内蒙古赤峰二中2020学年高二数学4月月考试题 文（含解析）

2020年04月12日赤峰二中高中数学文科试卷一、选择题（每小题5分共60分）1. 把1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是()A. 27B. 28C. 29D. 30【答案】B【解析】解：由已知可知第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，依次类推，第7个数比第六个数大7，这样可以类推得到1，3,6,10,15,21,28，选B2.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】乙、丁两人的观点一致，乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯3.定义、分别对应下列图形，那么下面的图形中，可以表示，的分别是（ ）A. （1）、（2）B. （2）、（3）C. （2）、（4）D. （1）、（4）【答案】C【解析】试题分析：由条件判断，是竖线，是大矩形，是横线，是小矩形，所以是小矩形和竖线的组合体，是竖线和横线的组合体，故选C.考点：推理4.设复数z满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】设，代入，得，由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求【详解】解：设，由，得，即，解得，复数z在复平面内所对应点的坐标为，位于第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题5.若复数满足(其中是虚数单位)，则的虚部为( )A. 1B. iC. 6D. -1【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】由i（z3）1+3i，得z3，z6+i则z的虚部为1故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题6.复数（为虚数单位）等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算，化简 ，即可求解。【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，故选B。【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。7.已知全集3，5，集合，则如图所示阴影区域表示的集合为A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果【详解】全集3，5，集合，3，如图所示阴影区域表示的集合为：故选：B【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题8.已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】令，则，所以函数在上单调递减.因为，所以，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等9.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【详解】集合0x1，Bx|ylg（2x1）x|x，ABx|（故选：C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10.下列命题中正确的是（ ）A. 若为真命题，则为真命题B. “”是“”的充要条件C. 命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”D. 命题：，使得，则：，使得【答案】B【解析】【分析】根据且、或命题真假性判断A选项真假，根据充要条件知识判断B选项真假，根据逆否命题的概念判断C选项真假，根据特称命题的否定是全称命题判断D选项真假.【详解】对于A选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A选项为假命题.对于B选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B选项为真命题.对于C选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C选项为假命题.对于D选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查还有简单逻辑连接词真假性，考查充要条件，考查逆否命题，考查特称命题的否定是全称命题等知识，属于基础题.11.已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为，则的极大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的图象在处切线的斜率为，得，从而得m=0，进而得f（x）的单调性，即可得极大值=.【详解】因为函数，所以 ，由函数的图象在处切线的斜率为，所以=3e，所以m=0. 即=0的根-2,0，因为 ，所以函数 递增，在 递减，在递增，所以函数的极大值=.故选：A.【点睛】本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题.12.已知函数f(x)=，则f(x)的零点可能有A. 1个B. 1个或2个C. 1个或2个或3个D. 2个或3个【答案】A【解析】【分析】分离参数a,求导确定函数的单调性即可求解【详解】由题=g(x),故g(x)单调递增，故y=-a与g(x)有一个交点，故选：A【点睛】本题考查函数零点，参数分离，导数的应用，考查计算能力，属基础题二、填空题（每小题5分共20分）13.命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】由全称命题的否定得解【详解】全称命题的否定为：改否定结论，故命题“”的否定是：故答案为：【点睛】本题考查全称命题的否定，熟记否定原则是关键，是基础题14.已知函数，则的单调递增区间为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可【详解】解：的定义域是，令，解得：，故递增，故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题15.已知函数的图像与直线相切，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】本道题目利用两个函数相切，说明在切点处斜率相等，计算出切点坐标，代入 中，计算参数a，即可得出答案。【详解】转化为，则斜率k=1，推出，代入解析式中，得到，【点睛】本道题目考查了求导计算斜率问题，关键把握两个函数在切点处斜率相等，进行解答。16.若函数在内有极小值，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：f（x）=x22bx+3a的导数为f（x）=2x2b，f（x）极小值点是方程2x2b=0的根，即x=b，又函数f（x）在区间（0，1）内有极小值，0b1，故答案为考点：利用导数研究函数的极值。点评：简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解。三、解答题17.设命题：为上的减函数，命题：函数在上恒成立若为真命题，为假命题，求的取值范围【答案】【解析】【分析】由命题“pq“为真命题，“pq“为假命题，则p与q一真一假然后利用交、并、补集混合运算求解【详解】由pq真，pq假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可若p真，由ycx为减函数，得0c1. 当时，由不等式(x1时取等号)知在上的最小值为2 若q真，则，即 若p真q假，则； 若p假q真，则. . 综上可得，【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查指数函数的性质，训练了二次不等式恒成立问题的求解方法，是中档题18.为了解太原各景点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了人，回答问题“太原市有哪几个著名的旅游景点？”，统计结果及频率分布直方图如图表组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组第2组18第3组第4组9第5组3（1）分别求出的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.【答案】(1)，；(2) 第2组2人，第3组3人，第4组1人；(3)【解析】【分析】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（3）列出从6人中随机抽取2人所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，a=1000.01100.5=5，b=1000.03100.9=27，；（2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人 （3）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200（）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？（）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（1）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（2）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：，其中.参考数据：P(K2k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关；（2）选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.【解析】试题分析：（1）计算k2，与2.027比较大小得出结论，（2）（i）根据分层抽样即可求出，（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e，根据古典概率公式计算即可试题解析：（1）由列联表可知，.因为，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为， ，；偶尔或不用共享单车的2人分别为， .则从5人中选出2人的所有可能结果为， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.选做题，请考生在20、21两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分在答题卡中把相应的题号涂黑20.在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知与，公共点分别为，当时，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，求得的极坐标方程.先将的参数方程消参得到直角坐标方程，再根据求得的极坐标方程.（2）将代入的极坐标方程，求得的表达式，代入，由此计算出的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即.曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知， ，由，知，当，.【点睛】本小题主要考查直角坐标方程、参数方程转化为极坐标方程的方法，考查利用极坐标的概念求解有关边长比值的问题，属于中档题.21.已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）， ，则，得；（2）， ，且存在实数使，可得.试题解析：（1）， ，即得，得.（2）， .，且存在实数使，.选做题，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分在答题卡中把相应的题号涂黑22.在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（）由经过伸缩变换，可得曲线的方程，由极坐标方程可得直线的直角坐标方程（）因为椭圆的参数方程为 （为参数），所以可设点，