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文档简介

妙用微积分知识解决一个物理疑难安徽省巢湖一中 李小棣（238000）摘要：本文从一常见习题的错解入手，利用求导的方法解决疑难；又利用微积分方法巧解一道物理竞赛题，从中体会在高中阶段应用数学知识解决物理问题能力培养的重要性。关键词：最大速率、发热量、导数、微积分引言部分：现行高中数学课本选修内容中已有了导数与微积分知识，本人在物理教学和竞赛辅导中用导数与微积分知识为学生解决疑难，收到了非常好的效果，同时也使学生认识到数学知识在解决物理问题中的重要作用。本文仅举两例说明。笔者在教学高中物理选修课有关动量习题时遇到下面一题，所见到的资料给出的答案都是错误的。题目如下：如图1所示，在光滑的水平面上放着一个上部为半圆形光滑槽的木块，开始时木块是静止的，把一个小球放到槽边从静止开始释放，关于两个物体的运动情况，下列说法正确的是 图1 A当小球到达最低点时，木块有最大速率 B当小球的速率最大时，木块有最大速率 C当小球再次上升到最高点时，木块的速率为最大 D当小球再次上升到最高点时，木块的速率为零笔者所见的资料中此题给出的答案都是ABD，笔者认为此答案不正确，下面作一推导。EAV3 V3 COV1V2V3BR图2D为简化起见，可假设小球和木块质量相等均为m，如图2所示,小球下滑至B点时相对木块的速度为V2，木块对地速度为V3，小球对地速度为V1，由系统水平方向动量守恒知小球此时对地水平分速度亦为V3大小，小球与球心连线与竖直方向夹角为，由系统机械能守恒得：mgRcos=mV12+mV32-(1)又由几何关系易知：=2V3tan故V12=V32+(2V3tan)2 -(2)联立（1）、（2）两式得小球对地速率V1=现只需对 式求极值，便知V1有极大值因=-（3）令cos=x，x则（3）式变为-（4）将（4）求导数并令导数为0即=0可得 ， 所以当（）时，V1取得极大值由此可见在小球和滑块质量相等时，小球速率最大是下滑至图2所示位置，原题B选项错误，小球下滑至底部时木块的速率最大，而小球水平速率最大。故此题正确答案应为AD。而下面一题是笔者在竞赛辅导中遇到的，用常规解法十分复杂，学生也容易出错，笔者用微积分知识给出题解非常简洁。题目如下：由粗细均匀的同一种电阻丝制成的半径为R的圆环置于匀强磁场中，磁感应强度为B，方向与环面垂直，并指向纸面内。现以速度V将环以垂直于磁场方向匀速拉出磁场，磁场边界图中用虚线表示，V的方向与边界垂直，如图3所示，求此过程中环中发热量为多少？设电阻丝单位长度的电阻值为r0，环电感忽略不计。 RVV tACOBD图3解析：设圆环匀速拉出在时间t-t+dt时间内产生的感应电动势为E，则此时环切割磁感线的有效长度为，感应电动势：E =回路中感应电流：I =由焦耳定律，利用微积分知识易知以速度V将环以垂直于磁场方向匀速拉出磁场过程中环的发热量为：Q =这一结果说明：1、 若用相同的电阻丝制成的圆环，且B、V相同，则Q 2、 若为同一电
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