2016年第2届UPhO邀请赛试题-附详解V7

第二届 UPhO 邀请赛 命题人：蔡子星 审题人：唐鹏 考试说明： 1、 本次比赛邀请各重点中学物理竞赛选手参加，旨在加强校际交流，帮助同学进入考试状 态，锻炼考试做新题的心态。 2、 考试时间为 3 小时， 线上线下同步进行， 线上比赛请登录 注册答题， 4 月 2 日 12:00 至 4 月 5 日 12:00 为比赛时间。 线下比赛在 4 月 2 日至 4 月 5 日在各中学 举行，请在 4 月 5 日 12:00 前将试卷扫描件发送至 wuli。4 月 11 日在网 站公布比赛结果，和各省排名。 请只在答题纸作答，并填写答案，所有答案为三位有效数字的科学计数。可以使用非编程计 算器独立作答。 【题一】 疯狂的科学家想制造一条太空锁链。在地球赤道上两处，各立起来一根长柱子，柱子顶端到 地球球心的距离是R，忽略地球自转，地球半径为r，表面重力加速度为g。在两根柱子 的顶端之间连接一根质量均匀的链条，链条处于平衡状态。 （1）如果链条最低点到地心距离为 1 r，链条上拉力最大值为 1 F，拉力最小值为 2 F，求在端 点处链条切线与柱子的夹角； （2）接上一问，求链条的质量线密度。 【参数】 7 1 1.84 10 NF ， 6 2 8.83 10 NF ， 7 1.27 10 mR ， 6 1 8.91 10 mr ， 6 6.37 10r 2 9.8m/sg 【解答】 （1）由整体法容易得到拉力最大值位于顶点处，最小值位于最低点处。取链条的一半，相 对于地心力矩平衡有： 12 1 sinFRF r 得到 2 1 1 sin F r FR （2）还是取链条的一半，给一个沿链条方向朝外的长度为l的微小虚位移，由虚功原理得 到 12 1 GMlGMl F lFl Rr 得到质量线密度为 1212 2 11 1111 ()() FFFF GMgr rRrR 【答案】 （1） 2 1 1 arcsin()19.7 F r FR （2） 12 2 1 0.719kg/m 11 () FF gr rR 【题二】 如果一个轻质的桌子，桌面是一个半径为 1 的圆，在圆周上的N等分点上有N个等长的桌 腿。桌腿可以被压缩但是不可以被拉伸。被压缩的桌腿可以视为劲度系数为k的弹簧。在桌 面上放一个重力为G的质点（Gkr）后，有些桌腿上会有应力，有些桌腿会悬空。 （1）4N ， 质点在某些区域的时候， 能使得恰好有一个桌腿悬空， 求出这个面积的大小 1 S （2）5N ，3mN，质点在某些区域的时候，能使得恰好有m个桌腿悬空，求出这 个面积大小 2 S 【参数】 21N ，15m 【解答】 如图， 设从中心点到第i条腿的矢经为 i r， 第i条腿的压缩量为 i z。 定义桌面转动角矢量： 大小为倾斜后与水平面的夹角，方向为水平面内垂直于旋转轴，指向压缩的一方。 则各条腿的压缩量为： ii zrh 记质点所在位矢为 c r，则平衡条件为：力平衡： 0 i z i i kzG 力矩平衡： 0 0 i z iic i zrkzrG 即 0 i z i ic i kz rGr 设1 s桌腿着地，其临界情况只有四种可能（或它们的某些交集） ： 0,1,2,., I: 0,1,2,.,1 0, i i i zis zissN ziN 0,1,2,., II:0,1 0,2,3,., i i i zis zis zissN 0,1 III:0,2,3,., 0,1,2,., i i i zi zis zissN 0,1,2,.,1 IV:0, 0,1,2,., i i i zis zis zissN 平衡方程是线性方程， 且所有可能情况只有四种， 因此满足1 s桌腿着地的区域为四边形。 记使得从第i条腿开始有s条腿着地的区域为 , i s D，易知 ,11, 1,11, 1,2,1 1,1,1 I II III IV N ss ss ss ss DD DD DD DD 可以定性作出上述四种临界情况（即四个直线边界） ： 其中的x指向 1s rr的方向。系统相对于x轴有镜面对称，因此可到I,II、III,IV分别相对 于x轴镜像对称。 记 , i s D的外边界点为 , i s P， 即I,II边界交点为 ,1N s P ，III,IV边界交点为 1,s P. 可以得到 1,s D即 1,1,1,2,1,2 1 ssN sN s P PPPsN 四个点围成的四边形区域。 易知对2s 的情况，总区域为桌腿围成的正N边形以外区域。 对1sN的情况， 1,s D为 1,1 1,NNN N PP P 而对sN的情况，使得每条腿都着地的总区域为 1,2, . ssN s P PP 所围成的正N边形。 下面计算 1,s P。 记 2 N ，则有： 11 cos,sin 22 i ss rii 记质点此时所在位置为,0 css rx，旋转角度为,0 s 于是有 1 cos 2 iis s zrhih 由 1 0z 或0 s z 得到： 1 cos10 2 s s h 即 1 cos1 2 s s h 由力平衡得到： 1 2 1 cos 2 s s i s kihG 由力矩平衡得到： 1 2 11 coscos 22 s ss i ss ikihGx 解得： 1 2 1 2 111 coscoscos1 222 11 coscos1 22 s i s s i sss ii x ss i Mathematica 大法好： 1sinsin 1 22sin cos12cossin 222 s ss x s ss 于是得到总面积为 ,s21sinNsss SN xxx N 带入题目参数21,6NsNm得到： 12 0.95401,0.93088,0.90437 sss xxx 于是有总面积 , 0.145 N s S （1）如图，设四条腿分别位于 1234 A A A A处。此时对应1sN的情况。 则易得 1,3 P为 2 A， 1,4 P为 2 B， 4,4 P为 1 B。 于是得到使 123 A A A着地的区域为 122 B A B，因此使得三条腿着地的区域为 1234 B B B B以外、 1234 A A A A以内。 易得面积为 1 【答案】 （1） 1 （2） ,s21sin 0.145 Nsss SN xxx N ，其中 1sinsin 1 22sin cos12cossin 222 s ss x s ss 【题三】 LIGO 在 2016 年 2 月 11 日终于正式宣布发现高频引力波。这次探测引力波的仪器可以视为 一个巨大的迈克耳逊干涉仪。波长为10.6m激光在两条相互垂直的长度为4kml 通 道中运动200N 个来回后发生干涉，通过测量干涉图形可以判定光在两条路线中传播的 时间差。当有引力波通过的时候，时空结构会发生弯曲，相当于导致空间的长度发生变化， 相对变化比为，即原长为l的通道变为(1)l，从而引起干涉图像的变化。我们把称 为引力波的“振幅” （1） 假设通过两束光干涉图像能分辨的相位差为 8 10 ，则这个干涉仪的分辨精度 0 的数量级为多少？填入答案和 10 log最接近的整数 （2） 月球质量为m，地月距离为r，万有引力常数为G，光速为c，月球的引力场在距 离r带来的空间弯曲可以近似认为是 2 m Gm rc ，计算这一效应带来的相位改变 m 的数量 级。填入答案和 10 log m 最接近的整数 （3）由于黑洞合并产生的引力波的频率极高，所以低频的扰动实际上对结果影响不大。已 知引力波的能流密度为 2 jAG c f ，其中A为无量纲常数，f为应力波频率，通过量 纲分析计算得到 （4）计算（3）中的 （5）计算（3）中的 （6） 这次探测的事件发生在距离我们 13 亿光年星系。 两个质量分为29 S M和36 S M的黑洞 （其中 S M为太阳质量）在 0.2 秒内合并成为一个质量为62 S M的黑洞。合并的时候引力波 频率达到100Hz。 我们假设亏损的质量全部转成能量， 以引力波的形式放出， 取上一问1A， 估算引力波到达地球的时候的振幅 B 的数量级。填写和 10 log B 最接近的整数。 【参数】 112-2 6.67 10Nm kgG ， 22 7.35 10 kgm， 8 3.84 10 mr ， 8-1 3.00 10 msc ， 30 1.99 10 kg S M 【解答】 （1）两束光的相位差是 2 2 Nl 令为题目中的最小值，则 10 log为 10 log20 22Nl （2）对 2 m Gm rc 式中l展开到一阶小量 22 Gm l r c 因为只要求求出数量级，这里忽略系数，于是 22 22 22 m NlGmNl l r c 算出 10 log m 约为 6 （3） （4） （5）四个亮的量纲为别为 3 jMT 132 GMLT 1 cL T 1 fT 设出方程求解即可，解得， ，分别为-1，3，2 （6）距我们 13 亿光年的黑洞产生的能流密度为 2 2 4 mc j rt 代入质量变化为2936623 SSSS mMMMM，r是 13 亿光年，于是产生的 B 为 1 32 B j AG c f 最终结果为 1010 22 loglog21 4 B mG rtf c 【答案】 （1） 10 log20 22Nl （2） 2 10 22 4 log6 Nl Gm r c （3）1 （4）3 （5）2 （6） 10 22 3 log21 4 S M G L tf c 【题四】 我们决定研究一下彩虹有几种。考虑一个球形的小液滴飘在空中，折射率为n 。一束光线 以入射角入射后，经过N次反射后出射，如图定义偏转角为 n 。假设平行光照射到一大 片小水滴上，如果( ) n 在某处出现极值，则在这个方向上有一片入射光都以相同的方向 出射，于是在这些方向就就会显著比其他地方亮，被称为第N级虹。在中文中，1N 被 称为虹，2N 被称为霓，3N 没有被命名。 （1） 对于给定的 0 1.33n 和 0 ，计算 10 () （2） 接（1）问，计算 20 () （3） 对于任意的n和N，计算( ) N 取极值时对应的 Nm （4） 接上一问，计算( ) N 的极值 Nm （5） 接上一问，为了让这个现象出现，n能取到的最大值 Nm n （6） 对于一种偏振光， 从空气入射液体的时候， 光振幅的反射率为 1 coscos 1 coscos n r n ， 投射率为t，从液体入射空气的时候反射率为 rr，投射率为 t，并满足1ttrr ， 对于 0 nn，计算第 2 级和第 1 级虹光振幅平方的比值 21 /II （7） 接上一问，计算和第 3 级虹和第 1 级虹光振幅平方的比值 31 /II 【参数】 0 20.4，4N ，2.03n 【解答】 （1）每折射一次，偏转角为： 每在水滴内反射一次，偏转角为：2 由折射定律 sin =sinn 1= +2 2 2100 =+2 +226arcsin(sin()/ )2n （2）经N次反射和两次折射后 sin =2 +2 arcsin2 N NN n 令 d 0 d N ，解得： 22 2 (1) arcsin (1)1 Nm Nn N （3）代入 0 至偏转角的表达式中，得： 2222 22 (1) /1(1) (22)arcsin2arcsin (1)1(1)1 Nm NnNn NN NN 为使 0 存在 1nN （4）由定义知： 3222 22 333222 1212 11 111 1 () ,() Ir tIr t Ir tIr t 则只需计算不同情况下的折射率和反射率 代入对应极值角度计算得： 1 |=| 11 N N r N 1- ， 2 1 NN tr 代入N计算，得 32 11 21257646561 =0.218=0.400 976562516384 II II ， 【答案】 （1） 1000 4arcsin(sin()/)0216n （2） 2000 26arcsin(sin()/309.6)2n （3） 22 2 (1) arcsin68.9 (1)1 Nm Nn N （4） 2222 22 (1) /1(1) (22)arcsin2arcsin (1)1( 5 ) 4. 1 8 2 1 Nm NnNn NN NN （5）15 Nm nN （6） 21 /0.400II （7） 31 /0.218II 【题五】 请注意这是一道水题。 一个质量为m的均匀圆柱， 放在一个质量为M的角度为的斜面上。 （1）地面和斜面之间固定，斜面上表面光滑，求圆柱加速度 1 a （2）地面和斜面之间光滑，斜面上表面光滑，求圆柱相对斜面加速度 2 a （3）地面和斜面之间固定，斜面上表面摩擦系数为，发现圆柱在斜面上纯滚动，求摩擦 系数的最小值 1m （4）求（3）中圆柱的加速度 3 a （5）地面和斜面之间光滑，斜面上表面摩擦系数为，发现圆柱在斜面上纯滚动，求摩擦 系数的最小值 2m （6）求（5）中圆柱的加速度 4 a 【参数】 2 9.8m/sg ，3.18kgm ，6.4kgM ，40.7 【解答】 （1）相当于一个质点在固定斜面上运动 1 sinag （2）由水平动量守恒，设斜面移动速度是 0 v ，圆柱相对斜面斜向下的速度是 1 v ，水平动量 守恒，有 01cos Mm vmv 动能 k E 是 222 0010 1 11 2cos 22 Mvm vvv v，代入得 2 2 1 1 sin 2 k mv EMm Mm 势能 p E对时间求导是 1sin p dE mgv dt 由机械能守恒定律 0 p k dE dEdE dtdtdt 有 1 dv a dt ，解得 2 2 sin () sin gMm a Mm （3） （4）动能 k E 包括平动项和转动项 2 2 22 1 11 113 2224 k vmR Emvmv R 势能 p E对时间求导是 1sin p dE mgv dt 由机械能守恒定律 0 p k dE dEdE dtdtdt 有 1 dv a dt ，解得 3 2 sin 3 ag 由角动量定理 2 3 1 2 a fRmR R 垂直斜面方向受力平衡 cosNmg 求出 1m 的最小值是 1 1 tan 3 m f N （5） （6）由水平动量守恒，设斜面移动速度是 0 v ，圆柱相对斜面斜向下的速度是 1 v ，水平 动量守恒，有 01cos Mm vmv 得到斜面加速度 0 a和圆柱相对斜面的加速度 4 a 之间的关系 04 cosm aa mM 动能 k E 是 2 2222 1 0010 1 111 1 2cos 222 2 v Mvm vvv vmR R ，代入得 2 2 1 11 sin 22 k mv EMmMm Mm 势能 p E对时间求导是 1sin p dE mgv dt 由机械能守恒定律 0 p k dE dEdE dtdtdt 由 1 dv a dt ，解得相对加速度为 42 sin sin1 2 g a Mm Mm 由余弦定理得到加速度为： 22 44001 2cosaaaa a 2 2 4 2 2 sincos2 2sin gmMmmM a mMmM 由角动量定理 2 4 1 2 a fRmR R 斜块受合力向左为sincosNf，于是支持力是 4 cos sintan Mmf Na Mm 求出 2m 的最小值是 2 tan 3 m fMm NMm 【答案】 （1） 2 1 sin6.39m/sag （2） 2 2 2 sin () 7.90m/s sin gMm a Mm （3） 1 1 tan0.287 3 m （4） 2 3 2 sin4.26m/s 3 ag （5） 2 tan0.368 3 m Mm Mm （6） 2 2 2 4 2 2 sincos2 4.03m/s 2sin gmMmmM a mMmM 【题六】 K 介子可以在这个反应中生成： 0 pK （1）在质子静止参照系中，要求反应能够发生，求光子能量最小值 E （2）被撞击的质子可能在一个静止的原子核中，而原子核中的质子可能随机运动，最多可 能具有200MeV/c f p 的动量（费米运动） ，则光子的能量最小值为E （3）接第一问，假设 0 的飞行速度为c，飞行中衰变成为一个质子和 ，则 可能 具有的动量最大值 m p为多少（单位MeV/c） 。 （4）接上一问， 和 0 方向的最大夹角 m 为多少 【参数】 2 938MeV/c p M， 2 494MeV/c K M ， 0 2 1116MeV/cM ， 2 140MeV/cM 0.773 【解答】 （1） 、 （2）:换到质心系中，产物都相对静止（即相对质心动能为零） ，所需能量最小 222 , pp pp EP cEE PPP ccc 令0 p PP 则质心速度为： 222 + = + p pp EP c EEP c 在质心系中，能量守恒，则： 0 2 2 p += K EP cP c EE - 解得质心系中光子动量： 0 0 2 2 p = 2 K K EEE P EEc 由洛伦兹逆变换得，原系中光子能量为： 0 2 2 222 2 p K ppf EEE E EP cp c 令=0 f p，则 0 2 2 2 913MeV/c 2 p K p EEE E E 第（2）问中光子和质子迎头相碰，令 200MeV/c f p 算得： 739MeVE （3）两个产物粒子运动共线且反向时，产物之一有最大速度。 质心系中能量守恒： 0 222222 = p EEp cEp c 则各产物动量为： 0 0 2 222 2 2 p EEE pcE E 质心系中 能量为： 0 0 222 -= 2 p EEE E E 由洛伦兹逆变换，原系中最大动量为： 00 00 2 222222 2 2 1/ 22 1 m pp EEEEEE c pE EE （4）在质心系中二者速度不共线时，设 沿动量为cosp 原系中，其速度与方向夹角为则 sin tan = cos + pc pcE 令 d tan =0 d ，求得极值点函数值 2 222 2 2 1 arctan 1 m pMc p 其中： 2 222 2 2 P P MMM pcM M 【答案】 （1） 0 22 () 913MeV 2 p K p EEE E E （2） 0 2 2 222 739MeV 2 p K ppf EEE E EP cp c （3） 00 00 2 222222 2 22 2 1/ ( () 22 1 =MeV3.69 10/c m pp EEEEEE c pE EE （4） 2 222 2 2 36.3 1 arctan() 1 m pMc p 222 22 2 P P MMM pcM M （） 【题七】 鉴于热力学第二定律已经进入考纲， 我们还是考一考吧。 如图一坨流体发生气液相变的时候 形成的等温图，液态体积为 1 V，气态体积为 2 V，由于气液共存，所以流体体积可以从 1 V连 续变为 2 V。 在温度为T时， 饱和蒸气压为p。 在温度为T到TdT 之间构造一个可逆热机， 在图中沿ABCD循环， ,AB CD为等温过程，,BC DA为绝热过程， 这个循环是卡诺循环。 热力学第二定律告诉我们，这个循环的效率为 dWdT QT ，Q为相变吸热，dW为循环对 外 做 功 。 按 定 义 液 态 和 气 态 的 熵 变 21 Q SS T 。 带 入 表 达 式 后 我 们 发 现 2121 ()()dp VVdT SS 。由此可以计算饱和蒸气压随温度的变化关系 在超导态-正常态相变中也有类似的现象。正常态中，物体的磁矩0M ，超导态中 0 MB ，B为外磁场。外场对磁矩的做功可以表示为dWBdM。在温度为T时， ( ) C BB T为正常态，( ) C BB T为超导态，其中 2 0 2 0 1 C T BTB T ，而取等号的时候 则为混合态。( ) n S T和( ) s S T分别为正常态和超导态的熵。 类比上面的做法， 求出( ) n S T。 【参数】 0 0.144TB ， 6 0 2 1.25 10 N/A ，1.95KT ， 0 4.48KT 【解答】 由热力学第二定律，一个小循环的过程中 dWdT QT ，过程的熵变是 ( ) n QdW S T TdT 负号代表是磁介质对外做工，与题目中定义差一负号。代入条件得 22 000 22 00 2 ( )(1) n BdBB TdWBdMT S T dTdTdTTT 如果计算的是从正常态到超导态，那么只需要相应的给个负号即可。 【答案】 22 00 22 00 9 2 (1)=4.08 10 J/K B TT TT 【题八】 如图有三个半径为