高考数学必修知识讲解同角三角函数的基本关系式基础

同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：(2)商数关系：(3)倒数关系：，要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)是的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形：，2商数关系式的变形。【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1若，且是第三象限角，求cos，tan的值。【思路点拨】由求，可利用公式，同时要注意角所在的象限。【答案】 【解析】 ，是第三象限，。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。举一反三：【变式1】已知，求cos，tan的值。【解析】因为，所以是第三或第四象限角。由sin2+cos2=1得。当是第三象限角时，cos0，于是，从而；当是第四象限角时，cos0，于是，从而。类型二：利用同角关系求值【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】例2已知：求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1）（2）（3）0（4）或【解析】（1）由已知 （2）（3）（4）由，解得或【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。举一反三：【变式1】已知，求下列各式的值：（1）tan+cot；（2）sin3cos3。【解析】 由两边平方得。（1）。（2） 。【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例3】例3已知：，求：（1）；（2）；（3）。【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式= = =【总结升华】已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题如（1）、（2）题，cos0，所以可用cosn（nN*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三：【变式1】（2015春 甘肃会宁县期中）已知（1）求sin和cos的值；（2）求的值【解析】（1），是第一或第三象限角，当是第一象限角时，结合，有；当是第三象限角时，结合，有；（2），原式 类型三：利用同角关系化简三角函数式例4（2015秋 湖北青山区期末）（1）化简：；（2）已知为第二象限角，化简【思路点拨】（1）根号下利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用二次根式的化简公式化简，约分即可得到结果；（2）根号中的式子分子分母乘以分子，利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式计算，约分后计算即可得到结果【答案】（1）1；（2）【解析】（1）02045，cos200，sin20cos200，则原式；（2）为第二象限角，cos0，sin0，则原式 举一反三：【变式1】化简（1）； （2）；【答案】（1）1（2）【解析】（1）原式=（2）原式=类型四：利用同角关系证明三角恒等式例5求证：（1）；（2）。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【证明】（1）左边 =右边，原等式成立。（2）左边 =右边，原等式成立。【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，