浅谈不定积分的解题方法

欢迎下载 本科学生毕业论文 浅谈不定积分的解题方法浅谈不定积分的解题方法 摘要摘要 本文介绍求不定积分的若干方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法和有 理函数积分法等，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性. 关键词：关键词：不定积分;直接积分法;还原积分发;分部积分法;有理函数积分法 ABSTRACT There are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration, exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples. Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral method and the division of integral method 欢迎下载 目录目录 1 1 引论引论.1 1 2 2 不定积分不定积分.1 1 2.1 不定积分定义.1 2.2 经典例题.1 3 3 直接积分法直接积分法.2 2 4 4 换元积分法换元积分法.2 2 4.1 第一换元积分法.3 4.1.1 凑微分法.3 4.1.2 常用凑微分法公式.4 4.2 第二换元积分法.4 4.2.1 根式代换法.5 4.2.2 三角代换.5 4.2.3 倒代换.6 5 5 分部积分法分部积分法.7 5.1 分部积分法.7 5.2 积分的关键.7 6 6 有理函数积分法有理函数积分法.7 7 6.1 有理函数积分法.7 7 6.2 分式有理函数.8 7 7 结论结论.1010 参考文献参考文献.1111 欢迎下载 欢迎下载 1 1 引论引论 微积分是高等院校的一门重要基础课程，当代著名数学家柯朗1曾指出微积 分和数学分析是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之 间的地位，使它成为高等数学的一种特别有效的工具. 不定积分是数学分析的基本 内容和主要内容，不定积分也是微分学和积分学的联系纽带. 不定积分的一个重要 内容，不定积分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定积分思维方灵活多样， 它要根据不同题型特点采取不同的解法，不定积分运算是微分运算的逆运算. 下面 把常用的不定积分的解法分类归纳，以便学生更好地掌握，求解不定积分的常规方 法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法和特殊积分法. 而实际运用中使用较 多的是换元积分法和分部积分法，分部积分法是学生学习的一个难点, 掌握不定积 分的解法比较困难，但是求导相对容易，因为只要熟记了基本初等函数的导数公式、 掌握了导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，就可以求出任何函数的导数. 可是不定积分就没有这么容易，第一是没有适用于一切初等函数不定积分的方法， 第二是许多初等函数的原函数本身就不是初等函数, 而出现不定积分存在但是求不 出来的情况. 2 2 不定积分不定积分 2.12.1 不定积分的定义不定积分的定义 不定积分的定义2若在某以区间上则在这个区间上函数 F(x)叫函 Fxf x 数的原函数. 我们把函数的原函数的一般表达式称为的不定积分. f x f x f x 记为，亦即 f x dx , f x dxF xC 其中是的一个原函数，C 为任意常熟，又称是被积函数，为 F x f x f xx 积分变量，C 为积分常数，记号:为积分号. () 例例 1 1 求多项式的积分 2 321xxdx 解 利用积分的运算法则,有 欢迎下载 原式. 232 32x dxxdxdxxxxC 3 3 直接积分法直接积分法 直接积分法3就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法，直接积 分法的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形，变为代数和，再逐项积分. 直接积分法的关键4是： 熟练的掌握积分的基本公式和运算法则是关键,也是 学习不定积分的基本要求，由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分公 式是与基本微分公式对应的积分公式 在基本微分公式较熟悉的前提下，基本积分公 式是不难记住的 . 例例 2 2 求 2 cot xdx 分析：基本关系中没有关于的积分，但是由于他相关的积分,于是， 2 cot x 2 csc x 把来表示，然后代入公式： 2 cot x用 2 csc x 解 . 22 cotcsc1cotxdxxdxxxC 例例 3 3 求 4 2 1 x dx x 解 原式. 4 23 22 1 111 1arctan 113 x dxxdxdxxxxC xx 例例 4 求 2 cos xxdx 解 . 2 1 cos21cos21sin2 cos 22224 xxx xxdxdxdxdxxC 例例 5 5 求 cos2 cossin x dx xx 解 被积函数有不同三角函数和可利用倍角公式为sin ,cosxxcos2x . 22 cos2cossin cossinsincos cossincossin xxxdx xx dxxxC xxxx 4 4 换元积分法换元积分法 欢迎下载 换元积分法，就是通过适当的变量代换，把积分转化为积分表中的类型或容易 积分的形式，换元积分法包括第一换元积分法及第二换元积分法. 4.14.1 第一换元积分法第一换元积分法 第一换积分法5（又称凑微分法)在求积分，如果它可 g x dx 的形式时，可作变量代换 u=h(x)则，此时 ( )f h x h x dx ( )duh x dx 而又可直接积分得，最后再将 u 换回 ( ) ( )( )f h x h x dxf u du f u du ( )F uC 即可运算形式下:( )h x( ) ( ) ( )g x dxf h x h x 凑微分 ( ) ( ( )f h x d h x 变量代换 第一换元积分法的关键4是将被积表达( )uh x( )F uC 回代 ( )F h x dh xC 化 再选择变量代换. ( )g x dx ( ) ( )f h x h x dx 凑微分 ( )f h x dh x ( )uh x 第一换元积分法的关键4是:将被积表达式凑成两部分，一部分为复合函数， 其中外函数为基本公式的一个函数类，另一部分为内数的微分，这里要注意系数的 调整 . 例例 6 6 求求 3 1 45 dx x 分析 其中外函数为幂函数，内函数为 1 2 3 3 454545 10 a xdxxC .45x 解 原式. 2 1 3 3 13 4545(45 ) 510 xdxxC 凑微分法6可概述为： 凑微分； ( )u x dv x 可积出，则积出； 积不出，则分部之不定积分等于与之积减去和 ( )u x dv x( )u x( )v x( )u x 交换位置的不定积分.( )v x 欢迎下载 注意：注意： 1 可积出 （a）x 幂函数与指数函数，对数函数，正弦函数，余弦函数之积的不定积分只须 取 x 的幂函数作即可积出. （b） x 幂函数与反三角函数的积的不定积分只须取反三角函数作即可积出. ( )u x (c) 指数函数同正弦正数、余弦函数之积的不定积分则可以任取一种函数即( )u x 可积出. 2 积不出 多项式与指数函数,对数函数,正(余)弦函数,反三角函数的乘积的不定积分. 例例 7 7 求 2 351 cos4xxxdx 解 根据不定积分的运算性质,得 222 sin4 351 cos43cos45cos4cos48405 32 cos4 25. 16 x xxxdxxxdxxxdxxdxxx x xC 4.1.24.1.2 常用的凑微公式常用的凑微公式 常用的凑微公式主要有： ； 1 dxaxb a ； 1 lndxdx x ； xx e dxd e ；cossinxdxdx ； 2 2 1 csc sin dxxdx x . 2 1 arctan 1 dxdx x 例例 8 8 2 1 1 Idx x x 解 令,则 secxt 22 sec tan,1sec1tandxttdtxtt 欢迎下载 . 11 arccos sec tan Ic ttdtx 4.24.2 第二换元积分法第二换元积分法 一般地，如果在积分中,令，且可导, 则有 f x dx xh t , 0h xhx 若该式右端易求出原函数， 则得第二类换元法7积 f x dxfh th t dt () 分公式其中为的反函数, . 1 f x dxhh xC 1 h x xh t 1 th x 第二类换元法关键：是要引入适当的新的积分变量，将原来的不定积分转化成 为对新的积分变量的积分 然而,如何引入新的积分变量一般没有什么规律可循,只有 一条大原则,就是引入新的积分变量后,要使新的不定积分比原来的不定积分较易求 出 这样,问题也就比灵活,也比较困难 在教学时,我将这个问题作了一些归纳总结, 如何引入新的积分变量可大致归结为下列三种方法. 4.2.14.2.1 根式代换法根式代换法 根式代换法4的原则是将被积函数中含有的某个根式作为一个新的积分变量, 即将被积函数中含有的某个根式用一个新的积分变量代换后,使其在新的被积函数中 不再含有根式. 例例 9 9 求 3 1 31 x dx x 解 根据上述原则，须引进一个新的积分变量使其在新的被积表达式中不再含 有根式，显然，只须引入变量，则可以达到上述目的, 3 31tx 令，则 3 31tx 32 1 1 , 3 xtdxt dt . 2 2 222 3 3 1 11 111 3 5231 15531 t x dxt dtttCxxC tx 4.2.24.2.2 三角代换三角代换 三角代换法8的原则是通过引入适当的三角代换把被积表达式中之根号去掉,转 化成为三角有理函数之积分 被积函数中若含有根式, 22 0axa 欢迎下载 或都可用三角代换法解决 三角代换法的一般方法如 22 0axa 22 0 xaa 下: 被积式含有的根式三角代换 22 0axa sin 22 xatt 22 0axa 22 xatgtt 22 0 xaa ssec0, 2 2 xattt 例例 1010 求 22 0ax dx a 解 令,则,于是sin , 2 2 xat t cosdxatdt 2 2 222222 2222 22 sincoscos1 cos2 2 arcsinarcsin. 22 a ax dxaatatdtatdtt dt axxaxaxx CaxC aaaaa 4.2.24.2.2 倒代换倒代换 所谓倒数代换法7就是将积分变量用一个新的变量的倒数去代换，将其被积表 达式化简 一般地，形如 ； ； 22 1 0dx a x xa 222 1 0dx a xxa ； ； 2 1 dx x axbxc 22 1 dx xaxbxc ； 2 2 axbxc dx x 等积分均可作倒数代换. xt 欢迎下载 例例 1111 求 1 1 1 n xnN x x 解 令 2 11 ,xdxdt tt 原式 1 2 1 1 ln 1 1 11 1 n n n n t t dtdttC tn tt 得 . 111 ln 1 1 n n C nxx x 5 5 分部积分法分部积分法 5.15.1 分部积分法分部积分法 分部积分法9主要用于解决被积函数的两种初等函数的乘积或单一个函数(对数 函数，反三角函数，初等函数)的不定积分的分部积分公式: . u x dv xu x v xv x du x 5.25.2 积分的关键积分的关键 选取哪个因子当作是键，选择不当不仅不会使积分由复杂到简单，反而更复杂 选要按以下顺序进行口(顺序在前者先选)对数函数、反三角函数、幂函数、指数函 数、三角函数. 例例 1212 求lnxxdx 分析 被积函数是幂函数与对数函数的乘积，由的选取顺序,. u x lnu xx 解解 原式. 22222 11111 lnlnlnln 22224 xdxxxx dxxxxC 例例 1313 求 2 xtg xdx 分析 被积函数是幂函数与三角函数的乘积，由，的选取顺序，令 ()() = 解 原式 222 1 1 sec1sec 2 xxdxxxdxxdxxdtgxxC 22 2 111 cos 2cos2 xtgxtgxdxxCxtgxdxxC x 欢迎下载 ( ). 22 11 lncoslncos 22 xtgxxxCatgxxxC 12 CCC 6 6 有理函数有理函数 6.16.1 有理函数有理函数 有理函数2设 P(x)和 Q(x)是两个多项式，则成形如的函数为有理函数 P x Q x 如： 22 24 13221 , 115 xx xx xxxx 等都是有理函数 下面为我们讨论有理函数的积分方法的一般方法. 6.26.2 分式有理函数分式有理函数 把真分式分解为简单分实质和的方法归结起来，主要由以下两点： 若 Q(x)有一个 k 重实根 a，则分解时必含有分式 () , 12 2 k k AAA xa xaxa 其中 A1,A,2Ak为待定系数； , (ii) 若 Q(x)有一对 k 重共轭复根 和 ，这时 Q(x)必有因子,其中 2 k xpxq 22 ,40,xpxqxxpq 则分解师比含有分式 ,其中 1122 22 22 xxkxk k BCBCBC xpxq xpxqxpxq 都是待定系数 . 1212 , kk B BB C CC 由此可见，任何一个真分式都可以分解成若干个简单的部分分式之和，而这些 简单分式不外乎以下四种类型： (1)； A xa (2)； 1,2,3, n A n xa 欢迎下载 (3)； 2 BxC xpxq (4). 2 1,2,3 n BxC n xpxq 其中都是常数，并设二次三项式没有实根，即于, , , ,A B C a p q 2 xpxq 2 40pq 是，求任何一个真分式的不定积分问题也就化成以上四种类型的积分，现在，分别 求出如下： (1) A dx xa 这个积分早已会求，它是 ln A dxAxaC xa (2 1,2,3 n A dx n xa 这个积分早已会求，它是 1 1 1,2,3 1 nn AA dxC N n xaxa A (3) 2 BxC dx xpxq 由分出完全平方项，从而有 2 xpxq ， 2 2 2 24 pp xpxqxq 最后一个括号中的表达式为一正数，不妨记为 现在作代换 2 , 2 p xt dxdt 于是, 22 222 12 lnarctan 22 bp BxC BxCBBpt dxdttaCC xpxqtaaa 其中为常数，代回变量 x，就有 . 2 2 22 22 lnarctan 2 44 BxCBCBpxp dxxpxqC xpxq qpqp 欢迎下载 例例 1414 求 2 2 22 11 x dx xx 解 利用部分分时，即可求得 222 22 22112 11 111 xxx dxdxdxdx xx xxx . 2 2 11 ln1ln1arctan 21 xxxC x 例例 1515 求 32 2 3 1 xxx dx x 解 这是被积函数的次数高于分母的次数，因此首先用除法写成 32 22 32 1 11 xxx x xx 即可求得 . 322 22 321 1ln 1121 xxxxx dxxdxxC xxx 结论结论 上面所介绍的不定积分的解题方法都是常用的方法，根据被积函数的结构特 点采取上述所给出的方法去解题，同时要学会用一些技巧把所求的复杂的题目变成 我们所熟悉的，简单的方法解题 因此，需要我们去多做些练习来