2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷B)

专题 2 不等式、函数与导数 第 4 讲 导数与定积分（B 卷） 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1、(2015山东省滕州市第五中学高三模拟考试4) 0 1( ) x xe dx =（ ） A 1 1 e B1C 31 2e D 3 2 2(2015德州市高三二模（4 月）数学（理）试题9) 6 2 2 a x x 展开式的常数项是 15，右图阴影部分是由曲线 2 yx和 圆 22 xyax 及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ） A 1 46 B 1 46 C 4 D 1 6 3. (江西省新八校 2014-2015 学年度第二次联考12)已知定义域为R的奇函数)(xf的导函 数)(x f ，当0x时，0 )( )( x xf xf，若) 1(sin1sinfa，)3(3fb， )3(ln3lnfc ，则下列关于cba,的大小关系正确的是（ ） A.acbB.bca C.abcD. cab 4.（2015赣州市高三适用性考试4） 5.（2015赣州市高三适用性考试12）若函数 2 |ln |+2,(0) ( )= 3,(0) xx f x xx ,方程 ( )=f f xa只 有五个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ） 欢迎下载2 A.(2 ln2, e B.( ,2 ln3e C.(2 ln2,3 .D. (3,2 ln2 6(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试12)定义:如果函数( )f x在a,b上存在 1212 ,()x x axxb满足 1 ( )( ) () f bf a fx ba , 2 ( )( ) () f bf a fx ba ,则称函数 ( )f x是a,b上的“双中值函数”已知函数 32 ( )f xxxa是0,a上的“双中值函数”,则 实数a的取值范围是（ ） A 1 1 ( , ) 3 2 B( 3 ,3 2 )C( 1 2 ,1)D( 1 3 ,1) 7.（2015山西省太原市高三模拟试题二12） 8. (2015山东省潍坊市第一中学高三过程性检测9)已知 sincos02015 x f xexxx，则函数 f x的各极大值之和为（ ） A. 2014 2 1 1 x ee e B. 2 1008 C. 22014 2 1 1 x ee e D. 1008 二、非选择题(60 分) 9. (江西省新八校 2014-2015 学年度第二次联考16)函数xxxxfsin)( 3 ，当 ) 2 , 0( 时，恒有0)22()sin2(cos2mfmf成立，则实数m的取值范围是 . 10、(2015山东省滕州市第五中学高三模拟考试15)若函数( )lnf xxax存在与直线 20 xy平行的切线，则实数a的取值范围是 _. 11(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试15)设定义域为), 0( 的单调函数)(xf， 欢迎下载3 对任意), 0( x，都有6log)( 2 xxff，若 0 x是方程4)()(xfxf的一个解， 且)(1,( * 0 Naaax，则实数a= 12. （2015山东省实验中学第二次考试11）定积分 1 0 2 x xe dx = 。 13. （2015山东省实验中学第二次考试13）函数 2 sincosf xxxxx，则不等 式 ln1fxf的解集为_. 14(2015盐城市高三年级第三次模拟考试14)若函数 f（x）=lnx+ax2+bxa2b 有两 个极值点 x1，x2，其中 2 1 x1，则方程 2af（x）2+bf（x） 1=0 的实根个数为 15. (2015 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟17)（本小题满分 10 分）如图，在 P地正西方向km8的A处和正东方向km1的B处各一条正北方向的公路AC和,BD现计 划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F. 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂 直的公路PE和.PF设). 2 0( EPA （1）为减少周边区域的影响，试确定FE,的位置，使PAE与PFB的面积之和最小； （2）为节省建设成本，试确定FE,的位置，使PFPE 的值最小. 16.(江西省新八校 2014-2015 学年度第二次联考21)（本小题满分 10 分）已知函数 kx exf)(（k为不零的实数，e为自然对数的底数）. （1）若函数)(xfy 与 3 xy 的图象有公共点，且在它们的某一处有共同的切线， 欢迎下载4 求k的值； （2）若函数)()33()( 2 xfkxxxh在区间) 1 ,( k k内单调递减，求此时k的取 值范围. 17. (2015 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟20)（本小题满分 10 分）已知函数 , 3 1 )( 23 bxaxxxf 其中ba,为常数. （1）当1 a时，若函数)(xf在1 , 0上的最小值为, 3 1 求b的值； （2）讨论函数)(xf在区间),( a上单调性； （3）若曲线)(xfy 上存在一点,P使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互 相垂直，求a的取值范围. 欢迎下载5 专题 2 不等式、函数与导数 第 4 讲 导数与定积分（B 卷）答案与解析 1.【答案】C 【命题立意】本题主要考查定积分的运算 【解析】 0 20 1 1 11131 ()()|1 () 222 xx xe dxxe ee . 2.【答案】A 【命题立意】本题旨在考查定积分的计算 【解析】二项式展开的通项公式为： 6 6 2636 166 2, 2 3602, k kkkk r a TCxC x x kk 故由题意有： 2 62 6 215,2Ca ，交点坐标为 0,0 , 1,1 ,1,1， 所求解的面积为： 1 22 0 111 8246 Sx dxRah 故选：A 3.【答案】A 【命题立意】考查导数法求函数的单调性，考查推理能力，较难题. 【解析】令)()(xxfxg，则)()()(xf xxfxg， 当0x时，0 )( )( x xf xf， 当0x时，0)( x g，当0x时，函数)(xf单调递增， ， 函数)(xf是奇函数，)3(3)3(3ffb， 又23ln1，11sin0) 1(sin)3(ln)3(fff，1sin3ln3， ) 1(sin1sin)3(ln3ln)3(3fff，即acb. 4.【答案】C 【命题立意】本题主要考查积分的计算，根据积分的运算法则进行求解即可. 欢迎下载6 【解析】 1 231 1 1 1 (sin)( cos)| 3 xx dxxx 112 333 ，选 C. 5.【答案】C 【命题立意】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数关系，利用数 形结合是解决本题的关键. 【解析】设( )tf x则( )af t,作出函数( )tf x和( )af t的图象如图: 若2a 时，( )af t有一个根 t，且0t ，( )tf x只有一个解，则方程 ( )af f x有 1 个根. 若2a 时，( )af t有两个根 12 0,1tt，方程 1 ( )tf x有 1 个解， 2 ( )tf x有 1 个解，则方程 ( )af f x有 2 个根. 若22 1 2an时，( )af t有 3 个根 123 1 0,0,12 2 ttt，此时每个方程 ( )tf x有各有 1 个解.则方程 ( )af f x有 3 个根， 若2 1 2an时，( )af t有 3 个根 123 1 0,0,2 2 ttt，此时方程 1 ( )tf x有 1 个解， 2 ( )tf x有 1 个解， 3 ( )tf x有 2 个解，则方程 ( )af f x有 4 个根， 若2 1 23na时，( )af t有 3 个根 123 0,01,23ttt，此时方程 1 ( )tf x有 1 个解， 2 ( )tf x有 1 个解， 3 ( )tf x有 3 个解，则方程 ( )af f x有 5 个根. 若32ln3a时，( )af t有 2 个根 12 01,23tt，此时方程 1 ( )tf x有 1 欢迎下载7 个解， 2 ( )tf x有 3 个解，则方程 ( )af f x有 4 个根. 若2ln3a 时，( )af t有 2 个根 12 01,3tt，此时方程 1 ( )tf x有 1 个解， 2 ( )tf x有 2 个解，则方程 ( )af f x有 3 个根. 综上满足条件的a的取值范围是(3,2ln3，选 C. 【易错警示】本题在求解的过程中，利用换元法转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问 题是解决本题的关键.同时，根据条件要对a进行分类讨论，比较复杂. 6.【答案】B 【命题立意】本题重点考查了本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根 的关系，属于中档题 【解析】由题意可知，在区间0,a存在 x1，x2（1x1x2a） ， 满足 f（x1）= a2a， f（x）= x3x2+a，f（x）=x22x， 方程 x22x= a2a 在区间（0，a）有两个解 令 g（x）=x22x a2+a， （0xa） 则解得 a3，实数 a 的取值范围是（ ，3） 故选 B 7.【答案】D 【命题立意】本题考查利用导数研究抽象函数的单调性，难度较大. 【解析】在 ln ( )( ) x xfxf x x 中，令xe得 1 ( )( )efef e e ，得( )0fe，且 ln ( ) ( ) x f x x fx x 2 ln( )xxf x x ，令( )ln( )g xxxf x， 欢迎下载8 则 11ln1 ln ( )( )( )( )( ) xx g xf xxfxf xf x xxxx ， 当0 xe时，( )0g x，( )g x单调递增，当xe时，( )0g x，( )g x单调递减， 所以 max ( )( )g xg e1 10 ，所以( )0fx，( )f x在(0,)单调递减，没有最值. 8.【答案】A 【命题立意】本题重点考查利用导数求函数的极值以及等比数列的求和公式，难度中等. 【解析】因为( )(sincos )(cossin )2sin xxx fxexxexxex，所以当 (2,2)xkk时，( )0fx，当(2,22 )xkk时，( )0fx，即当 2xk时，( )f x取得极大值，其极大值为 22 (2)sin(2)cos(2) kk fkekke ，又因为02015x，所 以函数( )f x的各极大值之和为 210072014 352015 22 (1 ()(1) 11 x eeee Seeee ee . 9.【答案】), 2 1 - 【命题立意】考查导数法求函数的单调性，函数的奇偶性，考查转化能力，较难题. 【解析】xxxxfsin)( 3 ，0cos13)( 2 xxxf，)(xf是R的减函 数且为奇函数，由0)22()sin2(cos2mfmf可得 22sin2cos2mm在) 2 , 0( 恒成立， 2 sin1 2 )sin1( 2 1 sin1 sin1 2 1 sin22 2cos 22 m在) 2 , 0( 恒成立， 2 sin1 2 )sin1 ( u在) 2 , 0( 单调递减，1)0(u， 2 1 m. 10.【答案】 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义 【解析】 欢迎下载9 11.【答案】1。 【命题立意】本题考查函数的零点位置问题. 【解析】对任意的), 0( x，都有6log)( 2 xxff，又由)(xf是定义在 ), 0( 上的单调函数，则xxf 2 log)(为定值，设xxft 2 log)(，则 xtxf 2 log)(，又由6)(tf，可得6log2tt，可解得4t，故 2ln 1 )(,log4)( 2 x xfxxf，又 0 x是方程4)()(xfxf的一个解，所以 0 x是函数 2ln 1 log4)()()( 2 x xxfxfxF 的零点，分析易得 0 4ln 1 1 2ln2 1 1)2(, 0 2ln 1 ) 1 (FF，故函数)(xF的零点介于)2 , 1 (之间，故 1a. 12.【答案】e 【命题立意】本题旨在考查定积分与微积分基本定理。 【解析】 1 0 (2x+ex)dx=（x2+ex） 1 0=（12+e1）-（02+e0）=e 13.【答案】( 1 e ，e) 【命题立意】本题旨在考查函数的单调性与最值。 【解析】函数 f（x）=xsinx+cosx+x2，满足 f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）+（-x） 欢迎下载10 2=xsinx+cosx+x2=f（x），故函数 f（x）为偶函数 由于 f（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx）， 当 x0 时，f（x）0，故函数在（0，+）上是增函数， 当 x0 时，f（x）0，故函数在（-，0）上是减函数 不等式 f（lnx）f（1）等价于-1lnx1， 1 e xe， 【易错警示】判断函数为偶函数是关键，利用导数求得函数在（0，+）上是增函数，在 （-，0）上是减函数，将所给的不等式等价变形为-1lnx1，注意通过分类讨论解对数 不等式得解。 14.【答案】5 【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，函数的极值，方程的根 【解析】由于函数 f（x）=lnx+ax2+bxa2b 有两个极值点 x1，x2，那么 f（x）= x 1 +2ax+b= x bxax12 2 = x xxxxa)(2 21 =0，可得 x1+x2= a b 2 ，x1x2= a2 1 ，而关 于 f（x）的方程 2af（x）2+bf（x）1=0 有两个根，则 f（x）=x1或 f（x）=x2，而 f（x2）=x2x1，那么根据对应的图形，数形结合可得 f（x）=x1有三个实根，f（x）=x2有 两个实根，故方程 2af（x）2+bf（x）1=0 的实根个数为 5 个 15.【答案】 （1）当 AE=1km， BF=8km 时，PAE 与PFB 的面积之和最小；（2）当 AE 为 4km，且 BF 为 2km 时，PE+PF 的值最小 【命题立意】本题旨在考查三角函数的应用问题，三角形的面积公式，基本不等式，导数 及其应用，函数的单调性等 【解析】 （1）在 RtPAE 中，由题意可知APE，AP=8，则8tanAE 所以 1 32tan 2 PAE SPAAE A 2 分 同理在 RtPBF 中，PFB，PB1，则 1 tan BF ， 所以 11 22tan PBF SPBBF A 4 分 故PAE 与PFB 的面积之和为 1 32tan 2tan 5 分 欢迎下载11 1 2 32tan 2tan =8， 当且仅当 1 32tan 2tan ，即 1 tan 8 时，取“”， 故当 AE=1km， BF=8km 时，PAE 与PFB 的面积之和最小6 分 （2）在 RtPAE 中，由题意可知APE，则 8 cos PE 同理在 RtPBF 中，PFB，则 1 sin PF 令 81 ( ) cossin fPEPF ， 0 2 ， 8 分 则 33 2222 8sincos8sincos ( ) cossinsincos f ， 10 分 令( )0f，得 1 tan 2 ，记 0 1 tan 2 ， 0 0 2 ， 当 0 (0,)时，( )0f，( )f单调减； 当 0 (,) 2 时，( )0f，( )f单调增 所以 1 tan 2 时，( )f取得最小值， 12 分 此时 1 tan84 2 AEAP，2 tan BP BF 所以当 AE 为 4km，且 BF 为 2km 时，PE+PF 的值最小 14 分 16.【答案】 （1） e k 3 ；（2）1 3 3 k. 【命题立意】考查导数的几何意义，导数法求函数的单调性，考查转化能力，较难题. 【解析】 （1）设曲线( )yf x与 3 xy 有共同切线的公共点为 00 (,)P xy，则 3 0 xe 0 kx （1）式 又曲线( )yf x与 2 yx在点 00 (,)P xy处有共同切线，且( ) kx fxke， 2 0 3 0 3xx， 2 0 3 0 xkekx（2）式，联立（1） （2）有 k xxxkx 3 )03 00 2 0 3 0 或（舍去，则 e kex0 3 ，有。 （2）由( ) kx f xe得函数)3kx3x()x(h 2 kx e， 欢迎下载12 所以 k-xk-kxek-xe-kx-xkexh kxkxkx 6323233 222 kx ek-xkx32 kx e k xk-xk 2 3， 又由区间 1 ( ,)k k 知， 1 k k ，解得01k，或1k 当01k时，由( ( )h x 0 2 3 kx e k xk-xk，得kx k -3 2 ，即函数 ( )h x的单调减区间为 k k -3 2， ，要使得函数)33)(f)(h 2 kxxxx在区间 1 ( ,)k k 内单 调递减，则有 k k k -k k 3 1 2 10 解得 1 3 3 k， 当1k 时，由( ( )h x 0 2 3 kx e k xk-xk，得kx3，或 2 x k ，即函数 ( )h x的单调减区间为k-3，和 2 (,) k ， 要使得函数 2 ( )( )(22)h xf x xkx在区间 1 ( ,)k k 内单调递减，则有 k k k 3 1 1 ，或 1 2 k k k ，这两个不等式组均无解. 综上，当1 3 3 k时，函数)33)(f)(h 2 kxxxx在区间 1 ( ,)k k 内单调递减. 17.【答案】 （1）b=2；（2）当 3 3 a 时，f(x)在区间(a，+)上是单调增函数；当 欢迎下载13 33 33 a时，f(x)在区间(a， 2 1aa )上是单调减函数，在区间( 2 1aa ，+) 上是单调增函数；当 3 3 a 时，f(x)在区间(a， 2 1aa )，( 2 1aa ，+)上是单 调增函数，在区间( 2 1aa ， 2 1aa )上是单调减函数；（3） 33 (,) 33 【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，导数的几何意义，两直线的位置关系，函数的 单调性与最值，考查分类讨论思维 【解析】 （1）当 a=1 时，f (x)=x22x1，所以函数 f(x)在0，1上单调减， 2 分 由 f (1)= ，即 11+b= ，解得 b=2 4 分 1