2016年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 A=x|x2+x 0， B=x|5x 5，则 AB=（ ） A x|x 0 或 x 1 B x|x 1 C x|x 1 D x|x 0 2已知 =b+i（ a， b R），其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 3下列函数中既是奇函 数又在区间， 1， 1上单调递减的是（ ） A y= y= |x+1| C D y= （ 2x+2 x） 4下列说法错误的是（ ） A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相关性越强 C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D在回归分析中， 模型比 模型拟合的效果好 5在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣： “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ” 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯 A 2 B 3 C 5 D 6 6执行如图所示的程序框图，若输入 x=2，则输出 y 的值为（ ） A 23 B 11 C 5 D 2 7双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 倾斜角为 45的直线交双曲线右支于 M 点，若 直 x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A B C 1+ D 1+ 8已知实数 x， y 满足 ，则 z= 的最大值是（ ） A B 1 C 3 D 9 9已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位： 则这个几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 22 页） A 20 22 24 260在 ， ， ， ，若动点 P 满足 = +（ 1 ） （ R），则点 P 的轨迹与直线 围成的封闭区域的面积为（ ） A 3 B 4 C 6 D 12 11如图，在长方形 ， ， ， E 为线段 一动点，现将 起，使点 D 在面 的射影 K 在直线 ，当 E 从 D 运动到 C，则 K 所形成轨迹的长度为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =x2+在极小值，且对于 b 的所有可能取值 f（ x）的极小值恒大于 0，则 a 的最小值为（ ） A e D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13将函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称，则函数 f（ x）在 0， 上的最小值为 _ 14若 x+ ） n（ n N*）的展开式中存在常数项，则常数项为 _ 15已知等差数列 公差 d 0，且 等比数列，若 ， 数列 n 项的和，则 的最小值为 _ 16已知抛物线 x，过其焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点， M 为抛物线的准线与x 轴的交点， ，则 |_ 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，选做题 3 小题，考生任作一题，共 10 分 17已知 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 第 3 页（共 22 页） （ 1）若 = ，且 2 =，求角 C 的大小； （ 2）若 锐角三角形，且 A= ， a=2，求 积的取值范围 18微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调 查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各 50 名其中每天玩微信时间超过 6 小时的用户列为 “微信控 ”，否则称其为 “非微信控 ”，调查结果如表： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ 1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为 “微信控 ”与 “性别 ”有关？ （ 2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取的 5 人中 “微信控 ”和 “非微信控 ”的人数； （ 3）从（ 2）中抽选取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送价值 200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控 ”的人数为 X，试求 X 的分布列及数学期望 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d P（ 9在四棱柱 ，底面 菱形，且 0 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 ， ，求二面角 大小 20已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 c， 0）、 c， 0）， P 为椭圆 C 上任意一点，且 最小值为 0 （ ）求曲线 C 的方程； （ ）若动直线 与椭圆 C 相切，且 探究在 x 轴上是否存在定点 B， 使得点 B 到 距离之积恒为 1？若存在，请求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 21设函数 f（ x） =ex+x+1） （ 1）当 a=2 时，判断函数 f（ x）在定义域内的单调性； 第 4 页（共 22 页） （ 2）当 x 0 时， f（ x） 成立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22自圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条割线 图所示，其中割线 圆心O ， P=15， （ 1）求 大小； （ 2）分别球线段 长度 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的极坐标方程为 0，将曲线 （ 为参数）经过伸缩变换 后得到 1）求曲线 参数方程； （ 2）若点 M 在曲线 运动，试求出 M 到曲线 C 的距离 d 的取值范围 选修 4等 式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 5| |x+a| （ 1）当 a=3 时，不等式 f（ x） k+2 的解集不是 R，求 k 的取值范围； （ 2）若不等式 f（ x） 1 的解集为 x|x ，求 a 的值 第 5 页（共 22 页） 2016 年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 A=x|x2+x 0， B=x|5x 5，则 AB=（ ） A x|x 0 或 x 1 B x|x 1 C x|x 1 D x|x 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合 A， B，然后利用交集运算得答案 【解答】 解：由 x2+x 0，得 x 1 或 x 0， A=x|x2+x 0=x|x 1 或 x 0， 由 5x 5，得 x 1， B=x|5x 5=x|x 1， AB=x|x 1 或 x 0x|x 1=x|x 1 故选： C 2已知 =b+i（ a， b R），其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 先化简复数，再利用复数相等，解出 a、 b，可得结果 【解答】 解：由 得 a+2i=1，所以由复数相等的意义知 a= 1， b=2，所以 a+b=1 另解：由 得 =b+i（ a， b R），则 a=1， b=2， a+b=1 故选 B 3下列函数中既 是奇函数又在区间， 1， 1上单调递减的是（ ） A y= y= |x+1| C D y= （ 2x+2 x） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可 【解答】 解： y=奇函数，但是， 1， 1上单调增函数 y= |x+1|不是奇函数， 对于 ，因为 f（ x） = = = f（ x），所以 是奇函数， 在 1， 1上单调减函数， y= （ 2x+2 x）是偶函数， 1， 1上单调递增 故选： C 第 6 页（共 22 页） 4下列说法错误的是（ ） A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关 关系 B在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相关性越强 C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D在回归分析中， 模型比 模型拟合的效果好 【考点】 相关系数 【分析】 A 根据相关关系的定义，判断命题 A 正确； B 线性回归分析的相关系数 r 的绝对值越接近 1，线性相关性越强，判断命题 B 错误； C 一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题 C 正确； D 用相关指数 画回归效果时， 值越大说明模型 拟合效果越好，由此判断命题 D 正确 【解答】 解：对于 A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系， 命题 A 正确； 对于 B，线性回归分析中，相关系数 r 的绝对值越接近 1，两个变量的线性相关性越强， 反之，线性相关性越弱， 命题 B 错误； 对于 C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高， 命题 C 正确； 对于 D，回归分析中，用相关指数 画回归效果时， 值越大说明模型拟合效果越好， 模型比 模型拟合效果好，命题 D 正确 故选： B 5在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣： “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ” 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯 A 2 B 3 C 5 D 6 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以 a 为首项，以 2 为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得 a 的方程 ，解方程可得 【解答】 解：设第七层有 a 盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数 构成一个以 a 为首项，以 2 为公比的等比数列， 由等比数列的求和公式可得 =381，解得 a=3， 顶层有 3 盏灯， 故选： B 6执行如图所示的程序框图，若输入 x=2，则输出 y 的值为（ ） A 23 B 11 C 5 D 2 第 7 页（共 22 页） 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量 y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， y=5，不满足输出条件，故 x=5， 再次执行循环体后， y=11，不满足输出条件，故 x=11， 再次执行循环体后， y=23，满足输出条件， 故输出的 y 值为 23， 故选： A 7双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 倾斜角为 45的直线交双曲线右支于 M 点，若 直 x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A B C 1+ D 1+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将 x=c 代入双曲线方程求出点 M 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 a， b， 出离心率的值 【解答】 解：将 x=c 代入双曲线的方程 =1（ a 0， b 0）得 y= ， 即 M（ c， ） 在 =1 即 ，解得 e= = +1 故选： C 8已知实数 x， y 满足 ，则 z= 的最大值是（ ） 第 8 页（共 22 页） A B 1 C 3 D 9 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域要使 z= 最大，则 x 最小， y 最大即可，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则 x 1， y 1， 要使 z= 的最大，则 x 最小， y 最大即可， 由图象知当 z= 经过点 A 时， z 取得最大值， 由 ，得 x=1， y=3，即 A（ 1， 3）， 则 z= 的最大值是 z= =9， 故选： D 9已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位： 则这个几何体的 体积为（ ） A 20 22 24 26考点】 由三视图求面积、体积 第 9 页（共 22 页） 【分析】 根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥， 直四棱锥底面是一个边长为 4 的矩形，高是 3， 由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为 1、 4，由正视图得高即四棱锥的侧棱 为 3， 几何体的体积 V= +4 3=20（ 故选： A 10在 ， ， ， ，若动点 P 满足 = +（ 1 ） （ R），则点 P 的轨迹与直线 围成的封闭区域的面积为（ ） A 3 B 4 C 6 D 12 【考点】 轨迹方程 【分析】 根据向量加法的几何意义得出 P 点轨迹，利用正弦定理解出 得出 面积，从而求出围成封闭区域的面积 【解答】 解：设 = = +（ 1 ） = +（ 1 ） C， D， P 三点共线 P 点轨迹为直线 在 ， 由正弦定理得 = A+C） = S = S S 故选： B 第 10 页（共 22 页） 11如图，在长方形 ， ， ， E 为线段 一动点，现将 起，使点 D 在面 的射影 K 在直线 ，当 E 从 D 运动到 C，则 K 所形成轨迹的长度为（ ） A B C D 【考点】 轨迹方程 【分析】 根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接 DK，则 D0，得到 K 点的轨迹是以 直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度 【解答】 解：由题意，将 起，使平面 平面 平面 过点 D 作 K 为垂足，由翻折的特征知，连接 DK， 则 D0，故 K 点的轨迹是以 直径的 圆上一弧，根据长方形知圆半径是 ， 如图当 E 与 C 重合时， = ， 取 O 为 中点，得到 正三角形 故 ， ， 其所对的弧长为 = ， 故选： D 12已知函数 f（ x） =x2+在极小值，且对于 b 的所有可能取值 f（ x）的极小值恒大于 0，则 a 的最小值为（ ） A e D 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 求函数的导数，根据函数存在极小值等价为 f（ x） = x+b=0 有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式 之间的关系进行转化求解即可 【解答】 解：函数的定义域为（ 0， +）， 则函数的导数 f（ x） = x+b， 若函数 f（ x） =x2+在极小值， 第 11 页（共 22 页） 则 f（ x） = x+b=0 有解， 即 x2+bx+a=0 有两个不等的正根， 则 ，得 b 2 ，（ a 0）， 由 f（ x） =0 得 ， ， 分析易得 f（ x）的极小值点为 b 2 ，（ a 0）， = （ 0， ）， 则 f（ x） 极小值 =f（ =a=a， 设 g（ x） =a， x （ 0， ）， f（ x）的极小值恒大于 0 等价为 g（ x）恒大于 0， g（ x） = +x= 0， g（ x）在（ 0， ）上单调递减， 故 g（ x） g（ ） = a 0， 得 ，即 a a 故 a 的最小值为是 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13将函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称，则函数 f（ x）在 0， 上的最小值为 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 根据函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数 f（ x）在 0， 上的最小值 第 12 页（共 22 页） 【解答】 解：将函数 f（ x） =2x+）（ | ）的 图象向左平移 个单位后，得到y=2x+ +）的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得 += =， k Z，又 | ， = ， f（ x） =2x ） x 0， ， 2x ， ，故当 2x = 时， f（ x）取得最小值为 ， 故答案为： 14若 x+ ） n（ n N*）的展开式中存在常数项，则常数项为 84 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 写出二项式（ x+ ） n 的展开式的通项，可得 x+ ） n 的展开式的通项，再由 x， y 的指数为 0 求得 n， r 的值，则答案可求 【解答】 解： 二项式（ x+ ） n 的展开式的通项为， 则要使 x+ ） n（ n N*）的展开式中存在常数项， 需 ，即 n=9， r=3 常数项为： 故答案为： 84 15已知等差数列 公差 d 0，且 等比数列，若 ， 数列 n 项的和，则 的最小值为 4 【考点】 等差数列的性质 【分析】 由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差 d，代入等差数列的通项公式、前 n 项和公式求出 入 利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值 第 13 页（共 22 页） 【解答】 解：因为 等比数列，所以 ， 又 ，所以（ 1+2d） 2=1 （ 1+12d）， 解得 d=2 或 d=0（舍去）， 所以 +（ n 1） 2=2n 1， = 则 = = = = 2 2 2=4， 当且仅当 时取等号，此时 n=2，且 取到最小值 4， 故答案为： 4 16已知抛物线 x，过其焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点， M 为抛物线的准线与x 轴的交点， ，则 | 16 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 程 y=k（ x 1），与抛物线方程 x 联立，利用 ，建立 出 k，即可得出结论 【解答】 解：焦点 F（ 1， 0）， M（ 1， 0），设 程 y=k（ x 1）， 设 A（ B（ ， = ， 整理可得 2k（ = （ ）（ ） + *） y=k（ x 1），与 x 联立可得 2） x+ 可得 ， x1+2， 4 代入（ *）可得 2k（ = ， ， （ +2） 2 4=（ ） 2， k= ， 第 14 页（共 22 页） x1+2=14， | =16 故答案为： 16 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，选做题 3 小题，考生任作一题，共 10 分 17已知 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c （ 1）若 = ，且 2 =，求角 C 的大小； （ 2）若 锐角三角形，且 A= ， a=2，求 积的取值范围 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理化简 可得 是 C= 2A，代入 2 =化简可求得 A； （ 2）利用正弦定理用 B 表示出 b， c，得到面积 S 关于 B 的函数，求出 B 的范围，得出 【解答】 解：（ 1） ， ， A=B C= 2A 2 =， 2+=， 即（ 1 2） =， 解得 ， A+B+C=， A=B， A ， ， A= ， C= 2A= （ 2）由正弦定理得 ， b=2 c=2 ） =2 第 15 页（共 22 页） S= =2= 2B ） +1 锐角三角形， ， 2B ， 2 2B ） 1+ 积的取值范围是（ 2， 1+ 18微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使 用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各 50 名其中每天玩微信时间超过 6 小时的用户列为 “微信控 ”，否则称其为 “非微信控 ”，调查结果如表： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ 1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为 “微信控 ”与 “性别 ”有关？ （ 2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取的 5 人中 “微信控 ”和 “非微信控 ”的人数； （ 3）从（ 2）中抽选取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送价值 200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控 ”的人数为 X，试求 X 的分布列及数学期望 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d P（ 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）计算 值，与临界值比较，可得结论； （ 2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为 3： 2，选出 5 人赠送营养面膜 1份，可得结论 （ 3） X 的取值为 1， 2， 3，再求出 X 取每一个值的概率，即可求得 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）由题意， 没有 60%的把握认为 “微信控 ”与 “性别 ”有关； 第 16 页（共 22 页） （ 2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为 3： 2，选出 5 人赠送营养面膜 1份，所抽取的 5 人中 “微信控 ”有 3 人， “非微信控 ”的人数有 2 人； （ 3） X=1， 2， 3，则 P（ X=1） = =P（ X=2） = =P（ X=3） = = X 的分布列为： X 1 2 3 P 的数学期望为 19在四棱柱 ，底面 菱形，且 0 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 ， ，求二面角 大小 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 为正三角形， 1D，设 交点为O，推导出 此能证明平面 平面 （ 2）以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 大小 【解答】 证明：（ 1） B= 0， 为正三角形， 1D， 设 交点为 O，则 又 菱形， C=O， 平面 面 平面 平面 解：（ 2） 1D， =2， D， B， D， 0， ， D=O， 底面 如图，以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 1， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， D（ 0， 1， 0）， 0， 0， 1）， = =（ 1， 0， 1）， =（ 0， 2， 0）， 第 17 页（共 22 页） 设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， 由 ，取 x=1，得 =（ 1， 0， 1）， 平面 一个法向量为 =（ 2， 0， 0）， 设二面角 平面角为 ， 则 = ， =45， 二面 角 大小为 45 20已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 c， 0）、 c， 0）， P 为椭圆 C 上任意一点，且 最小值为 0 （ ）求曲线 C 的方程； （ ）若动直线 与椭圆 C 相切，且 探究在 x 轴上是否存在定点 B，使得点 B 到 距离之积恒为 1？若存在，请求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）设 P（ x， y），由 最小值为 0，得 1 ，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）当直线 率存在时，设其方程为 y=kx+m， y=kx+n，把 方程代入椭圆方程，得（ 1+22=0，由直线 椭圆 C 相切，得 +2理， +2而求得 t= 1，由此能求出满足题意的定点 B 的坐标 【解答】 解：（ ）设 P（ x， y），则有 =（ x+c， y）， =（ x c， y）， =x2+， x a， a， 由 最小值为 0，得 1 ， 第 18 页（共 22 页） c=1， ， 椭圆 C 的方程为 （ ）当直线 率存在时，设其方程为 y=kx+m， y=kx+n， 把 方程代入椭圆方程，得（ 1+22=0， 直线 椭圆 C 相切， =164（ 1+2 22） =0， 化简，得 +2 同理， +2 m2= m=n，则 重合，不合题意， m= n， 设在 x 轴上存在点 B（ t， 0），点 B 到直线 距离之积为 1， 则 =1，即 |， 把 1+2k2=入并去绝对值整理，得： 3） =2 或 1） =0， 前式不恒成立，而要使得后对任意的 k R 恒立， 则 1=0，解得 t= 1 当直线 距离之积为（ ）（ ） =1， 定点（ 1， 0）到直线 距离之积为（ ）（ ） =1， 综上所述，满足题意的定点 B 为（ 1， 0）或（ 1， 0） 21设函数 f（ x） =ex+x+1） （ 1）当 a=2 时，判断函数 f（ x）在定义域内的单调性； （ 2）当 x 0 时， f（ x） 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导函数，利用二次求导得出导函数的最小值等于零，判断出原函数的单调性； （ ）根据第一问结论，求函数的导函数，根据导函数对 a 进行分类讨论，当 a 2 时，利用单调性易证结论成立；当 a 2 时，构造函数，利用二次求导判断得 出不符合题意，最后得出 a 的范围 【解答】 解：（ ）函数的定义域为（ 1， +）， f（ x） = 2， 记 g（ x） = 2， g（ x） =， 当 x 0 时， g（ x） 0， 当 1 x 0 时， g（ x） 0， f（ x） f（ 0） =0， f（ x）在（ 1， +）上递增； （ ） f（ x） = a，由上可知 f（ x）在（ 0， +）上递增， 当 a 2 时， f（ x） f（ 0） =2 a 0， f（ x）递增， f（ x） f（ 0） =1 成立； 第 19 页（共 22 页） 当 a 2 时，记 m（ x） =f（ x） m（ x） = a+ 记 n（ x） = a+n（ x） =+ 当 x 1 时， n（ x） e 1 0，当 0 x 1 时， n（ x） 0， m（ x）在（ 0， +）上递增， 又 m（ 0）