微分的概念、性质及应用

第 二 章 第 6 节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：1. 微分的定义图2-1计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即。从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为，其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差，是比高阶的无穷小。所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替。定义 设函数在某区间内有定义，及x在这区间内，如果函数的增量可表示为 ， 其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即 。定理1 函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是。 设函数在点可微，则按定义有式成立。式两边除以，得 。于是，当时，由上式就得到。因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导（即存在），且。反之，如果在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成，其中（当）。由此又有。因，且不依赖于，故上式相当于式，所以在点也是可微的。由此可见，函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是。 例1 设，求 解： 微分在近似计算中的应用：在的条件下，以微分近似代替增量时，相对误差当时趋于零。因此，在很小时，有精确度较好的近似等式。即或特别地，当很小时，有 （3）（3）式是计算零点附近的函数值当很小时，有下列近似计算公式： 例 证明：。（当很小时） 令 因为 由 故，当很小时，例2 一个充好气的气体，m，升空后，因外面气压降低，气球半径增大了10cm，求体积增加了多少？解：因为 所以 例3 求的近似值 解 设,取 ，则 所以 或者： 2. 微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。图2-2在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线。对于某一固定的值，曲线上有一个确定点当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点.从图2-2可知：，。过M点作曲线的切线,它的倾角为，则，即 。由此可见，当是曲线上的M点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多。因此在点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。3. 微分运算法则及微分公式表由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当都可导）：，。微分公式表：，。注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：，。4. 复合函数微分法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设及都可导，则复合函数的微分为。由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成或。由此可见，无论是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设为另一变量的任一可微函数时），微分形式并不改变。例4 求的微分解 自我训练：（1），求。（2），求。（3）有一半径为的铁球，镀上0