高考数学必修知识讲解《解三角形》全章复习与巩固基础

解三角形全章知识复习与巩固编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）；（2）应用正弦定理解决的题型：已知两角和一边，求其它已知两边和一边的对角，求其它（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理在ABC中，变形为：，要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：已知三边，求各角已知两边和一边的对角，求其它已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用.要点三：三角形的面积公式(1) ，其中为边上的高(2)（3），其中要点四：三角形形状的判定方法设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，解斜三角形的主要依据是：（1）角与角关系：由于A+B+C = ，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC；（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.要点诠释：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列.要点五：解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【典型例题】类型一：正、余弦定理的基本应用例1. 如图，在ABC中，B，AB8，点D在边BC上，且CD2，cosADC(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长【答案】(1); (2) 7【思路点拨】（1）在三角形ADC中，由已知条件和外角定理可求得sinBAD；（2）利用正弦定理和余弦定理分别求得BD，AC的长。【解析】(1)在ABC中，cosADC，sinADC，则sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB(2)在ABD中，由正弦定理得，在ABC中，由余弦定理得AC2AB2CB22ABBCcosB825228549，即AC7【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.举一反三：【变式1】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bca，2sinB3sinC，则cosA的值为【答案】在ABC中，bca ，2sinB3sinC，2b3c ，由可得a2c，b再由余弦定理可得 ，故答案为：【变式2】在ABC中，已知BAC60，ABC45，则AC_【答案】由正弦定理得， 即，得类型二：正、余弦定理的综合应用例2.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求sinC的值；（2）当a2，2sinAsinC时，求b及c的长【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c，要求边b，考虑用余弦定理，即先求出cosC的值.【解析】（1）因为，及，所以（2）当a2，2sinAsinC时，由正弦定理，得c4由，及得由余弦定理得，得解得或所以或【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A的度数为 【答案 】， ， ， 在ABC中A30【变式2】设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4【答案】由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且ABC，可设三边长分别为 a、a-1、a-2由余弦定理可得又3b=20acosA，可得解得，故三边是6,5,4.由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=6:5:4【变式3】(2016 新课标理)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （I）求C；（II）若的面积为，求的周长【答案】（I）由已知及正余弦定理得，故可得，所以（II）由已知， 又 ，所以 由已知及余弦定理得， 故 从而 所以的周长为。 类型三：利用正、余弦定理解决实际问题例3. （2016春 泗阳县期中）A，B两地间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得km，CB=10 km，CBA=60。 （1）求A，B两地之间的距离； （2）若点C在移动过程中，始终保持ACB=60不变，问当CAB何值时，ABC的面积最大？并求出面积的最大值。【答案】（1）30 km（2）60 【思路点拨】（1）过C作CDAB于D，使用勾股定理依次解出BD，CD，AD，则AB=AD+BD； （2）利用余弦定理和基本不等式求出ACBC的最大值，根据最大值成立的条件得出CAB的度数，代入三角形面积公式得出面积的最大值。【解析】（1）过C作CDAB于D，CBA=60，。在RtACD中，。AB=AD+BD=30 km。（2）在ABC中，由余弦定理得，AC2+BC2=ACBC+AB2=ACBC+900，AC2+BC22ACBC，ACBC+9002ACBC，ACBC900，当且仅当AC=BC=30时取得等号。当AC=BC=30时，ABC是等边三角形，故CAB=60。SABC的最大值为。【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解。举一反三：【变式1】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C、D，测得，并且在C、D两点分别测得，求河的对岸的两点A、B间的距离。【答案】在中， ，在中，在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：故A、B间的距离为.【变式2】AB甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【答案】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点 ABDC此时,甲、乙两船相距最近类型四：解三角形与其他知识的交汇例4.设锐角三角形的内角的对边分别为，（1）求的大小；（2）求的取值范围【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B的正弦值，进而求B；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（2）由为锐角三角形知， ，所以 由此有，所以的取值范围为【总结升华】本题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 举一反三：【变式1】已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（c