高考数学选修知识讲解组 合（提高）

组 合编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1理解组合的概念 2能利用计数原理推导组合数公式 3能解决简单的实际问题 4理解组合与排列之间的联系与区别【要点梳理】要点一：组合1.定义：一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合要点诠释： 从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1.组合数的定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数记作要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（mn）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数”，它是一个数 例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数 2组合数的公式及推导 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数 根据分步计数原理，得到 因此 这里n，mN+，且mn，这个公式叫做组合数公式因为，所以组合数公式还可表示为： 要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。3. 组合数公式：(1)（ 、，且）(2) （ 、，且）要点诠释：上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式要点三：组合数的性质性质1：（、，且）性质2：（、，且）要点诠释：规定：. 要点四、纯组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法（3）分堆问题 平均分堆，其分法数为： 例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数 依据上述公式，其分法为（种） 分堆但不平均，其分法数为 例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数 依据上述公式，分到指定位置数为 其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为 （4）定序问题 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列 例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？ 法一: 5人不加限制的排列方法有种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有（种） 法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法； 第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有种排法，共有（种）； 法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）（5）指标问题用“隔板法”：如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？ 将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案 注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”隔板法只适用于相同元素的分配问题要点五、组合组合的综合应用 处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：（1） 先特殊后一般的原则（2） 先取后排的原则（3） 先分类后分步的原则（4） 正难则反、等价转化原则 【典型例题】类型一、 组合概念及组合数公式例1下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？【思路点拨】 排列与顺序有关，组合与顺序无关【解析】 （1）组合问题，可以得到个不同的和；（2）排列问题，可以得到个不同的商；（3）排列问题，一共写了封信；（4）组合问题，共握了次手.【总结升华】 区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关”举一反三：【变式1】（1）从1，3，5，7中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？ （2）从1，3，5，7中任取两个数相乘，可以得到多少个不同的积？以上两个问题有何区别？【答案】问题（1）是排列问题，问题（2）是组合问题【变式2】计算：（1）；（2）.【答案】（1）方法一：；方法二：；（2） 方法一：；方法二：.类型二、 组合应用题例2. 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选； （2）两队长当选； （3）至少有一名队长当选： （4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选 【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语, 从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路.【解析】（1）一名女生，四名男生，故共有种 （2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有种 （3）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长 故共有种，或采用排除法：种 （4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生 故共有种 （5）分两类：第一类女队长当选：； 第二类女队长不当选： 故共有种【总结升华】 本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反. 举一反三：【变式】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？（1）都不是次品；（2）至少有1件次品；（3）不都是次品【答案】（1）都不是次品，即全部为正品共有抽法种 （2）至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况 共有抽法种或种 （3）不都是次品，即至少有1件正品 共有抽法种或种【高清课堂：组合370707 例题6】例3. 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下列条件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本 【思路点拨】本题是首先是要把六本不同的书分成3组，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。【解析】 （1）共有分法（种） （2）共有分法（种） （3）由于没指明谁得几本，在（2）的基础上，对甲、乙、丙作全排 共有分法（种） （4）共有分法（种） （5）由于没指明谁得四本，在（4）的基础上，还有种分法 共有分法（种）【总结升华】一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。在（5）中，区别在谁得四本上，另外两人都得一本是没有区别的；而（3）中谁得一本、两本、三本都是有区别的这就是乘以和的区别本类题是分组后分配问题，要将分组和分配分得很清楚。举一反三：【变式1】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【答案】（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 （2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法. （3）确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.故共有种.【变式2】（1）4名乒乓球选手，分为两组举行双打比赛，共有多少种分组方法？ （2）10名篮球队员，分成两队各5人，有多少种分组方法？ （3）将1，2，3，4，5，6六个数字平分为3份，每份两个数字，共有多少种不同的分组方法？【答案】（1）看似简单，容易认为有种分法具体排一下：1、23、4，1、32、4，1、42、3，2、31、4，2、41、3，3、41、2，即会发现各重复一次，总共分组方法不是6种，而只有3种，一般规律是（2）与（1）同理，共有种分组方法种中含1，2，3，4，5，又含6，7，8，9，10当取1，2，3，4，5时，相应的另一组是6，7，8，9，10当取6，7，8，9，10时，相应的另一组是1，2，3，4，5显然也是各重复一次（3）此题易误认为有方法种分析一下下面的6种分组方法：1、2，3、4，5、6；1、2，5、6，3、4；3、4，1、2，5、6；5、6，1、2，3、4；5、6，3、4，1、2这实际上是同一种分组法，即这中间各有组是重复的同一种分组方法，所以，共有分组方法应是种【变式3】把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A168B96C72D144【答案】D本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法-“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为，故本题的方法数为种故选（D）【变式4】（2016 太原校级模拟）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种。A24 B48 C95 D114【答案】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，1，1）两种，当为（3，1，1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有6018=42种，当为（2，2，1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有9018=72种，根据分类计数原理共42+72=114种，故选D。例4. 在一个晚会上有相声、唱歌、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个，要求相声节目必须排在小提琴独奏前，小品排在小提琴独奏后，这台晚会的节目有多少种不同的排法？【思路点拨】本题是部分元素顺序一定排序问题，可以用定序法.【解析】先把这5个节目排成一排占5个位置，先在这5个位置中选3个位置按从前到后为相声、小提琴独奏、小品顺序安排这三个节目有种不同方法，再在其余2个位置上安排唱歌和诗歌朗诵有种不同方法，根据分步计数原理，符合要求的节目排法有=20种.【总结升华】对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用方法还有定序法，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.举一反三：【变式1】 甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必须站在乙的左边，丙必须站在乙的右边，有多少种不同的排法？【答案】先把甲乙丙按指定顺序拍成一排只有1种排法，再在甲乙丙的两端和之间5个空档中选1个位置让丁站有种不同的方法， 再在这4人之间和两端5个空档中选1个位置让戊站有种不同【变式2】（2015朝阳区模拟）各大学在高考录取时采取专业专愿优先的录取原则。一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ）A210种 B180种 C120种 D95种【答案】从7个专业选3个，有种选法，甲乙同时兼报的有种选法，则专业共有355=30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法为，故选B例5. 某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？【思路点拨】把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。【解析】将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C种不同分法。由分步计数原理知，共有C种不同分法。 C=C=126（种）。 所以某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法. 【总结升华】 名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。举一反三：【变式】将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。【答案】解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，放法有（种）。解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，放法有（种）。类型三、 排列组合的综合应用例6. 某篮球队有12名队员，有6名打前锋，4名打后卫，甲、乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫）共有多少种出场阵容？ 【思路点拨】 本题中的甲、乙两名队员为“多面手”，应优先考虑甲、乙两人是否上场，且上场后是前锋还是后卫，以此为分类标准 【解析】 以2名既能打前锋又能打后卫的队员是否上场且上场后是前锋还是后卫作分类标准： 甲、乙都不上场有（种）； 甲、乙有一名上场，作前锋有种，作后卫有种，共（种）； 甲、乙都上场，都作前锋有种，都作后卫有种，一个作前锋一个作后卫有种，共有（种） 据分类计数原理，共有120+340+176=636（种） 【总结升华】对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作何用,进行分类.举一反三：【高清课堂：组合370707 例题4】【变式】由12个人组成文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，两个人既会跳舞又会唱歌。若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同的选法？【答案】依题意有按选出的8人中，会跳舞的四人中含几名全能的人分类例7 已知M、N是两个平行平面，在N内取4个点，在M内取5个点：这9个点中再无其他4点共面，则 （1）这些点最多能确定几个平面？ （2）以这些点为顶点，能作多少个三棱锥，多少个四棱锥？ 【思路点拨】本题有直接发和排除法两种思路可选，但要注意直接法及排除法都容易将M、N这两个平面丢掉另外，构成四棱锥底面的4个顶点必须共面，这点很容易忽视。 【解析】 直接法 （1）在平面M内取2个点有种方法，在平面N内取1个点有种方法，这3个点肯定不共线，可构成个平面；在平面M内取1个点，在平面N内取2个点，可构成个平面，再有就是M、N这两个平面 （2）在平面M内取3个点有种方法，在平面N内取1个点有种方法，这4个点可构成个三棱锥；在平面M内取2个点，在平面N内取2个点；还可在平面M内取1个点，在平面N内取3个点 要构成四棱锥，由于底面的4个顶点必须共面，因此只能从平面M内取4个点（平面N内取1个点）或在平面N内取4个点（平面M内取1个点） 排除法 （1）从9个点中任取3个点的方法有种，其中从平面M内4个点中任取3个点，即种，从平面N内5个点中任取3个点，即种，这及表示的都仅仅是平面M及平面N （2）从9个点中任取4个点的方法中去掉从平面M内4个点取4个及从平面N内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥（仅是平面M或平面N）的情况 从9个点中任取5个点的方法中去掉构不成四棱锥的三类情况：平面M中取3个点同时平面N中取2个点；平面M中取2个点同时平面N中取3个点；平面N中全取5个点 解法一：（1）共有个平面； （2）可构成个三棱锥； 可构成个四棱锥 解法二：（1）能构成个平面； （2）能构成个三棱锥； 能构成个四棱锥 【总结升华】 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.举一反三：【变式】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正