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数学水平测试训练（41）1. （2020年安庆市高三二模）如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且.若异面直线和所成的角为，平面与平面所成的锐二面角的余弦值 .解析：如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，由题设可知，.设平面的一个法向量为， 由，得，取，得.又平面的一个法向量为，.平面与平面所成的锐二面角的余弦值.2.（2020年广州市普通高中毕业班综合测试惠州市）如图1，在直角梯形中，且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2则点到平面的距离是 .图1图2解析：解法一：因为平面， 所以平面平面过点作的垂线交于点，则平面所以点到平面的距离等于线段的长度在直角三角形中，所以所以点到平面的距离等于.解法二：平面,所以所以又，设点到平面的距离为则 ，所以 所以点到平面的距离等于. 3.（2020年广州市普通高中毕业班综合测试）如图 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足则平面与平面所成二面角的余弦值是 解析：由（1）知，设是平面的法向量，则 即 取，则，所以是平面的一个法向量而是平面的一个法向量，设平面
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