高考数学必修知识讲解《函数》全章复习与巩固 提高

函数全章复习与巩固【学习目标】1会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；2能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法了解每种方法的优点在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6能运用函数的图象理解和研究函数的性质【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的函数有三要素定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等2函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数3映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射4函数的定义域函数的定义域是自变量的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约其题型主要有以下几种类型：（1）已知得函数表达式，求定义域；（2）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围5函数的值域由函数的定义知，自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如的函数，可用换元法即设，转化成二次函数再求值域（注意）；（3）形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为；（4）形如（中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域6函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象要点五：一次函数和二次函数1一次函数，其中2二次函数二次函数，通过配方可以得到决定了二次函数图象的开口大小及方向顶点坐标为，对称轴方程为对于二次函数当时，的图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递减的，在上是单调递增的；当时，函数取得最小值当时，的图象开口向下；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数，我们把使得实数叫做函数的零点（2）确定函数的零点，就是求方程的实数根（3）一般地，如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法来说，我们可以将它与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0（5）在实数范围内，二次函数的零点与二次方程的根之间有密切关系，方程有两个实根，其对应二次函数有两个零点；，方程有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；，方程无根，其对应二次函数无零点【典型例题】类型一：映射例1设集合，f是A到B的映射，并满足（1）求B中元素（3，4）在A中的原象；（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识【答案】（1）（1，3）或（3，1）；（2）b24a0；（3）b2=4a【解析】（1）设（x，y）是（3，4）在A中的原象，于是，解得或，（3，4）在A中的原象是（1，3）或（3，1）（2）设任意（a，b）B在A中有原象（x，y），应满足由可得y=xb，代入得x2bx+a=0 当且仅当=b24a0时，方程有实根只有当B中元素满足b24a0时，才在A中有原象（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题举一反三：【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（ ）A1 B2 C3 D4【答案】 D 【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x24x+2=0的两根，故a+b=4类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（，0）为增函数若对于，且，则有 ( ) A B C D 【答案】D 【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确 【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题 举一反三：【变式1】（1）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间0，2上是增函数，则（ ）A BC D（2）定义在R上的偶函数f (x)，对任意x1，x20，+）（x1x2），有，则（ ）A BC D【答案】（1）D （2）A 【解析】（1）由函数是奇函数且在0，2上是增函数可以推知在2，2上递增，又，故函数以8为周期，故故选D（2）由题知，为偶函数，故，又知x0，+）时，为减函数，且321，即故选A例3设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（ ）A2 B4 C8 D不能确定【答案】 B【解析】 依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x1，x2（x1x2），且，的最大值是依题意，当sx1，x2的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍x1，x2中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，又a0，因此a=4，选B项举一反三：【变式1】若函数的定义域是0，2，则函数的定义域是（ ）A0，1 B0，1） C0，1）（1，4 D（0，1）【答案】 B 【解析】 要使有意义，则，解得0x1，故定义域为0，1），选B例4设函数（1）画出函数的图象；（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围【答案】（1）右图；（2）【解析】 （1）由于，则函数的图象如图所示（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a2时，函数与函数y=ax的图象有交点故不等式的解集非空时，a的取值范围为举一反三：【变式1】对于实数和,定义运算“”:,设,且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是_.【答案】 【解析】由定义运算“*”可知 ,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是. 【变式2】（2016 山东）已知函数，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_【思路点拨】作出函数的图象，依题意，可得（m0），解之即可【答案】（3，+）【解析】当m0时，函数的图象如下： xm时，y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须（m0），即（m0），解得m3，m的取值范围是（3，+），故答案为：（3，+）例5（2016春 云南保山期末）定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，当x0时，（1）求f（x）在R上的表达式；（2）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）【思路点拨】（1）设x0时，则x0，利用f（x）=f（x），以及当x0时，求得x0时函数解析式，从而得出结论（2）根据函数的解析式求得y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间【答案】（1）；（2）【解析】（1）定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，当x0时，设x0时，则x0，故，综上可得，（2）根据函数的解析式可得，当x=2时，y=f（x）取得最大值为4，结合f（x）的图象定出f（x）在R上的单调增区间为（，2、0，2；减区间为2，0、2，+）【总结升华】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求函数的最值以及单调区间举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】【变式1】已知函数，且f（1）=1（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+）上的单调性，并用定义加以证明【答案】（1）2 ；（2）单调递增【解析】（1），定义域为：（2）在（0，+）上任取，则 =所以函数在上单调递增【变式2】函数在上有定义,若对任意,有,则称在上具有性质.设在1,3上具有性质,现给出如下命题:在上的图像时连续不断的; 在上具有性质;若在处取得最大值,则;对任意,有其中真命题的序号是（）ABCD【答案】D 【解析】正确理解和推断可知错误,错误 例6请先阅读下列材料，然后回答问题对于问题“已知函数，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”一个同学给出了如下解答：解：令u=3+2xx2，则u=(x1)2+4，当x=1时，u有最大值，umax=4，显然u没有最小值当x=1时，有最小值，没有最大值（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；（2）对于函数，试研究其最值情况【答案】（1）不正确；（2）当0时，既无最大值，也无最小值；当0时，有最大值，此时，没有最小值【解析】（1）不正确没有考虑到u还可以小于0正确解答如下：令u=3+2xx2，则u=(x1)2+44，当0u4时，即；当u0时，即或，即既无最大值，也无最小值（2）对于函数，令u=ax2+bx+c（a0）当0时，u有最小值，当时，即；当u0时，即或，即既无最大值，也无最小值当=0时，u有最小值，此时，u0，即，既无最大值，也无最小值当0时，u有最小值，即，即当时，有最大值，没有最小值综上，当0时，既无最大值，也无最小值当0时，有最大值，此时，没有最小值【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题举一反三：【变式1】（1）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）A B C D【答案】 C 【解析】 函数的定义域为3，1又而，4y28又y0，m=2故选C项（2）设，是二次函数，若的值域是0，+），则的值域是（ ）A（，11，+） B（，10，+）C0，+） D1，+）【答案】C【解析】要使的值域是0，+），则可取（，10，+）又是二次函数，定义域连续，故不可能同时取（，1和0，+）结合选项只能选C项 【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型如本例（1），也有创新题如本例（2）解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出的值域，要求的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题类型三：函数的零点问题例7若函数在区间（1，6）内有零点，求的取值范围【答案】【答案】 二次函数在区间（，）上有零点，分以下四种情况：【解析】（1），解得，如图1（2），解得，如图2（3），解得，如图3（4）或，解得，如图4或5综上所述的取值范围是【总结升华】二次函数（不妨设）在有限的开区间内有零点的条件是：（1）（2）（3）（4）或举一反三：【变式1】试讨论函数的零点个数【解析】由得，令的图象如图所示，当即时，与无公共点当或，即或时，与有两个交点当即时，与有四个交点当，即时，与有三个交点所以，当时，函数无零点当或时，函数有两个零点当时，函数有四个零点当时，函数有三个零点【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径例8已知,函数.（）证明：函数在上单调递增；（）求函数的零点【答案】（）略 ；（）详见解析【证明】（）在上任取两个实数,且, 则 , , 即. 函数在上单调递增 （）()当时, 令, 即, 解得.是函数的一个零点 （）当时, 令, 即()当时, 由()得,是函数的一个零点；当时, 方程()无解；当时, 由()得,(不合题意,舍去)综上, 当时, 函数的零点是和； 当时, 函数的零点是类型四：函数的综合问题例9（1）已知函数在区间1，2上最大值为4，求实数a的值；（2）已知函数，x1，1，求函数的最小值【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a0，a0三种情况分析；第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定【答案】（1）3或；（2）略【解析】 （1）当a=0时，函数在区间1，2上的值为常数1，不合题意；当a0时，函数在区间1，2上是增函数，最大值为，；当a0时，函数在区间1，2上是减函数，最大值为，a=3综上，a的值为3或（2），对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：当a1时，函数在区间1，1上是减函数，最小值为；当1a1时，函数在区间1，1上是先减后增，最小值为；当a1时，函数在区间1，1上是增函数，最小值为【总结升华】 求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值举一反三：【变式1】设函数，xt，t+1，tR，求函数的最小值【答案】【解析】 二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律，xt，t+1，tR，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：当t+11，即t0时，如上图，函数在区间t，t+1上为减函数，所以最小值为；当1t+12，即0t1时，如上图，最小值为；当t1时，如上图，函数在区间t，t+1上为增函数，所以最小值为综上有【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰例10设a为实数，函数（1）若，求a的取值范围；（2）求的最小值；（3）设函数，x（a，+），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式的解集【答案】（1）（，1；（2）；（3）略【解析】（1）因为，所以a0，即a0由a21知a1因此a的取值范围为（，1（2）记的最小值为，我们有（i）当a0时，由知，此时（ii）当a0时，若xa，则由知；若xa，则x+a2a0