《计算方法误差》PPT课件

误差分析ErrorAnalysis,误差的来源误差误差限有效数字相对误差和绝对误差误差的传播在近似计算中需要注意的问题,目次,模型误差观测误差舍入误差截断误差,1.1误差的来源,计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下：130.3333333333本应130.33333333331.0000022-1.000004=0本应1.0000022-1.000004=1.000004000004-1.000004=0.000000000004,1.1.1舍入误差(Round-offErrors),舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。,1.1.2截断误差(TruncationError),用近似的值去代替数学上的准确值带来的误差。例如：泰勒级数,零阶近似:,一阶近似:,二阶近似:,完全的泰勒级数:,余项(n阶近似):,:介于xiandxi+1,x=xi+1-xi,余项：,Taylor级数表示为:,截去的部分,零阶近似:,截断误差:,一阶近似Rn:,零阶近似Rn:,斜率:,1.2误差误差限有效数字,Def1.1若用x*表示x准确值的一个近似值。则此近似值x*和准确值x的差称为误差，用e*来表示e*x*xDef1.2若|e*|x*x|*称为近似值x*的误差限。,例1.2已知x*=3.14159，求近似值x1=3.14，x2=3.142，x3=3.1416的误差限。解,所以误差限1=0.002，2=0.0005，3=0.000008,有效数字Def1.3若用x的近似值x*的误差限是某一位上的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字,若用x*表示x的近似值，并将x*表示成x*0.a1a2an10m若|x*x|0.510mn则近似值x*有n位有效数字,(1.1),例1.3设x*=0.0270是某数x经“四舍五入”所得，则误差|e(x*)|不超过x*末位的半个单位，即：|x*x|0.510-4又x*=0.2710-1,故该不等式又可写为|x*x|0.510-1-3由有效数字定义可知,x*有3位有效数字,分别是2,7，0。,例1.4设x32.93,x*32.89,则|x*x|0.040.050.510-1即|x*x|0.5102-3由有效数字定义可知,x*有3位有效数字,分别是3,2,8。由于x*中的数字9不是有效数字，故x*不是有效数。,1.3相对误差和绝对误差,设x准确值x*近似值称,为近似值x*的相对误差实用中，常用,表示近似值x*的相对误差，称,为相对误差限,相应的，e*称为绝对误差，称为绝对误差限,有效数位与误差的关系,有效数位n越多，则绝对误差|e*|越小形如(1.1)式的近似数x*具有n位有效数字，则其相对误差限可取为,基本算术运算设x*和y*分别是x和y的近似值，把它们的误差近似地看做是相应地微分，即dxx*x，dyy*y则d（xy）dxdyd（xy）xdyydxd（x/y）（xdyydx）/y2,1.4误差传播,(1.3)和(1.4)给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。,一元函数设yf(x)，若x的近似值是x*，用f(x*)去近似f(x)的误差可用Taylor公式估计,(1.3),(1.4),多元函数情形,由多元函数的Taylor展开公式类似可得,(1.5),(1.6),(1.8),(1.9),例1.5测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|0.2cm,|e(b*)|0.1cm。试求近似面积s*=a*b*的绝对误差限与相对误差限。,解:面积s=ab,在公式（1.5）中,将y=f(x1,x2)换为s=ab,则,相对误差限为,1.5在近似计算中需要注意的问题,1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数例如，计算多项式通常运算的乘法次数为若采用递推算法,则乘法次数仅为n.又如,2.防止大数“吃掉”小数当|a|b|时，尽量避免a+b。例如，假设计算机只能存放10位尾数的十进制数，则108+0.04=1083.尽量避免相近数相减例如，当x很大时，应,当x接近于0时，应,4.避免绝对值很小的数做分母当|b|b|时，尽量避免a+b。例如，假设计算机只能存放10位尾数的十进制