2016年陕西省高考数学全真模拟文科试卷（五）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五） 一、选择题 1设复数 z=（ 2 i） 2，则 z 的共轭复数为（ ） A 3+4i B 3 4i C 5 4i D 5+4i 2 值为（ ） A B C D 3已知命题 p： x R， 1，则 p 是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C x R， 1 D x R， 1 4已知平面向量 =（ 1， 1）， =（ 1， 1），则向量 =（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 1， 0） D（ 1， 2） 5已知 等差数列， 0，其前 10 项和 0，则其公差 d=（ ） A B C D 6一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位： 则该组合体的体积为（ ） A 32 B 48 C 64 D 56 7海面上有 A， B， C 三个灯塔， |10n A 望 C 和 B 成 60视角，从 B 望 成 75视角，则 |（ ） n n 示海里， 1n 582m） A 10 B C 5 D 5 8如图，一面旗帜由 A， B， C 三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则 A 区域是红色的概率是（ ） A B C D 9在平面直角坐标系 ，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x2y=0，则它的离心率为（ ） A B C D 2 10执行如图的算法语句，则输出 S 为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 11已知点 P 是圆 x2+ 上的动点，点 A， B， C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且 =0，则 | |的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 12已知函数 和函数 ，若存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，则实数 a 的取值范围是（ ） A B 1， 2） C D 二、填空题 13已知实数 x， y 满足 ，则 x+2y 的最大值为 _ 14已知 l、 m 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，有下列 4 个命题： 若 l，且 ，则 l ； 若 l ，且 ，则 l ； 若 l ，且 ，则l ； 若 =m，且 l m，则 l 其中真命题的序号是 _（填上你认为正确的所有命题的序号） 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ 2 x），当 x 1 时，有 x） f（ x）成立；若 1 m 2， a=f（ 2m）， b=f（ 2）， c=f（ 则 a， b， c 大小关系为 _ 16已知抛物线 C： x 与点 M（ 1， 2），过 C 的焦点，且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 =0，则 k=_ 三、解答题 17已知函数 f（ x） =2 2 （ 1）若点 P（ ， 1）在角 的终边上，求 f（ ）的值； （ 2）若 x 0， ，求 f（ x）的最小值 18如图，直三棱柱 ABC中， 2E 为 中点， CE （ 1）求证： CE 平面 （ 2）若 ，求三棱锥 B 体积 第 3 页（共 20 页） 19班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班 25 名 女同学， 15 名男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析 （ 1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？ （ 2）随机抽出 8 位，他们的数学、地理成绩对应如表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 地理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 若规定 85 分以上（包括 85 分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率； 根据如表，用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明地理成绩 y 与数学成绩 x 之间线性相关关系的强弱如果有较强的线性相关关系，求 y 与 x 的线性回归方程（系数精确到 如果不具有线性相关关系，请说明理由 参考公式： 相关系数 r= ；回归直线的方程是： =b +a， 其中： b= ， a= b ， 是 应的回归估计值 参考数据： =1050， 20椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 离心率为 ，点 M 为椭圆上一动点， 积的最大值为 （ 1）求椭圆的方程； 第 4 页（共 20 页） （ 2）设椭圆的左顶点为 右焦点 直线 l 与椭圆相交于 A， B 两点，连结 1B 并延长交直线 x=4 分别于 P、 Q 两点，问 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由 21设函数 f（ x） = k R （ 1）求 f（ x）的单调性； （ 2）判断方程 f（ x） =0 在区间（ 1， ）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由 选修 4何证明选讲 22如图，弦 交于圆 O 内一点 E，过 E 作 平行线与 延长线交于点P，且 （ 1）求证： （ 2）若 ，求 选修 4标系与参数方程选讲 23已知圆 E 的极坐标方程为 =4极点为原点，极 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中 0， 0， 2） （ 1）直线 l 过原点，且它的倾斜角 = ，求 l 与圆 E 的交点 A 的极坐标（点 A 不是坐标原点）； （ 2）直线 m 过线段 点 M，且直线 m 交圆 E 于 B、 C 两点，求 |定值 选修 4等式选讲 24已知 f（ x） =|x 1|+|x+a|， g（ a） =a 2 （ 1）若 a=3，解关于 x 的不等式 f（ x） g（ a） +2； （ 2）当 x a， 1时恒有 f（ x） g（ a），求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设复数 z=（ 2 i） 2，则 z 的共轭复数为（ ） A 3+4i B 3 4i C 5 4i D 5+4i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【解答】 解： z=（ 2 i） 2=4 4i+ 4i， 故选： A 2 值为（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 直接利用二倍角公式化简求解即可 【解答】 解： = 故选： B 3已知命题 p： x R， 1，则 p 是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C x R， 1 D x R， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定是 x R， 1， 故选： D 4已知平面向量 =（ 1， 1）， =（ 1， 1），则向量 =（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 1， 0） D（ 1， 2） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 直接利用向量的运算法则求解即可 【解答】 解：平面向量 =（ 1， 1）， =（ 1， 1）， 则向量 = （ 1， 1） =（ 1， 2） 故选： D 5已知 等差数列， 0，其前 10 项和 0，则其公差 d=（ ） A B C D 第 6 页（共 20 页） 【考点】 等差 数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，结合已知条件列出关于 d 的方程组，解方程即可 【解答】 解：设 公差为 d，首项为 题意得 ，解得 ， 故选 D 6一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位： 则该组合体的体积为（ ） A 32 B 48 C 64 D 56 【考点】 由三视图求面积 、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成利用长方体的体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成 上面的长方体的棱长分别为： 5， 4， 2； 下面的长方体的棱长分别为： 6， 4， 1 该组合体的体积 =5 4 2+6 4 1=64 故选： C 7海面上有 A， B， C 三个灯塔， |10n A 望 C 和 B 成 60视角，从 B 望 成 75视角，则 |（ ） n n 示海里， 1n 582m） A 10 B C 5 D 5 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 ， |10n A=60， B=75， C=45，利用正弦定理，即可求得结论 【解答】 解：由题意， ， |10n A=60， B=75， C=45 由正弦 定理可得 = ， |5 n 故选： D 第 7 页（共 20 页） 8如图，一面旗帜由 A， B， C 三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则 A 区域是红色的概率是（ ） A B C D 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 由题意知本题是一个古典概型，列出树状图，要做到不重不漏，从树状图可以看出试验发生的所有事件，数出满足条件的事件数，根据古典概型概率公式得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个古典概型，如图所有可能结果共有 4 6=24 种 A 区域是红色可能结果有 6 种，所以 A 区域是红色的概率是 = 故选： B 9在平面直角坐标系 ，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x2y=0，则它的离心率为（ ） A B C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x 2y=0 能够得到 ，由此能够推导出双曲线的离心率 【解答】 解：由 得 b=2a， ， 故选 A 10执行如图的算法语句，则输出 S 为（ ） 第 8 页（共 20 页） A B C D 【考点】 伪代码 【分析】 模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出 S=1+ + + 的值，用裂项法即可计算求值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出 S=1+ + + 的值 由于 S=1+ + + + =1+2 （ ） +（ ） +（ ） =1+2 （ ） = 故选： B 11已知点 P 是圆 x2+ 上的动点，点 A， B， C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且 =0，则 | |的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 平面向量数量积的运算；直线与 圆的位置关系 【分析】 由题意画出图形，把 用向量 与 表示，然后利用向量模的运算性质求得 | |的最小值 【解答】 解： =0， 0， 接圆直径， 如图，设坐标原点为 O， 则 = = ， P 是圆 x2+ 上的动点， ， | |= 当 与 共线时，取得最小值 5 故选： B 第 9 页（共 20 页） 12已知函数 和函数 ，若存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，则实数 a 的取值范围是（ ） A B 1， 2） C D 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 根据已知函数 f（ x）的定义域，求出其值域，对于 g（ x）利用导数求出其值域，已知存在 0， 1，使得 f（ =g（ 可 知 g（ x）的最大值大于等于 f（ x）的最小值， g（ x）的最小值小于等于 f（ x）的最大值； 【解答】 解：函数 ， 当 x 1 时， f（ x） = ， f（ x） = = 0， f（ x）为增函数， f（ ） f（ x） f（ 1）， f（ x） （ ， ； 当 0 x 时， f（ x） = x+ ，为减函数， f（ ） f（ x） f（ 0）， f（ x） 0， ， 综上： f（ x） 0， ； 函数 ， g（ x） = ， 0 ， g（ x） 0； g（ x）为增函数， g（ 0） g（ x） g（ 1）， 第 10 页（共 20 页） g（ x） =1 a， 1 ， 存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立， g（ x）的最大值大于等于 f（ x）的最小值， g（ x）的最小值小于等于 f（ x）的最大值， 解得 a 2， 故选 C； 二、填空题 13已知实数 x， y 满足 ，则 x+2y 的最大值为 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最 值，只需求出直线 z=x+2y 过点A（ 0， 3）时， z 最大值即可 【解答】 解：根据约束条件 ，画出可行域如图： 直线 z=x+2y 过点 A 时， z 最大值， 由 ，解得 A（ 1， 1） 即目标函数 z=x+2y 的最大值为 3， 故答案为： 3 14已知 l、 m 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，有下列 4 个命题： 若 l，且 ，则 l ； 若 l ，且 ，则 l ； 若 l ，且 ，则l ； 若 =m，且 l m，则 l 其中真命题的序号是 （填上你认为正确的所有命题的序号） 【考点】 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对于 ，根据线面垂直的判定可知，只要当 l 与两面的交线垂直时才有 l ；对于 ，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于 ，若 l ， ，则 l 或 l；对于 ，若 l m，且 =m，则 l 或 l 第 11 页（共 20 页） 【解答】 解：对于 ，若 l，且 ，则根 据线面垂直的判定可知，只要当 l 与两面的交线垂直时才有 l ，所以 错； 对于 ，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若 l ， ， l ； 正确 对于 ，若 l ， ，则 l 或 l，所以 错 对于 ，若 l m，且 =m，则 l 或 l，所以 错 故答案为 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ 2 x），当 x 1 时，有 x） f（ x）成立；若 1 m 2， a=f（ 2m）， b=f（ 2）， c=f（ 则 a， b， c 大小关系为 a b c 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 函数 f（ x）在定义域 R 内可导， f（ x） =f（ 2 x），知函数 f（ x）的图象关于 x=1对称再根据函数的单调性比较大小即可 【解答】 解： f（ x） =f（ 2 x）， 令 x=x+1，则 f（ x+1） =f2（ x+1） =f（ x+1）， 函数 f（ x）的图象关于 x=1 对称； 令 g（ x） = ，则 g（ x） = ， 当 x 1 时， x） f（ x）成立 ， 即 x） f（ x） 0 成立； x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递增， 1 m 2， 2 2m 4， 0 1， a b c， 故答案为： a b c 16已知抛物线 C： x 与点 M（ 1， 2），过 C 的焦点，且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 =0，则 k= 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线 率为 k，得出 方程，联立方程组，由根与系数的关系得出 A，B 两点的坐标的关系，令 1 列方程解出 k 【解答】 解：抛物线的焦点为 F（ 1， 0）， 直线 方程为 y=k 联立方程组 ，消元得： 2） x+， 设 A（ B（ 则 x1+=2+ y1+y2=k（ x1+ 2k= ， 4 =0， 1 第 12 页（共 20 页） 即 = 1， 2（ y1+4+x1+=0， 4 +4+1+2+ +1=0，解得 k=1 故答案为： 1 三、解答题 17已知函数 f（ x） =2 2 （ 1）若点 P（ ， 1）在角 的终边上，求 f（ ）的值； （ 2）若 x 0， ，求 f（ x）的最小值 【考点】 三角函数的最值； y=x+）中参数的物理意义 【分析】 （ 1）根据题意和任意角的三角函 数定义求出 入解析式求出 f（ ）的值； （ 2）根据二倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，由 x 求出 的范围，由正弦函数的性质求出 f（ x）的最小值 【解答】 解：（ 1） 点 P（ ， 1）在角 的终边上， ， ， f（ x） =2 2 =2 （ ） 2= 3； （ 2）由题意得， f（ x） =2 2 = 2= 1 = ， 由 x 得， ， 则 ， 即 ， f（ x）的最小值是 f（ 0） = 2 18如图，直三棱柱 ABC中， 2E 为 中点， CE （ 1）求证： CE 平 面 （ 2）若 ，求三棱锥 B 体积 第 13 页（共 20 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）证明 CE 用 CE E=E，即可证明 CE 平面 （ 2）利用等体积转化求三棱锥 B 体积 【解答】 （ 1）证明：在矩形 A， E 为 AA 中点且 2 C， AC， A5， CE CE E=E， CE 平面 （ 2）解： BC BC平面 平面 BC 平面 C CE 平面 CE CEC， 平面 ， ， C=2 ， C = 19班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班 25 名女同学， 15 名男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析 （ 1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？ （ 2）随机抽出 8 位，他们的数学、地理成绩对应如表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 地理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 若规定 85 分以上（包括 85 分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地 理分数均为优秀的概率； 根据如表，用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明地理成绩 y 与数学成绩 x 之间线性相关关系的强弱如果有较强的线性相关关系，求 y 与 x 的线性回归方程（系数精确到 如果不具有线性相关关系，请说明理由 参考公式： 第 14 页（共 20 页） 相关系数 r= ；回归直线的方程是： =b +a， 其中： b= ， a= b ， 是 应的回归估计值 参考数据： =1050， 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 （ 2） 根据古典概型的概率公式 进行计算即可 首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和 x， y 的平均数代入公式，求出 a 的值， 写出线性回归方程，得到结果 【解答】 解：（ 1）从全班 25 位女同学， 15 位男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析 抽取女生数 =5 人，男生数 =3 人； （ 2） 规定 85 分（含 85 分）以上为优秀， 一个学生两科都优秀的为 个同学， 则两科都优秀的概率是 P= r=r= 常接近于 1， 地理成绩 y 与数学成绩 x 之间有较强的线性相关关系，则对应的散点图如图： = = = =84.9 b a 线性回归方程为： y= 15 页（共 20 页） 20椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 离心率为 ，点 M 为椭圆上一动点， 积的最大值为 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设椭圆的左顶点为 右焦点 直线 l 与椭圆相交于 A， B 两点，连结 1B 并延长交直线 x=4 分别于 P、 Q 两点，问 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）设 c=t，（ t 0）则 a=2t， b= ，由 积取最大值 ，求出 t=1，由此能求出椭圆方程 （ 2）设直线 方程为 x=，联立 ，得（ 3） 9=0，由此利用韦达定理、直线方程、向量的数量积，结合已知条件能求出 为定值 0 【解答】 解：（ 1） 椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 离心率为 ， 设 c=t（ t 0）则 a=2t， b= ， 又 积取最大值 时，即点 P 为短轴端点， = ，解得 t=1， 椭圆方程为 （ 2）设直线 方程为 x=， A（ B（ 联立 ，得（ 3） 9=0， 第 16 页（共 20 页） ， ， 直线 方程为 y= ， 直线 方程为 y= ， P（ 4， ）， Q（ 4， ）， =（ 3， ）， =（ 3， ）， =9+（ ）（ ） = ， 为定值 0 21设函数 f（ x） = k R （ 1）求 f（ x）的单调性； （ 2）判断方程 f（ x） =0 在区间（ 1， ）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）先求导，再分类根据导数和函数单调性的 关系即可解决； （ 2）根据函数的单调性以及 k 的范围，即可判断 f（ x） =0 在区间（ 1， ）解得个数 【解答】 解：（ 1） f（ x） = 定义域为（ 0， +）， f（ x） =x ， 当 k 0 时， f（ x） 0 恒成立，故 f（ x）在（ 0， +）单调递增， 当 k 0 时，令 f（ x） =0，解得 x= 当 f（ x） 0 时，解得 x ，此时函数 f（ x）在（ ， +）单调递增， 当 f（ x） 0 时，解得 0 x ，此时函数 f（ x）在（ 0， ）单调递减， 综上所述，当 k 0 时， f（ x）在（ 0， +）单调递增， 当 k 0 时， f（ x）在（ ， +）单调递增，在（ 0， ）单调递减 （ 2）由（ 1）可知， 当 k 0 时， f（ x）在（ 0， +）单调递增， 方程 f（ x） =0 在区间（ 1， ）上是有解， 第 17 页（共 20 页） 即 此时 k 的值不存在， f（ 1） = 0， f（ ） = ， 当 0 1 时，即 0 k 1 时， f（ x）在（ 1， ）单调递增，由 f（ 1） = 0，故 f（ x）=0 在区间（ 1， ）上无解 当 1 时，即 1 k e 时， f（ x） f（ ） = 0，故 f（ x）=0 在区间（ 1， ）上无解 当 时，即 k e 时， f（ x）在（ 1， ）单调递减，由 f（ ） = 0，故 f（ x）=0 在区间（ 1， ）上有唯一解， 综上所述，当 k e 时， f（ x） =0 在区间（ 1， ）上无解， 当 k e 时，故 f（ x） =0 在区间（ 1， ）上有唯一解 选修 4何证明选讲 22如图，弦 交于圆 O 内一点 E，过 E 作 平行线与 延长线交于点P，且 （ 1）求证： （ 2）若 ，求 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 （ 1）证明两组对应角相等，即可证明： （ 2）利用相似三角形的性质，结合 ，求 【解答】 （ 1）证明： 在圆中 （ 2）解： = ， A 设 AD=x x， x， 6 2 ） 2， x=2 第 18 页（共 20 页） 选修 4标系与参数方程选讲 23已知圆 E 的极坐标方程为 =4极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中 0， 0， 2） （ 1）直线 l 过原点，且它的倾斜角 = ，求 l 与圆 E 的交点 A 的极坐标（点 A