高考数学必修知识讲解圆的方程基础

圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】要点一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内要点三：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.要点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.要点四：几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程1当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）2求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等3求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答【典型例题】类型一：圆的标准方程例1求满足下列条件的各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C（3，4）上，半径是；（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，3）上【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决【答案】（1）x2+y2=9 （2）(x3)2+(y4)2=5（3）(x8)2+(y+3)2=25【解析】 （1）x2+y2=9；（2）(x3)2+(y4)2=5；（3）解法一：圆的半径，圆心在点C（8，3）圆的方程是(x8)2+(y+3)2=25解法二：圆心为C（8，3），故设圆的方程为(x8)2+(y+3)2=r2又点P（5，1）在圆上，(58)2+(1+3)2=r2，r2=25，所求圆的方程是(x8)2+(y+3)2=25【总结升华】 确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程举一反三：【变式1】圆心是（4，1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A(x4)2+(y+1)2=10 B(x+4)2+(y1)2=10C(x4)2+(y+1)2=100 D【答案】A例2写出下列方程表示的圆的圆心和半径 （1）x2+y2=2；（2）(x3)2+y2=a2（a0）；（3）(x+2)2+(y+1)2=b2（b0）【答案】（1）（0，0），（2）（3，0），|a|（3）（2，1），|b|【解析】 （1）圆心（0，0），半径为；（2）圆心（3，0），半径为|a|；（3）圆心（2，1），半径为|b|【总结升华】（2）、（3）两题中a2、b2仅为半径的平方，没有给定a0，b0，半径r=|a|、|b|例3求经过A（0，1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上的圆的方程【思路点拨】根据圆心在直线y=2x上，设出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式，由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y=1的距离，由距离等于圆的半径列出另一个关系式，两者联立即可求出圆心坐标和半径，把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程【答案】或【解析】因为圆心在直线y=2x上，设圆心坐标为（a，2a）设圆的方程为 圆经过点A（0，1）和直线x+y=1相切，所以有解得，a=1或所以圆的方程为 或【总结升华】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆相切时满足的条件，会利用待定系数法求圆的标准方程举一反三：【变式1】求圆心在直线x2y3=0上，且过点A（2，3），B（2，5）的圆的标准方程【答案】 (x+1)2+(y+2)2=10【解析】设圆的标准方程为，则解得：所以所求圆的标准方程是：(x+1)2+(y+2)2=10类型二：圆的一般方程例4下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径（1）2x2+y27y+5=0；（2）x2xy+y2+6x+7y=0；（3）x2+y22x4y+10=0；（4）2x2+2y25x=0【答案】（1）不能表示圆（2）不能表示圆（3）不能表示圆（4）表示圆 【解析】 （1）方程2x2+y27y+5=0中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆（2）方程x2xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项，它不能表示圆（3）方程x2+y22x4y+10=0化为(x1)2+(y2)2=5，它不能表示圆（4）方程2x2+2y25x=0化为，它表示以为圆心，为半径长的圆【总结升华】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：x2与y2的系数相等；不含xy的项当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2+E24F是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显举一反三：【变式1】（1）下列方程各表示什么图形；x2+y24x2y+5=0；x2+y22x+4y4=0；（2）圆C：x2+y22x4y+4=0的圆心到直线：3x+4y+4=0的距离d=_ 【答案】（1）方程表示点（2，1）；方程表示以（1，2）为圆心，3为半径长的圆；当a=0时，该方程表示的图形为一个点（0，0）；当a0时，该方程表示的图形为圆，圆心为，半径长为|a| （2）3【解析】（1）略；（2）圆的方程可化为：，圆心坐标为（1，2），所以到直线的距离例5（2016春 辽宁大连庄河市期末）已知方程C：x2+y22x4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y4=0相交于M、N两点，且，求m的值【思路点拨】（1）由圆的一般方程的定义知4+164m0，由此能法语出实数m的取值范围 （2）求出圆心到直线x+2y4=0的距离，由此利用已知条件能求出m的值【答案】（1）（，5）；（2）m=4【解析】（1）方程C：x2+y22x+4y+m=0表示圆，D2+E24F0，即4+164m0解得m5，实数m的取值范围是（，5）（2）方程C：x2+y22x4y+m=0，(x2)2+(y2)2=5m，圆心（1，2）到直线x+2y4=0的距离，圆与直线l：x+2y4=0相交于M、N两点，且，解得m=4【总结升华】本题考查圆的方事参数m的取值范围，考查圆的方程中m的值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用举一反三：【高清课堂：圆的方程370891 典型例题2】【变式1】（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；（2）求经过点且与直线相切于点（8，6）的圆的方程【答案】【解析】（1）法一：设圆的方程为：，则，解得：所以所求圆的方程为：，即，所以圆心为（4，1），半径为法二：线段的中点为为，线段的中垂线为，即同理得线段中垂线为联立，解得所以所求圆的方程为（4，1），半径所以（2）法一：设圆的方程为：，则，解得：所以圆的方程为法二：过点与直线垂直的直线是，线段的中垂线为，由得：圆心坐标为，由两点间距离公式得半径，所以圆的方程为【变式2】判断方程ax2+ay24(a1)x+4y=0（a0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长【答案】，类型三：点与圆的位置关系例6判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x5)2+(y6)2=10的位置关系【答案】M在圆上 N在圆外 Q在圆内【解析】 圆的方程为(x5)2+(y6)2=10，分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得(65)2+(96)2=10，M在圆上；(35)2+(36)2=1310，N在圆外；(55)2+(36)2=910，Q在圆内【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆内|PQ|r；点P在圆上|PQ|=r；点P在点圆外|PO|r从数的角度来看，设圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，圆心为A（a，b），半径为r，则点M（x0，y0）在圆上(x0a)2+(y0b)2=r2；点M（x0，y0）在圆外(x0a)2+(y0b)2r2；点M（x0，y0）在圆内(x0a)2+(y0b)2r2举一反三：【变式1】已知点A（2，3）在圆外，则实数m的取值范围为_【答案】（3，5）【解析】圆即，5m0，则m5点A（2，3）在圆外，4+9412+m0，m3综上可得，3m5，故答案为：（3，5）类型四：轨迹问题例7已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线【思路点拨】先设出要求点的坐标，然后列出点满足的几何条件，化简整理即可。【答案】(x+1)2+y2=4 曲线是圆心为C（1，0），半径长为2的圆【解析】 在给定的坐标系中，设M（x，y）是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是由两点间距离公式，得，两边平方并化简，得曲线方程x2+y2+2x3=0，配方得(x+1)2+y2=4所以所求曲线是圆心为C（1，0），半径长为2的圆（如图）【总结升华】 本例求轨迹方程的方法是直接法用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M（x，y）；（2）几