重积分及其计算和多重积分

三重积分和多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述.一、 引例设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域，它的点密度为，现在要求这个物体的质量假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域分割为若干个可求体积的小区域，其体积分别是，直径分别是，即, (i=1,2,n）, |WQ|表示W, Q两点的距离设，则当很小时，在上的变化也很小可以用这个小区域上的任意一点的密度来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值即当时，这个和式的极限存在，就是物体的质量即从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限所以我们也可以得到下面一类积分二、 三重积分的定义设是空间中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域，这个分割也称为V的分划，记为P: . (空, ), 其体积分别是，直径分别是设,或记为|P|. 在每个小区域中任意取一点，作和(称为Riemann和)，若当时，这个和式的极限存在，则称其极限为函数在区域上的三重积分，记为并称函数在区域上可积称为被积函数,x,y,z 称为积分变量., V称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为我们同样可以引入Darboux大,小和来判别可积, 也有同样的结论(略).1. 若是有界闭区域上的连续函数，则函数在区域上可积2. 若=1时, 的体积.3. 若在有界闭区域上的间断点集合是0体积时, 在可积.三重积分有着与二重积分类似的性质下面简单叙述一下 可积函数的和（或差）及积仍可积. 和（差）的积分等于积分的和(差) 可积函数的函数倍仍可积. 其积分等于该函数积分的倍 设是可求体积的有界闭区域，在上可积，分为两个无共同内点的可求体积的闭区域之并，则在上可积，并有等等.三、 三重积分的计算方法同二重积分一样, 我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成.1. 利用直角坐标系计算三重积分 先给一个结论. 定理12.14 若函数是长方体V=a,bc,de,h上的可积, 记D=c,de,h, 对任意xa,b, 二重积分存在, 则 (记为)也存在, 且. 这时右边称为三次积分或累次积分, 即三重积分化为三次积分. 证明 分别中a,b, c,d, e,h 插入若干个分点 ; ;作平面, , ,(i=0,1,2,n; ,j i=0,1,2,m; k=0,1,2,s,)得到V的一个分划P. 令 (i=1,2,n; ,j i=1,2,m; k=1,2,s,),分别是在上的上, 下确界.那么在上有其中xi ,= xi - xi-1 , yj ,= y j - y j -1 , zk ,= zk - zk-1 , (i=1,2,n; ,j i=1,2,m; k=1,2,s,). 因可积，所以当|P|趋于0时，Darboux大,小和趋于同一数，即三重积分.zxy故定理得证.hzxyDz 如果V如右图, zxzxy ezh, z=z与V的截面面积为Dz , ezxy图12-4-1yxy不难得到,若函数在V上的可积, 那么.下面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成设函数在有界闭区域上连图12-4-2续，我们先讨论一种比较特殊的情况，其中为在平面上的投影，且如图1我们现在轴上做积分，暂时将看成是常数把函数看作是的函数，将它在区间上积分得到显然这个结果是的函数，再把这个结果在平面区域上做二重积分在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果若平面区域可以用不等式表示，则这个公式也将三重积分化为了三次积分如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算例1计算三重积分，其中是由三个坐标面和平面所围的立体区域解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为，所以积分可以化为图12-4-3四、三重积分的积分变换 和二重积分的积分变换一样，有如下的结果:定理12.15 设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w),是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且 (称为Jacobi).如果f(x,y,z) 是T(V)上的可积函数，那么在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标.1. 利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分设空间中有一点，其在坐标面上的投影点的极坐标为，这样三个数就称为点的柱面坐标（如图12-4-4）zM(x,y,z)yMx图12-4-5图12-4-4这里规定三个变量的变化范围是，注意到，当常数时，表示以轴为中心轴的一个柱面当=常数时，表示通过轴，与平面的夹角为的半平面当常数时，表示平行于平面，与平面距离为的平面空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系, 即是R3到R3的映射:所以 其Jacobi为 故容易得到: 如果f(x,y,z) 是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数,则,其中,变换前后区域都用V表示.我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来.用三组坐标面将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为两个圆柱面，极角为的两个半平面，以及高度为的两个平面所围成的它可以近似的看作一个柱体，其底面的面积为，高为所以其体积为柱面坐标下的体积元素，即再利用两种坐标系之间的关系，可以得到在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分例2计算三重积分，其中是由椭圆抛物面和平面所围成的区域解 如图所示，积分区域在坐标面上的投影是一个圆心在原点的单位圆所以于是图12-4-62利用球面坐标计算三重积分我们知道球面坐标用数来表示空间的一个点设有直角坐标系的空间点，点在坐标面上的投影，其中，为轴到射线转角为向量与轴的夹角如图12-4-7规定三个变量的变化范围是我们可以看到，注意到，当常数时，表示以原点为球心的球面当=常数时，表示通过轴的半平面M 当常数时，表示以原点为顶点，轴为中心的锥面 两种坐标系之间的关系如下： 图12-4-7即又是一个即是R3到R3的映射.它的Jacobi是由一般的重积分变换公式容易得到:如果f(x,y,z) 是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数,则,其中,变换前后区域都用V表示.用几何直观的意义可以如下理解: 已知f(x,y,z) 闭区域V上的可积函数.用三组坐标常数，常数，常数，将积分区域V划分为若干个小的区域. 考虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为的球面，极角为和的半平面，与中心轴夹角为和的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别是的小长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为再由直角坐标系与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式例3计算三重积分，其中是右半球面所围成的区域解 在球面坐标下，积分区域可以表示为所以与二重积分,三重积分一样可以定义一般n重积分.我们这里只是简单介绍.当V是R n中的有界闭区域. 依照可求面积的方法定义V的可求“体积”或可测(略). 设f(x1, x2, xn,) 是R n中的有界可测闭区域V上的函数, 任取V的分划P, 即把分成若干个可测小区域 , 它们的”体积”或测度分别记为, 当令 , 表示两点的距离, , 对任取,如果存在,称f(x1, x2, xn,)是V上的可积函数.其极限值称为 f(x1, x2, xn,)在V上的n重积分,记为 或 . 特别 当V=a1,b1a2,b2an,bn时, .若V上有一一映射T，其每个分量的函数有连续偏导数，当V是有界可测区域，f(x1, x2, xn,)在T(V)上可积，并且Jacobi那么.特别是R n中的球坐标变换T : , ,在R n中, 这时的Jacobi是。同样可以得到相应的公式. 例4 求.解 用球坐标.这时, , 其中从而有 .习题12-41.设有物体占有空间V: 0x1, 0y1,0z1,在点的密度是,求该物质量.2.计算,其中V是曲面与平面和所围成的闭区域3.计算, 其中V是平面所围成的四面体 4. 计算,其中V是球面及坐标面所围成的第一卦限内的闭区域 5