高考数学总复习转化与化归的思想

高考冲刺 转化与化归的思想编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。【知识升华】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解. 2转化与化归的基本类型 （1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则. （2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量. （3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地反映函数或方程中的变量之间的关系. （4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等. （5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等. （6）实际问题与数学模型的转化. 3常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径. （4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化. （5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. （6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题. （7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论. （8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题. （9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化的途径进行转化. （10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的. （11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法. （12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.4利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：【典型例题】类型一、函数、方程与不等式之间的转化与化归【例1高清转化与化归的思想例题1 ID:404094】设函数f(x)x3(1a)x24ax24a，其中常数a1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围【思路点拨】(1)求f(x)0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.【解析】(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)由已知a1，2a2，令f(x)0，解得x2a或x2，当x(，2)和x(2a，)时，f(x)单调递增，当x(2,2a)时，f(x)单调递减综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)由(1)知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值f(2a)(2a)3(1a)(2a)24a2a24aa34a224aa(a6)(a3)，f(0)24a.由题设知即解得1a6.故a的取值范围是(1,6)【总结升华】函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围举一反三：【变式】函数的定义域为 【答案】【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：。【例2】已知数列满足则的最小值为_.【答案】【思路点拨】利用递推数列的通项公式构造函数，利用导数判断函数单调性求解。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，所以，的最小值为.【总结升华】数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。类型二、常量与变量的转化问题例3（2016 江苏模拟改编）若已知不等式2x1m（x21）对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为 【思路点拨】构造变量m的函数，对x210，x210，x21=0，进行分类讨论，利用|m|2时函数的取值，分别求出x的范围，然后求并集即可【答案】【解析】构造变量m的函数求解：2x1m（x21）即：（x21）m（2x1）0构造关于m的函数f（m）=（x21）m（2x1），|m|2即2m2（1）当x210时，则f（2）0 从而 2x22x10 解得：又x210，即x1 或 x1，所以 1x；（2）当x210时，则f（2）0 可得2x22x+30 从而 2x2+2x30解得 x或x又1x1，从而x1（3）当x21=0时，则f（m）=12x0 从而x，故x=1；综上有：x故答案为【总结升华】对于含参数的不等式问题，有的时候转变思路化“参变量”为“自变量”，往往会收到“柳暗花明又一村”的效果.举一反三：【变式1】已知a0且a1，若关于x的方程loga(x-3)-loga(x+2)-loga(x-1)=1有实根，求实数a的取值范围.【解析】要使原方程有意义，需，解得x3. 原方程化为：. x-3=a(x-1)(x+2)在区间(3, +)上有解，. 问题转化为求右端在(3, +)上的值域， 即将a看作x的函数a(x). 由 ， x3, x-30，. 当且仅当，即时取等号. . 又x3时，a0, , 故a的取值范围是.【变式2】(2016 河南模拟)若对任意的 x-,-1，不等式 3m-12x0, 则实数p的取值范围是（ ）. A、 B、 C、 D、【解析】问题转化为先求在-1，1内没有一个实数C使f(c)0，即对任意x-1,1，f(x)0的P的取值范围.由二次函数f(x)在-1，1的图形易知：f(1)0且f(-1)0, 解得：或P3.满足已知条件的P的取值范围为.【变式3】已知三条抛物线：，中至少有一条与x轴相交，求实a的取值范围.【答案】或.类型五、换元转化问题【例8】已知aR，求函数的最小值【思路点拨】，而与有联系，可设，则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题【解析】设，则，而，于是yf(t)a2a(sinxcosx)sinxcosxa2at(t21)t2ata2(ta)2a2.原问题转化为求二次函数f(t)(ta)2a2在上的最值问题(1)当a，ta时，f(t)mina2；(2)当a时，f(t)在，上单调递减，f(t)minf()a2a；(3)当a时，f(x)在，上单调递增，f(t)minf()a2+a【总结升华】代数问题三角化，往往可充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的问题得以简化，从而获得解答一般地，当条件能转化成如下形式时，就可以考虑三角代换：(1)若a2b21，可设acos，bsin；(2)若a2b21，可设arcos，brsin(0r1)；(3)对于，|x|1，由|cos|1或|sin|1知，可设xcos或xsin.举一反三：【变式】函数f(x)4log24x在区间上的最大值等于()A24B16 C25 D24【答案】故选C.【解析】设log2xt，则t3,2，故函数f(x)可转化为yg(t)4(t3)(t2)4t24t244(t)225，因为t3,2，所以当t时，函数g(t)取得最大值为25.故选C.【例9】求函数的最大值.【思路点拨】令t=sin x，将函数转化为关于t的二次函数，再求二次函数在区间1，1上的最大值.【解析】.设sin x=t，则1t1，令.如图所示，当a0时，有. 同理，当a0时，有.所以，当a0时函数的最大值为34a.当a0时函数的最大值为3+4a.【总结升华】通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意：换元后所得t的函数的定义域为1，1；应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间1，1的位置，才能确定其最值.举一反三：【变式1】已知x2+y2=1，则z=x2y的取值范围是_.【解析】令x=cos，y=sin，则，.【变式2】已知aR，求函数y=(asin x)(acos x)的最小值.【解析】设t=sin x+cos x，则，故.而，于是，.原问题化归为求二次函数在上的最值问题.当时，若t=a，；当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，.【变式3】已知，tR.（1）当t=1时，解不等式；（2）如果x0，1时，恒成立，求参数t的取值范围. 【答案】（1） （2）t1类型六、命题的转化【例10】关于x的方程x33x2a=0只有一个实数根，求a的取值范围.【思路点拨】本题是一个高次方程的问题，无法用判别式去判定根的个数，故可以转化命题，转化为曲线y=x33x2与直线y=a有一个交点，求实数a的取值范围.【解析】由x33x2a=0得a=x33x2，令，令，得x=0或x=2.当x（，0）时，；当x（0，2）时，；当x（2，+）时，.所以在（，0）和（2，+）上是增函数，在（0，2）上为减函数.又，.如图所示，画出的草图.结合图象，直线y=a与曲线y=x33x2有一个公共点时，则a4或a0.所以关于x的方程x33x2a=0只有一个实数根时，实数a的取值范围为a4或a0.【总结升华】在解题的过程中，直接考虑思维受阻时，要学会变换解决问题的角度，转化命题的形式，使问题变得直观、简洁，进而使问题得以解决，有些问题可以考虑其反面，通过解决反面使问题得以解决，有些空间中的问题转化为平面问题则变得简洁.这就是转化与化归思想的真谛.举一反三：【变式】设02，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个实根的和.【解析】将原方程转化为三角函数的图象与直线有两个不同的交点时，求a的范围及+的值.如图，在同一坐标系中，作出及y=m的图象，由图可知：当或时，直线与曲线有两个交点，即原方程有两个不同实根.若，设原方程的一个根为，则另一个根为. 若，设原方程的一个根为，则另一个根为，. 且由对称性可知，这两个实根的和为或.类型七、空间线面关系的转化【例11】D1D A C1A1 B1B C(2016 西城模拟) 如图，在四棱柱中，底面，. （）求证：平面；（）求证：； 【思路点拨】证明线面平行，常用方法是转化为证线线平行或面面平行；证明线线垂直，常常转化为线面垂直。【解析】（）证明：因为，平面，平面， 所以平面. D1D A C1A1 B1B C 因为，平面，平面， 所以平面. 又因为， 所以平面平面. 又因为平面， 所以平面. （）证明：因为底面, 底面，所以. 又因为,所以平面. 又因为底面， 所以. 【总结升华】在立体几何证明中，两类转化关系相当重要：线线平行线面平行面