 D】 【注意】4 个次序分给四个任务，不能用 4 4表示，而是 A（4,4） 。 【知识点】概率问题： 1.公式：概率=满足条件的情况数/总的情况数。 2.引例：袋子里有 6 个红球，4 个白球。 （1）从中任意取一个，取到红球的概率为？ 答：红球有 6 个，则满足条件的情况数为 6；总情况数为 10，则取到红球的 概率=6/10。 （2）从中任意取两个，都是红球的概率为？ 答：任意取两个是从总体中选，一共有 10 个球，先拿哪个颜色的球对结果 没有影响，即总情况数=C（10,2）；要求都是红球，则从 6 个红球中选 2 个，即 满足条件的情况数=C（6,2），P=C（6,2）/C（10,2）。 （3）从中任意两个，两个是同一种颜色的概率为？ 答：都是红色的概率为 C（6,2）/C（10,2），同一种颜色还可以都是白色， 都是白色的概率为 C（4,2）/C（10,2），要么都是红色，要么都是白色，分类 用加法，即 P=C（6,2）+C（4,2）/C（10,2）。 （4）每次取一个球，则先取得白球又取得红球的概率为？ 答：总情况数=C（10,1）*C（9,1），先取白球是 C（4,1），再取红球是 C （6,1），先后，分步用乘法，P=C（4,1）*C（6,1）/C（10,1）*C （9,1）。 （5）每次取一个球，则取得一白球一红球的概率为？ 答：先白球再红球的概率=C（4,1）*C（6,1）/C（10,1）*C（9,1）， 先红球再白球的概率=C（6,1）*C（4,1）/C（10,1）*C（9,1），P=C（4,1） *C（6,1）+C（6,1）*C（4,1）/C（10,1）*C（9,1）。 3.注意： 6 （1）考试中不提放回的情况，做题的时候不考虑放回。 （2）从中任意取两个球，总情况数应该是 C（10,2）；每次取一个球是分 两次，第一次是 10 个球选 1 个，第二次是 9 个球选 1 个，则总情况数应该是 C （10,1）*C（9,1）。 【例 3】 （2019 广西）某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝 火四周，其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为： A.2/97 B.2/98 C.2/99 D.2/100 【解析】例 3.一共 100 人坐圆桌，小张和小李坐同桌，100 个座位小张可以 随便挑，则小张的概率为 100/100=1；小李要求和小张坐一起，小张已经坐了一 个位置，则从剩下 99 个位置选 1 个位置给小李，小李和小张坐一起有两种情况 （左边或者右边） ，即小李概率为 2/99，先安排小张后安排小李，分步用乘法， 即 1*2/99=2/99，对应 C 项。 【选 C】 【注意】1.随便坐座位的概率为 1。 2.知道分母为 99 的时候， 观察选项， 分母 99 约不出来 97 或者 98 或者 100， 所以直接对应 C 项。 【例 4】 （2019 联考）甲、乙两人相约骑共享单车运动健身。停车点现有 9 辆单车， 分属 3 个品牌， 各有 2、 3、 4 辆。 假如两人选择每一辆单车的概率相同， 两人选到同一品牌单车的概率约为： A.1/6 B.2/9 C.5/18 D.1/3 【解析】例 4.P=满足情况数/总情况数。总情况数是从 9 辆单车中选 2 辆， 即 C（9,2） 。假设三个品牌为 A、B、C，如果都是 A 品牌，即 C（2,2） ；都是 B 品牌，即 C（3,2） ；都是 C 品牌，即 C（4,2） ，分类用加法，满足情况数=C（2,2） +C（3,2）+C（4,2） ，P=C（2,2）+C（3,2）+C（4,2）/C（9,2）=（1+3+6） （9*8）/（2*1）=10/36=5/18，对应 C 项。 【选 C】 【注意】总情况数不能用 C（9,1）*C（8,1） ，如果全部都用 A 表示，答案 7 一定是一样的。如果每一辆单车有编号，则总情况数为 A（9,2） ，满足情况数也 是有顺序的，都是用 A 表示。一般做题的时候都是用 C 表示，认为单车都是相同 的。 【例 5】 （2017 四川）某杂志为每篇投稿文章安排两位审稿人，若都不同意 录用则弃用；若都同意则录用；若两人意见不同，则安排第三位审稿人，并根据 其意见录用或弃用。如每位审稿人录用某篇文章的概率都是 60%，则该文章最终 被录用的概率是： A.36% B.50.4% C.60% D.64.8% 【解析】例 5.考虑被录用的情况： （1）两人都同意：0.6*0.6； （2）第一人 不同意，第二人同意，第三人同意：0.4*0.6*0.6； （3）第一人同意，第二人不 同意，第三人同意：0.6*0.4*0.6；三种情况是要么要么的关系，分类 用加法， 总概率=0.6*0.6+0.4*0.6*0.6+0.6*0.4*0.6=36%* （1+0.4+0.4） =36%*1.8， 用尾数法，6*8 的尾数为 8，对应 D 项。【选 D】 【注意】1.概率最大为 1，不能超过 1。 2.意见不同要分先后， 后面两种情况可以直接写成 C （2,1） *0.4*0.6*0.6。 3.本题类似于比赛问题， 考场上经常见到三场两胜或者五局三胜的比赛问题。 三局两胜可以前两局胜，第三场可以不玩；或者前两局出现输一场，第三局一定 胜。 五局三胜要注意前三局胜利， 后面的两局可以不玩， 或者前四局中胜了三局， 最后一句可以不玩。 【答案汇总】1-5：DDCCD 【例 6】 （2017 吉林）罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子。从中 任取 3 颗棋子。则至少有一颗黑子的情况有： A.98 种 B.164 种 C.132 种 D.102 种 【解析】例 6.从正面分析，选 3 颗棋子可以是 1 黑 2 白、2 黑 1 白、3 黑， 8 有三种情况，正面分析比较复杂，正难反易， “至少有一颗黑子”的反面情况是 一个黑的都没有，即全白。总的情况数-不满足情况数=C（12,3）-C（8,3）= （12*11*10）/（3*2*1）-（8*7*6）/（3*2*1）=220-56，利用尾数法，0-6 的 尾数为 4，对应 B 项。 【选 B】 【例 7】 （2019 联考）小王在商店消费了 90 元，口袋里只有 1 张 50 元、4 张 20 元、8 张 10 元的钞票，他共有几种付款方式，可以使店家不用找零钱？ A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】例 7.要求消费 90 元，选项本身数字不大，考虑枚举法。凑 90 元 可以有以下几种： （1）1 张 50 元，2 张 20 元； （2）1 张 50 元，1 张 20 元，2 张 10 元； （3）1 张 50 元，4 张 10 元； （4）4 张 20 元，1 张 10 元； （5）3 张 20 元， 3 张 10 元； （6）2 张 20 元，5 张 10 元； （7）1 张 20 元，7 张 10 元；一共 8 张 10 元钞票，不会出现 9 张 10 元，则一共有 7 种，对应 C 项。 【选 C】 【注意】枚举的时候要做到不重不漏，要么从小到大，要么从大到小。 【知识点】 特殊题型： 题目中有特定关键词， 有点像年龄问题， 只要出现 “年 龄” ，优先用代入排除法；或者像工程问题，每个题型有固定套路，只要判断出 题型，直接用套路解题。 1.排队模型（排成一排、站成一圈、相邻、不相邻） 。比如 4 个人站一排， 即 A（4,4） 。 2.分东西模型（至少一个、至少三个） 。 3.错位排列。 【知识点】捆绑法：相邻（在一起） 。 1.引例： 甲乙丙丁戊己6名毕业生站成一排照相， 要求甲乙丙3人必须相邻， 有（ ）种不同的站法？ 答： 如果没有三人必须相邻的条件， 6 个人站成一排照相， 应该是 A （6,6） 。 现在要求 3 人必须相邻，“相邻”就是当成一个人看，捆在一起一定是相邻的。 9 先捆有要求的，甲乙丙先捆绑，即 A（3,3），三人捆完变成一个“大胖子”， 用“大胖子”和剩下的 3 个人排序，则形成四人排列，即 A（4,4），先捆再排， 分步用乘法，即 A（3,3）*A（4,4）。 2.方法： （1）先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序； （2）再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。 3.例子：6 个毕业生合影，甲乙丙合影的时候带对象前来，拍照的时候要求 每对情侣必须相邻，则有多少种站法？ 答：甲和对象在一起，即 A（2,2），同理，乙和对象在一起也是 A（2,2）， 丙也是 A（2,2）；三对情侣先再，分步用乘法，即 A（2,2）*A（2,2） *A（2,2），最后三对情侣和剩下 3 个人一起拍照，即 A（6,6）。列式：A（2,2） *A（2,2）*A（2,2）*A（6,6）。 【例 8】 （2017 重庆选调）某画廊设计展出 10 幅不同的画，其中 5 幅国画， 4 幅油画，1 幅水彩画，展览时排成一行，要求同一品种的画必须靠在一起，且 水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？ A.A（4,4）*A（5,5） B.A（3,3）*A（4,4）*A（5,5） C.A（3,1）*A（4,4）*A（5,5） D.A（2,2）*A（4,4）*A（5,5） 【解析】例 8.“靠在一起”是相邻的意思，用捆绑法。5 幅国画先捆，有顺 序，即 A（5,5） ，4 幅油画为 A（4,4） ，要求水彩画不放在两端，则只能放中间。 国画和油画捆完之后各自当成一个 “胖子” ， 两端只能是国画或者油画， 即 A （2,2） ， 先捆再排，分步用乘法，列式：A（5,5）*A（4,4）*A（2,2），对应 D 项。【选 D】 【注意】A（2,2）可以理解为第一种情况是国画、水彩、油画，第二种情况 是油画、水彩、国画。 【例 9】 （2019 陕西）主人随机安排 10 名客人坐成一圈就餐，这 10 名客人 中有两对情侣，那么这两对情侣恰好都被安排相邻而坐的概率约在： A.0 到 2%之间 B.2%到 3%之间 10 C.3%到 4%之间 D.4%到 5%之间 E.5%到 6%之间 F.6%到 7%之间 G.7%到 8%之间 H.8%以上 【解析】例 9.10 个人站成一圈，总情况数为 A（9,9） ，P=满足情况数/总情 况数，已知两对情侣不安排相邻，一对情侣捆绑一次，总共捆绑两次，两对情侣 内部有顺序，情况数为 A（2,2）*A（2,2） 。两对情侣捆成 2 个大胖子，一共有 4 个人，还剩下 10-4=6 个人，6 个人和 2 个大胖子站成一圈，相当于 8 个人站成 一圈，为 A（7,7） 。因此，P=满足情况数/总情况数=A（2,2）*A（2,2）*A（7,7） /A（9,9）=2*2/（9*8）=1/185.6%，对应 E 项。 【选 E】 【注意】看到“相邻” “情侣” ，注意“坐成一圈” ，跟排成一队是不同的。 如 A、B、C、D 四个人坐成一圈的时候，是一个环形，他们的相对位置是一样。 如果是 A、B、C、D 排成一队，第一个位置有 4 种选择，第二个位置有 3 种选择， 第三个位置有 2 种选择，最后一个位置有 1 种选择，总共有 4*3*2*1 种情况，即 A（4,4） 。而环形有一个特点，是没有头和尾，必须找一个做参照物，假如 A 为 参照物，A 的右手边只能 3 个挑一个，B 的右手边只能 2 个挑一个，可以直接记 住结论： N 个人站成一排， 共有 A （n,n） 种情况； N 个人排成一圈， 共有 A （n-1,n-1） 种情况。 【知识点】插空法：不相邻。 1.例：甲乙丙丁戊己，6 名毕业生站成一排照相，要求甲乙丙 3 人必须不相 邻，有（ ）种不同的站法？ 答：丁戊己三个人先排，为 A（3,3） ，一共有 4 个空，挑 3 个空排甲乙丙， 有顺序，为 A（4,3） ，先再，用乘法，即 A（3,3）*A（4,4） 。 2.如果题目是甲乙不相邻，且不在两端，剩下 4 个人排列为 A（4,4）,形成 5 个空，但是甲乙不在两端，旁边的两个空不能插入甲乙，挑选中间的三个空插 入甲乙，为 A（3,2） ，分步用乘法，即 A（3,2）*A（4,4） 。 3.做题步骤： （1）先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。 （2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。 11 【例 10】（2017 江苏） 两公司为召开联欢晚会， 分别编排了 3 个和 2 个节目， 要求同一公司的节目不能连续出场，则安排节目出场顺序的方案共有： A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.30 种 【解析】例 10.“不能连续出场” ，即不相邻。假设两个公司为甲公司和乙 公司，甲公司有 3 个节目，乙公司有 2 个节目。 方法一：先排甲，为 A（3,3）,中间有 2 个空，旁边有 2 个空，必须保证甲 公司节目不相邻，只能把乙公司的节目排在中间的空，为 A（2,2） ，则 A（3,3） *A（2,2）=6*2=12，对应 A 项。 方法二：先排乙，为 A（2,2） ，形成 3 个空，甲就三个节目，一个空一个节 目，为 A（3,3） ，分步用乘法，即 A（3,3）*A（2,2）=6*2=12，对应 A 项。 【选 A】 【注意】做题建议先排少的，纠结的情况会比较少，排少的，空就比较少。 【答案汇总】6-10：BCDEA 【知识点】 N 个人排成一个圈， 共有 A （n-1,n-1） 种方式。 N 个人站成一排， 共有 A（n,n）种方式。如果要求相邻：先捆再排；如果要求不相邻：先排别人 再插空。 【例 11】 （2017 云南）某兴趣组有男女生各 5 名，他们都准备了表演节目。 现在需要选出 4 名学生各自表演 1 个节目，这 4 人中既要有男生，也要有女生， 且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种？ A.3600 B.3000 C.2400 D.1200 【解析】例 11.“不能由男生连续表演节目”即男生不相邻，插空法。已知 有 5 男 5 女，挑 4 个人，需要有男有女，男的不相邻。 （1） 1 男 3 女： 5 个男生挑 1 个， 为 C （5,1） 。 5 个女的挑 3 个， 为 C （5,3） ， 12 此时男的一定不相邻，4 个人排列为 A（4,4） ，此时情况数为 C（5,1）*C（5,3） *A（4,4）=5*10*24=1200 种。 （2） 2 男 2 女： 5 个男生挑 2 个， 为 C （5,2） 。 5 个女的挑 2 个， 为 C （5,2） 。 男的不能相邻，先排女的，为 A（2,2）,有 3 个空，插入 2 个男的，节目不一样， 有顺序，为 A（3,2） ，分步用乘法，此时情况数为 C（5,2）*C（5,2）*A（2,2） *A（3,2）=10*10*2*6=1200 种。 （3）如果是 3 男 1 女，没办法让男生不相邻，不符合要求。 分类用加法，总共有 1200+1200=2400 种情况数，对应 C 项。 【选 C】 【知识点】插板法：m 个相同元素分给 n 个不同的人，要求每人至少一个， 则共有 C（m-1,n-1）种方式。 例：11 份相同的材料分给 3 个部门，要求每个部门至少分得一份，则有多 少种不同的分配方案？ 答： 一共 11 个材料， 把 11 个材料画出来， 中间有 10 个空， 分给三个部门， 只要画 2 下， 能把 11 个材料分成 3 份， 这 3 份只有数量不同没， 材料是一样的， 只要记住结论即可，情况数为 C（11-1,3-1）=C（10,2） 。 【例 12】 （2016 深圳事业单位）将 9 封相同的信投入 3 个不同的信箱，且每 个信箱至少投入一封信，不同的投法有多少种？ A.18 B.21 C.28 D.36 【解析】例 12.9 封相同的信，相同的东西分给不同的人，即 C（9-1,3-1） 13 =C（8,2）=（8*7）/（2*1）=28，对应 C 项。 【选 C】 【注意】如果题目改成 15 封信，投入 3 个不同的信箱，每个信箱至少投入 3 封信，此时先给每人发 2 封信，一共发了 2*3=6 封信，剩下 15-6=9 封信，9 封信分给 3 个人，此时转换成每人至少一封信，即 C（9-1,3-1）=C（8,2） 。 【例 13】 （2014 广州） 某办公室接到 15 份公文的处理任务， 分配给甲、 乙、 丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于 3 份，也不得 多于 10 份，则共有多少种分配方式？ A.15 B.18 C.21 D.28 【解析】例 13.15 份公文，没有说公文的差别，默认是公文都是相同的。如 果甲乙都处理 3 份公文，丙最多处理 15-3-3=9 份公文，不可能多于 10 份，因此 不用看这个条件： “也不得多于 10” 。要求每名工作人员处理的公文份数不得少 于 3 份， 即 15 份公文分给 3 个人， 每人至少 3 份， 每人先分 2 份， 一共分了 2*3=6 份，还剩 15-6=9 份，9 份公文分给 3 个人，每个人至少一份，即 C（9-1,3-1） =C（8,2）=28 种，对应 D 项。 【选 D】 【知识点】错位排列：不能回到原位。例如四个厨师做了 4 道菜，每个人不 能吃自己做的菜。或者 4 个信封对应四个信，要求每个信封不能和自己的信装在 一起。1 个信封不回原位，有 0 种方法，2 个信封不回原位，有 1 种方法，可以 自己枚举，推出：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。考试主要考 D4=9，D5=44。万 一考到 D6、D7，可以记规律： （0+1）*2=2， （1+2）*3=9， （2+9）*4， （9+44）*5， 是一个递推数列。 【例 14】 （2014 北京）相邻的 4 个车位中停放了 4 辆不同的车，现将所有车 开出后再重新停入这 4 个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有 多少种不同的停放方式？ A.9 B.12 C.14 D.16 14 【解析】例 14.不回原位，错位排列，D4=9，对应 A 项。 【选 A】 【例 15】 （2015 山东）某单位从下属的 5 个科室各抽调了一名工作人员，交 流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方 式？ A.120 B.78 C.44 D.24 【解析】例 15.5 个科室，都交流到其他科室，不能在自己科室，即不回原 位，错位排列，D5=44。 【选 C】 【答案汇总】11-15：CCDAC 【小结】排列组合与概率： 1.基础概念： （1）排列组合： 分类用加法（要么要么）。 分步用乘法（既又）。 有序用排列 A（不可互换）。 无序用组合 C（可以互换）。 （2）概率： 15 给情况求概率：满足要求的情况数/所有的情况数。 给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。 2.经典题型： （1）凑数字/情况少：枚举法，不重不漏，按序枚举。 （2）环形排列：n 个元素环形排列有 A（n-1,n-1）种。 （3）必须相邻：捆绑法，先捆再排。 （4）不能相邻：插空法，先排再插。 （5）m 个相同物品分给 n 个主体，每人至少 1 份：插板法，C（m-1,n-1）。 （6）错位排列考的比较少。 第十节 几何问题 【注意】 几何问题这个部分就算没有任何基础， 一定记得长方形面积长*宽， 只要基本的会，难的可以转换成简单的，江苏考的不会很难。几何问题我们先讲 有公式的，再讲有技巧的题型。 【知识点】几何公式： 1.周长： （1）正方形：4a；长方形：2*（a+b） 。 （2）圆形；2r；弧长：2r*n/360（n即弧长所对应的角度） 。 2.面积： 16 （1）正方形：a；长方形：a*b。 （2）三角形：a*h/2；圆形：r；扇形：r*n/360。 （3）梯形： （a+b）*h/2；菱形：对角线乘积/2，对角线是垂直的。 3.表面积： （1）正方体：6a；长方体：2*（ab+bc+ac） 。 （2）圆柱体：2r+2rh；球体：4r。 4.体积：底面积*高。 （1）正方体：a；长方体：a*b*c。 （2）柱体：S*h；椎体：S*h/3；球体：4r/3。 【例 1】 （2019 吉林）一个圆形，半径变为原来的 4 倍之后的圆的面积，等 于半径增加 2 厘米之后的面积的 4 倍，则原来的半径是： A.1 厘米 B.2 厘米 C.3 厘米 D.4 厘米 【解析】例 1.题目给了等量关系，已知“半径变为原来的 4 倍之后的圆的 面积，等于半径增加 2 厘米之后的面积的 4 倍” ，设原来半径为 r，变化后半径 为 4r，列式：*（4r）=4*（r+2），即 4r=（r+2），出现平方，可以代 入选项，代入 A 项：r=1，4*1（1+2），排除 A 项；代入 B 项：r=2，4*2= （2+2），符合要求，B 项当选。 【选 B】 【例 2】（2019 联考） 太阳高度角是太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。 在正午时，太阳高度角为 90-|-|，为纬度， 为太阳赤纬。已知小陈的 身高为 180 厘米，他所在地的纬度为 43，当日太阳赤纬为 13。那么，在正 午时他的影子长度约为： A.60 厘米 B.90 厘米 C.104 厘米 D.208 厘米 【解析】例 2.已知他所在地的纬度为 43，当日太阳赤纬为 13，太阳高 度角为 90-|43-13|=90-30=60，如图，构成 30角的直角三角形， 求的影子长度，即底面上的投影，则图中蓝色线段，三边关系为 1：3：2，180 17 对应3份，1 份对应 180/3=1803/3=603，记住21.414，31.732，则 60360*1.7=102，对应 C 项。 【选 C】 【知识点】常考三角形： 1.45等腰直角三角形： 假设直角边是 1， 满足勾股定理， 斜边为 1+1=2， 三条边的比例关系为 1：1：2。 2.30角的直角三角形，30角对应的直角边为斜边的一半，假设 30角 对应的直角边为 1， 则斜边为 2， 根据勾股定理， 1+？=2， 另一个直角边为3。 三 条边的比例关系为 1：3：2。 3.正常考的整数直角边，如勾三股四弦五，直角三角形的三条边分别为 3、 4、5，考试难一点比如扩大 2 倍，直角三角形的三条边分别为 6、8、10，或者 三条边为 30、40、50，有时候也考直角三角形的三条边分别为 5、12、13，但是 考的比较少。 18 【例 3】 （2014 河南）两个半径不同的圆柱形玻璃杯内盛有一定量的水，甲 杯的水位比乙杯高 5 厘米。甲杯底部沉没着一个石块，当石块被取出并放进乙杯 沉没后，乙杯的水位上升了 5 厘米，并且比这时甲的水位还高 10 厘米，则可得 知甲杯与乙杯底面积之比为： A.3：2 B.1：2 C.2：3 D.3：5 【解析】例 3.假设甲杯的最开始的高度为 h，已知“甲杯的水位比乙杯高 5 厘米” ，乙杯的高度比甲杯低，乙杯最开始的高度为 h-5。当石块放入乙，乙杯 的高度变成 h，比此时甲杯的水位还高 10 厘米，甲杯高度从 h 变成 h-10，乙杯 高度 h-5 变成 h，水面变化的体积对应石块的体积，石块的体积是不变的，V=底 面积*高，则石块的体积=S甲*10=S乙*5，S甲/S乙=1/2，对应 B 项。 【选 B】 【例 4】 （2019 广东）某小区规划建设一块边长为 10 米的正方形绿地。如图 所示，以绿地的 2 个顶点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不同的 区域。小区现准备在图中阴影部分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为多少平方米？ 19 A.100-25 B.200-35 C.200-50 D.100-100 【解析】例 4.规则图形可以直接代公式，不规则图形需要变成规则图形， 采用割/补/平移的方式，把图中左下方阴影部分的面积往上移，则左下方下变成 一个 1/4 的圆，此时阴影部分面积=正方形-1/4*圆=100-1/4*10=100-25， 对应 A 项。 【选 A】 【注意】如果一个不规则图形，四个选项分别为 100-24/3、100-25、25 -100、37/6，遇到这样的形式，可以根据选项来排除。本题跟圆有关，答一定 带，可以排除 100-24/3、37/6。剩下两个选项，看一下谁大谁小，面积不可 能出现负数，3.14，25-1000，可以直接排除。 【知识点】面积的比例关系： 1.同底（同高）时，面积之比等于高（底）之比。 2.相似三角形中，面积之比等于相似比的平方。如下图，有一个ABC，D、 E 分别是 AB 和 AC 的中点，问ADE 和ABC 的面积之比。已知 AD/AB=1/2，相似 比为 1：2，面积之比等于相似比的平方，则 SADE：SABC=1：4。 【例 5】 （2016 联考）如下图，正方形 ABCD 边长为 10 厘米，一只小蚂蚁 E 从 A 点出发匀速移动，沿边 AB、BC、CD 前往 D 点。问哪个图形能反映三角形 AED 的面积与时间的关系？ 20 A. B. C. D. 【解析】例 5.SADE=1/2*底*高，不管 E 在哪里，底边 AD 是不变的，面积跟 高有关，高越大，面积越大，高越小，面积越小。从 A 点到 B 点的过程，高度是 逐渐上升的，面积是越来越大，四个选项均符合。到达 B 点的时候，E 在 BC 任 何一点高都是一样，即从 B 点到 C 点移动的过程中，面积是不变的，是一个水平 线，只有 A 项符合，当选。 【选 A】 【答案汇总】1-5：BCBAA 【例 6】 （2017 广东）如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形 的小草坪组成。已知四边形草坪的面积为 480 平方米，其中两个小三角形草坪的 21 面积分别为 70 平方米和 90 平方米， 则四块三角形小草坪中最大的一块面积为多 少平方米？ A.120 B.150 C.180 D.210 【解析】例 6.如图，左上方的三角形为甲，甲和面积为 70 的三角形高是相 同。同理，左下方的三角形为乙，乙和面积为 90 的三角形高是相同的，这是由 于有共同的顶点，底边都是在一个直线上。高相同，面积之比跟底面之比有关， 如图，S甲/70=AO/BO=S乙/70，可得 S甲/S乙=7：9。 方法一：可以蒙，答案一定是 9 的倍数，只有 C 项符合。 方法二：一共 480，剩下的面积为 480-70-90=320，320 对应甲和乙的面积 和，设甲为 7x，乙为 9x，则 320=16x，解得 x=20，求最大的一块面积，即 9x=9*20=180，对应 C 项。 【选 C】 【注意】如果题干给了图和数字，江苏考试和国考一般图都是标准的，但是 广东是不一定的，可能把 30角画成 60角。做江苏的题目图是标准的，可以 去量，比如量出底边为 1cm，对应 3，量出高为 1.5cm，则高对应 3*1.5。如果是 广东出题，可能改图或者改材料，数量关系的图是随便画的（不标准） ，资料分 析的材料会把数字直接调换了。因此对于江苏的题目，数量可以拿尺子，资料可 22 以根据常识蒙，广东则不行。 【例 7】 （2017 河南）一块三角形农田 ABC（如下图所示）被 DE、EF 两条道 路分成三块。已知 BD=2AD，CE=2AE，CF=2BF，则三角形 ADE、三角形 CEF 和四边 形 BDEF 的面积之比为： A.1：3：3 B.1：3：4 C.1：4：4 D.1：4：5 【解析】例 7.如果图形是“A”字型或“沙漏”型，一般考的是相似三角形， 已知 AD：BD=1：2，AE：CE=1：2，DEBC，ADE 和ABC 是相似的，但是考试 不用去证明，会用即可。ADE 和ABC 的面积可以计算，假设 AD=1，则 BD=2， AB=3，AD：AB=1：3，相似比为 1：3，则ADE 和ABC 的面积比为 1：9。此时 可以进行验证，SABC=SADE+SCEF+S四边形 BDEF，即 SADE：SADE+SCEF+S四边形 BDEF=1：9。验 证 A 项：1+3+3=7，排除；B 项：1+3+4=8，排除；C 项：1+4+4=9，保留；D 项： 1+4+5=10，排除。因此 C 项当选。 【选 C】 【注意】1.底不变，高相等时，识别是方式是有一个共同的顶点，底边在一 条直线上。 2.当见到“A”字型、 “沙漏”型图形时，一般考的是相似三角形。 【知识点】最短路径： 例：如图，河边有相距 4 公里的甲乙两个乡村，河宽 1.5 公里。要在河对岸 建一座游乐场，要求游乐场到两个村庄的总距离最短，则游乐场到两个村庄的总 路程为？ 答：两点之间直线最短，不能直接连接甲乙，需要找甲的对称点，用对称点 23 和乙村连接起来，与河的交点即游乐场的位置。如图，河宽为 1.5，则甲到对称 点的距离为 1.5+1.5=3，已知甲乙的距离为 4，根据勾股定理，对称点和乙距离 为 5，即最短距离为 5。 【例 8】 （2017 联考）悟空与二郎神在离地面 1 米的空中决斗，两人相距 2 米，悟空想用分身直接偷袭二郎神，为了不引起对方的警觉，分身必须在地面反 弹一次再进行攻击，则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为： A.22米 B.3米