高考数学必修知识讲解幂函数及图象变换基础

幂函数及图象变换【学习目标】1通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.2掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。3掌握初等函数图象变换的常用方法 【要点梳理】要点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)要点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+)或0，+)，作图已完成；若在(-，0)或(-，0上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较常称为“搭桥”法(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小(3)常用的步骤是：构造幂函数；比较底的大小；由单调性确定函数值的大小要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数如：的图象变换，（1）平移变换y=f(x)y=f(xa) 图象左（）、右（）平移y=f(x)y=f(x)b 图象上（）、下（）平移（2）对称变换y=f(x) y=f(x), 图象关于y轴对称y=f(x) y=f(x) , 图象关于x轴对称y=f(x) y=f(x) 图象关于原点对称y=f(x) 图象关于直线y=x对称（3）翻折变换： y=f(x) y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分关于y轴对称（注意：它是一个偶函数） y=f(x) y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。（2）若f(ax)f(ax)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。【典型例题】类型一、求函数解析式例1.已知是幂函数，求、的值【答案】【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组由题意得解得即为所求【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：指数为常数，且为任意常数；底数为自变量；系数为1举一反三：【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）答案：（4）、（5）是幂函数类型二、幂函数的图象例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（）举一反三：【变式1】（2015秋 江苏海安县期中）幂函数在第一象限的图象如图所示，若，则_【答案】【解析】由幂函数的图象可以看到：此函数是单调递增且是非奇非偶函数，因此只有满足条件故答案为：类型三、幂函数的性质例3.比较下列各组数的大小.(1)与； (2)与.【答案】（1）；（2）。【解析】(1)由于幂函数()单调递减且，.(2)由于这个幂函数是奇函数. f(-x)=-f(x)因此，而(x0)单调递减，且， .即.【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三：【变式1】比较，的大小.【答案】【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.在上单调递增，且，.作出函数与在第一象限内的图象，易知.故.类型四、求参数的范围例4.（2015秋 黑龙江大庆期末）已知函数（mN*）的图象关于y轴对称，且f（3）f（5），求满足的a的取值范围【思路点拨】根据幂函数在（0，+）上是减函数，可以确定m30，再根据的图象关于y轴对称，即可得到f（x）为偶函数，从而确定m的值，构造函数g（x）=，利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围根据幂函数在（0，+）上函数值随x增大而减小，得到3m90，然后根据函数图象关于y轴对称，得到函数为偶函数，确定m的值，然后解不等式即可【答案】aa1或【解析】函数（mN*）在（0，+）上递减，解得1m3，mN+，m=1，2，又函数的图象关于y轴对称，f（x）为偶函数，是偶数，又m=1时，为偶数，m=2时，为奇数，m=1，令，在（，0）和（0，+）上均为减函数，a+132a0，或0a+132a，或a+1032a，解得a1，或，故a的取值范围为aa1或举一反三：【变式1】若，求实数a的取值范围.解法1：， 考察的图象，得以下四种可能情况:(1) (2) (3) (4)分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).a的取值范围是.解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，要使， 即， 解得:.【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.类型五、幂函数的应用例5.（2015秋 湖南长沙期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若ak，比较与的大小【思路点拨】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过kN*，求出k的值，写出函数的解析式（2）利用指数函数的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，解得1k3，因为kN*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+）为减函数，k=1，函数的解析式为：（2）由（1）知，a1当1ae时，0lna1，；当a=e时，lna=1，；当ae时，lna1，举一反三：【变式1】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性【答案】，奇函数，在上单调递增【解析】（1）是正偶数，是正奇数函数的定义域为（2）是正奇数，且定义域关于原点对称是上的奇函数（3），且是正奇数，函数在上单调递增类型六、基本初等函数图象变换例6作出下列函数的图象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3). 【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可。一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得。含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称。举一反三：【高清课堂：幂函数及图象变换369074 例4（1）】 【变式1】作出的图象。向上平移2个