傅立叶级数超详解ppt课件

高等数学,附录3傅立叶级数,1,附录3傅里叶级数,本节介绍将函数展为三角级数，即,2,一、物理背景,1.具有倍频率的简谐振动的叠加,简谐振动是最简单的振动，在适当坐标系中，可用我们熟悉的正弦函数表示为,3,设有一系列的简谐振动,4,序列(1)称为具有倍频率的简谐振动列，,显然第1个简谐振动的周期是序列(1),的公共周期.,序列(1)中的任意两个简谐振动的叠加，,已不再是简谐振动了.比如两个同振幅、同,初相但不同频率的简谐振动,5,6,7,8,9,2.周期振动的分解谐波分析,采用“逆向思维”，可知我们实际上解决了上述问题的反问题：将一个周期运动分解为一系列简谐振动的叠加，从而通过简谐振动来把握一般的、复杂的周期振动.在物理学的许多领域(力学、电工、电讯等)正是这样做的.人们称之为“谐波分析”.,10,谐振分析，在数学上就是将一个周期函数展为三角级数.为此，至少要解决下面两个问题：,11,12,二、Fourier系数与Fourier级数,利用三角函数系的正交性，很容易确定三角,级数,的系数,1.三角函数系的正交性,(1)定义5.1设函数系在,13,(2)三角函数系,即任意两个不同函数乘积在上的积分均为0.,14,此外，还有,2.Fourier系数,15,两边积分得(注意三角函数系的正交性),16,两边同乘以后，积分得,17,两边同乘以后，积分得,18,19,2.Fourier级数,以的Fourier系数为系数的三角级数称为,的Fourier级数，记为,20,由上面的分析可知：,21,例1设,22,23,24,所以,注意：以上只是形式地求出了函数的Fourier级,数，至于函数要满足的条件，以及级数的收敛性、,和函数等，均未涉及，故记为,25,3.Fourier级数收敛的Dirichlet条件,定理(收敛定理，Dirichlet条件),Dirichlet条件，即,(1)连续或至多有有限多个第一类间断点；,(2)至多只有有限多个极值点；,则的Fourier级数处处收敛，且和函数为,即,26,证明从略.,显然这是一个充分性条件，但这也是一个很宽,松的条件，以至于科学和工程技术中出现的函数,大都能够满足.,27,例2求例1中Fourier级数的和函数,解由收敛定理，得,并画出和函数的图形.,28,若令，得,29,30,31,32,或任何)上给出的、且满足Dirichlet条件,的函数,也可以将其展为以为周期的Fourier,级数.步骤如下：,(1)将延拓成在整个数轴有定义的以为周,期的、且满足Dirichlet条件的函数；,4.对于只在长为的区间(如,或,(2)求出的Fourier级数，它在上的限制就,是的以为周期的Fourier级数.,注意:Fourier级数的和函数在的端点处的值,相等，且,33,34,35,36,(3)实际做展开时,没有必要将的图形画,出,更没有必要写出的解析表达式(通常很难),这是因为,于是,37,38,39,40,三、正弦级数与余弦级数,1.奇函数与偶函数的Fourier级数,定理,41,42,43,44,45,2.只在半区间上给出的函数,展成以为周期的Fourier级数,46,47,48,49,50,51,52,53,四、一般周期函数的Fourier级数,1.实际应用