优质课选修4-4第二讲_参数方程(圆锥曲线的参数方程)ppt课件

第二讲参数方程,1,（1）,并且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围,1、参数方程的概念：,一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,2,复习,圆的参数方程,1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:,2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:,3,y,x,o,r,M(x,y),4,例、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。,解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，,参数方程为,(为参数),5,椭圆的标准方程：,椭圆的参数方程：,离心角,一般地：,在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab,6,椭圆的标准方程：,椭圆的参数方程：,离心角,一般地：,在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab,7,练习把下列普通方程化为参数方程.,(1),(2),8,说明：,这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.,双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.,9,抛物线的参数方程,o,y,x,),H,M(x，y),10,小结:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：,1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。,化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。,11,步骤：（1）消参；（2）求定义域；,12,例4,思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,13,复习,圆的参数方程,1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:,2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:,3.椭圆的标准方程：,它的参数方程是什么样的？,14,例4,15,小结,椭圆的标准方程：,椭圆的参数方程：,离心角,一般地：,在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab,16,练习把下列普通方程化为参数方程.,(1),(2),17,直线的参数方程(标准式）,思考：（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？（2）参数t的取值范围是什么？（3）该参数方程形式上有什么特点？,2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:,18,|t|=|M0M|,x,y,O,M0,M,解:,所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.,这就是t的几何意义,要牢记,19,注意向量工具的使用.,此时,若t0,则的方向向上;若t0,b0)为半径分别作同心圆C1,C2.,设A为圆C1上任一点,作直线OA,过A作圆C1的切线AA与x交于点A,过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于点B。,过点A,B分别作y轴,x轴的平行线AM,BM交于点M,设OA与OX所成角为(0,2),/2,3/2),求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。,44,45,b,a,o,x,y,),M,B,A,事实上,46,(t是参数,t0),化为普通方程,画出方程的曲线.,练习:,4,47,例1.求点M0(0,2)到双曲线x2y2=1上点的最小距离。,48,不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线MA的方程为,解得点A的横坐标为,平行四边形MAOB的面积为,由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，,与点M在双曲线上的位置无关,49,说明：,这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.,双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.,50,例3,51,例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。,证明：设双曲线方程为,取顶点A2(a,0),弦ABOx，,弦AB对A1张直角，,同理对A2也张直角,52,例5已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,求证：,，,解：设A，B坐标分别为,则中点为M,于是线段AB中垂线方程为,将代入上式,(A，B相异)，,53,例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。,54,55,抛物线的参数方程,56,前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程:,对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？,以抛物线的普通方程,为例，其中p为焦点到准线的距离。,57,设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作,显然，当在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程.,因为点M在的终边上，根据三角函数定义可得,由方程,(为参数),这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.,58,如果令,(为参数),当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当时，,（t为参数）,就表示整条抛物线参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,59,C,练习,60,例1如图，O为原点，A,B为抛物线上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB于M，求点M的轨迹方程,61,当点A,B在何位置时,AOB面积最小？最小值是多少？,62,63,练习已知椭圆C1:及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范围。,代入得cos2+4cos+2m-1=0,所以t2+4t+2m-1=0在-1,1内有解；,64,3已知A,B,C是抛物线y2=2px(p0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D,E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.,练习,65,4经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。,解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为,由y2=2px和y=kx，得,A点坐标为,同理B点坐标(2pk2,-2pk),66,5已知椭圆上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B1,B2的连线分别与x轴交于P,Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|为定值。,67,当直线与曲线恒有公共点时，必满足,68,69,M,如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作x轴垂线,垂足为N,过点B作y轴垂线,BMAN,垂足为M,A,N,B,设以Ox为始边，OA为终边的角为，,点M的坐标是(x,y)。,那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。,由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有:,yNM,xON,这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。,常数a、b分别是椭圆的