高考数学总复习分类讨论的思想

高考冲刺 分类讨论的思想编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。【知识升华】1分类讨论的常见情形（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c0，a=0，a0，a0解法是不同的.（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.2.分类的原则（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3.分类讨论的一般步骤第一，明确讨论对象，确定对象的范围；第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论.4. 分类讨论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.【典型例题】类型一、不等式中参数的讨论问题【例1】解关于的不等式：.【思路点拨】依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时，先写简单好作的.【解析】（1）当时，原不等式化为一次不等式：，；（2）当时，原不等式变为：，若，则原不等式化为，不等式解为或，若，则原不等式化为，（）当时，不等式解为，（）当时，不等式解为；（）当时，不等式解为，综上所述，原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为x|x1；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.总结升华：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a0或a0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。举一反三：【变式】解关于的不等式:（）.【解析】原不等式可分解因式为: ，（下面按两个根与的大小关系分类）（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；（1）当，即时，不等式的解集为：；（2）当，即或时，不等式的解集为：；综上所述，原不等式的解集为：当或时，；当时，；当或时，.例2（2015秋 会宁县校级期末）已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb（1）求a，b； （2）解关于x的不等式ax2（ac+b）x+bc0 （cR）【思路点拨】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得1和b是相应方程的两个实数根，由根与系数的关系建立关于a、b的方程组，解之即可得到实数a、b的值（2）由（1），得所求不等式即x2（c+2）x+2c0，再讨论实数c与2的大小关系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案【解析】（1）根据题意，得方程ax23x+2=0的两个根为1和b，由根与系数的关系，得，解之得a=1，b=2； （2）由（1）得关于x的不等式ax2（ac+b）x+bc0，即x2（c+2）x+2c0，因式分解，得（xc）（x2）0当c=2时，原不等式的解集为；当c2时，原不等式的解集为（c，2）；当c2时，原不等式的解集为（2，c）举一反三：【变式】（2015春 山西校级期末）关于x的不等式ax2+（a2）x20（aR）（1）已知不等式的解集为（，12，+），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a2）x20【解析】（1）关于x的不等式ax2+（a2）x20可变形为（ax2）（x+1）0，且该不等式的解集为（，12，+），a0；又不等式对应方程的两个实数根为1和2；=2，解得a=1；（2）a=0时，不等式可化为2x20，它的解集为x|x1；a0时，不等式可化为（ax2）（x+1）0，当a0时，原不等式化为（x）（x+1）0，它对应的方程的两个实数根为和1，且1，不等式的解集为x|x或x1；当a0时，不等式化为（x）（x+1）0，不等式对应方程的两个实数根为和1，在2a0时，1，不等式的解集为x|x1；在a=2时，=1，不等式的解集为x|x=1；在a2时，1，不等式的解集为x|1x综上，a=0时，不等式的解集为x|x1，a0时，不等式的解集为x|x或x1，2a0时，不等式的解集为x|x1，a=2时，不等式的解集为x|x=1，a2时，不等式的解集为x|1x类型二、函数与方程中的分类讨论问题【例3】函数的图象可能是（ ）【思路点拨】对底数分两种情况讨论，结合图像恒过的定点可解。【答案】D；【解析】当时单调递增，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，故C不正确 ；D正确.【总结升华】含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。举一反三：【变式】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+)上恒有f(x)3，不满足题意；(2)当，则，此时，x(-1，+)时，即f(x)3，满足题意为所求.综上，.【例4】已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.【思路点拨】(1) 根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值。(2)利用分类讨论的方法对参数a进行讨论求解。【解析】(1)由为公共切点可得:,则, ,则, 又,即,代入式可得:. (2),设 则,令,解得:,; , 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 若,即时,最大值为; 若,即时,最大值为 若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 【总结升华】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点. 举一反三：【变式】设，（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+）上的单调性；（2）记f(x)在0x1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式.解析：（1）设0x1x20，ax1x20当0x1x2时，f(x2)-f(x1)0，即f(x2)f(x1)，则f(x)在区间0，单调递减，当x1x20，即f(x2)f(x1)，则f(x)在区间（，+）单调递增.（2）因为0x1，由（1）的结论，当01，即0a0 (n1，2，3)(1)求q的取值范围；(2)设bnan2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小【思路点拨】(1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论(2)能否判断bn为特殊数列进而求和作差、作商比较大小【解析】(1)an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0，当q1时，Snna10；当q1时，Sn，即 (n1,2,3，)，上式等价于(n1,2,3，)或 (n1,2,3，)，解式得q1；解式，由于n可为奇数、可为偶数，故1q0且1q0，所以当1q2时，TnSn0，即TnSn；当q2且q0时，TnSn0，即Tnbn；当n=10时，Sn=bn；当n11时，Snbn.类型四、解析几何中的分类讨论问题【例7】已知椭圆C的方程为，点P（a,b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程.（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.【思路点拨】本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识.【解析】（1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）.当x1x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b由已知，y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0由得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b由、及，得点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0当x1=x2时，l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0），显然Q点的坐标满足方程.综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0.设方程所表示的曲线为L，则由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0由于=8b2(a2+-1)，由已知a2+1所以当a2+=1时，=0，曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）.当a2+1时0，曲线L与椭圆无交点，而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内.故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.(2)由，解得或，又由，解得或，则当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点.曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0)当a=0且0|b|时,即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时,点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0)当b=0且0|a|1时，即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时,曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0).当0|a|1且0|b|时,即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时,曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.举一反三：【变式】讨论k的取值，说明方程表示的曲线.【解析】方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线，故需要对k值就以上情况分类讨论.当k2=0即k=0时，方程化为，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线.当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0) 斜率不存在的两平行直线.当k2=2k-1,即k=1时，方程化为，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆 当k0，k1时方程可化为当方程表示焦点在平行y轴直线上，中心在的椭圆当时，方程表示以为中心，焦点在x轴上的双曲线.【总结升华】处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，分类讨论。【例8】已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为 （）求椭圆的方程及离心率；（）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明【思路点拨】（1）有待定系数法可求出椭圆方程。（2）先设出直线AP的方程，根据题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径，再将AP的方程与椭圆方程联立，得到交点A、P的坐标关系，因为A点的坐标已知，从而求出点P的坐标，然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可【解析】（）由题意可设椭圆的方程为，由题意知解得， 故椭圆的方程为，离心率为 （）以为直径的圆与直线相切 证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为由得设点的坐标为，