北京市西城区2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）

北京市西城区2020学年度第二学期期末试卷高二数学2020.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数的共轭复数是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简，再求共轭复数.【详解】，所以复数的共轭复数是，故选B.【点睛】本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题.2.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数的求导公式即可.【详解】，故选D.【点睛】本题考查常见函数的求导，属于基础题.3.用0，1，2，3，4，5这个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分为有0和没0两类求解.【详解】当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：种；当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：种,两类相加一共有300种，故选B.【点睛】本题考查排列组合与分类加法计数原理，考查分类讨论思想，属于基础题.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导求斜率，再求切线.【详解】，切线的斜率，所以切线方程为，故选D.【点睛】本题考查曲线的切线方程和导数的几何意义.5.已知函数在上有导函数，图象如图所示，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出三点处的切线，比较斜率即可.【详解】如图，分别作曲线三处的切线，设切线的斜率分别为，易知，又，所以.故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线斜率的关系，属于基础题.6. 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A14B24C28D48【答案】A.【解析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为故选A.法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14故选A【此处有视频，请去附件查看】7.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率甲乙丙丁甲乙丙丁那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】若甲得冠军且丙得亚军，则甲、乙比赛甲获胜，丙、丁比赛丙获胜，决赛甲获胜.【详解】甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件的概率等于概率之积，所以，甲得冠军且丙得亚军的概率：.故选C.【点睛】本题考查独立事件的概率，考查分析问题解决问题的能力.8.设，随机变量的分布列为那么，当在内增大时,的变化是（）A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小【答案】B【解析】【分析】先求期望，再求方差，根据函数单调性求解.【详解】则是在上的递增函数，所以是在上的递增，故选B.【点睛】本题主要考查随机变量及其分布列，考查计算能力，属于基础题.9.已知函数，下列说法中正确的是（ ）A. 在点处有相同的切线B. 对于任意，恒成立C. 的图象有且只有一个交点D. 的图象有且只有两个交点【答案】D【解析】【分析】根据导数与切线，函数的关系求解.【详解】因为，所以在点处的切线不同。选项A错误.，因为 ，所以时，有最小值 ，所以当时，不恒成立.选择B错误；由上可知，函数 在上有且只有两个零点，所以的图象有且只有两个交点.故选D.【点睛】本题考查导数综合应用.此题也可用图像法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.10.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字.【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：.故选B.【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.已知函数，则_.【答案】0【解析】【分析】求导即可求解.【详解】因为 ，所以.【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题.12.二项式的展开式中的常数项是_.（用数字作答）【答案】60【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求解.【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：令可得 ，此时.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.13.若复数满足，则_.【答案】【解析】【分析】先求出复数，再求模.【详解】由得，则.【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.14.能说明“若，则是函数极值点”为假命题的一个函数是_【答案】 或等，答案不唯一【解析】【分析】根据极值点的定义求解.【详解】极值点导数必需为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反.函数，当时，但是在上单调递增，所以不是函数的极值点.【点睛】本题考查极值点的定义，考查命题真假的判断，属于基础题15.北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为，则_【答案】【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解.【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型，所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：54342 则.【点睛】本题考查几何概型及随机变量的分布列.16.容器中有种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗粒子和一颗粒子发生碰撞则变成一颗粒子.现有粒子颗，粒子颗，粒子颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩颗粒子. 给出下列结论： 最后一颗粒子可能是粒子 最后一颗粒子一定是粒子 最后一颗粒子一定不是粒子 以上都不正确其中正确结论的序号是_.（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】分析每一次碰撞粒子数量的变化规律，根据规律求解.【详解】1、最后剩下的可能是A粒子10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。2、最后剩下的可能是C粒子10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。3、最后剩下的不可能是B粒子A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子；（B多1个，AC共减少两个）B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子；（B少1个，AC总数不变）C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子；（B多1个，AC共减少两个）A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变）A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子。（B多1个，AC共减少两个）B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变）可以发现如下规律：（1）从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个。题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，由于开始B粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个。所以，最后剩下的不可能是B粒子。（2）从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个。题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的。所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C.【点睛】本题考查逻辑推理，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数，且.（）求；（）求的单调区间.【答案】（）；（）单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】【分析】（）求导代入求解；（）根据导函数的正负与函数单调性的关系求解.【详解】解：（）由已知，所以 ，所以 .（）由（）知，解，得或，解，得.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【点睛】本题主要考察导函数与原函数单调性的关系，考查函数单调性的判断，属于基础题.18.某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过、三道工序加工而成的，、三道工序加工的元件合格率分别为、已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场（）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）先分为互斥的三个事件，再根据独立事件的概率求解；（）分为2个元件是一等品和3个元件是一等品两种情况求解.【详解】解：（）不妨设元件经三道工序加工合格的事件分别为.所以,.,.设事件为“生产一个元件，该元件为二等品”.由已知是相互独立事件.根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为.（）生产一个元件，该元件为一等品的概率为.设事件为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则.所以至少有2个元件是一等品的概率为.【点睛】本题考查独立事件与互斥事件的概率，考查计算能力与转化能力，属于基础题.19.已知函数.（）求的单调区间；（）求在区间上的最小值.【答案】（）单调减区间为，单调增区间为；（）详见解析【解析】【分析】（）根据导函数的正负与函数单调性的关系求解；（）按分类讨论函数的单调，根据单调性求最值.详解】解：（）.由，解得；由，解得.所以函数的单调减区间为，单调增区间为.（） 当，即时，在上单调递减，所以 当，即时，在上单调递增，所以 当时，极小值所以综上，当时，；当时，；当时，【点睛】本题主要考察导函数与原函数单调性的关系和二次函数的性质.20.某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，高一（1）班44名学生和高一（7）班45名学生的投票结果如下表（无废票）：语文数学外语物理化学生物政治历史地理高一（1）班697545332高一（7）班6456523该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.（）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求的所有取值；（）从高一（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取位同学，设随机变量为投票给地理学科的人数，求的分布列和期望；（）当为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小?（结论不要求证明）【答案】（）7,8；（）详见解析；（）或.【解析】【分析】（）数学学科的“好感指数”比语文、外语的高即可；（）随机变量服从超几何分布；（）根据方差公式.【详解】解：（）由已知 ，所以.依题意， 即 解得 ，又，所以 ，.（）由已知，随机变量是高一（1）班同学中投票给地理学科的人数，所以.，. .（）或.【点睛】本题主要考查随机变量的均值与方程，超几何分布，考查分析问题解决问题的能力.21.已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）根据导数的几何意义求解；（）根据极值点的定义域导函数与原函数的性质求解.【详解】解：（） 当时，.所以，所以 ，曲线在点处的切线方程为，整理得 （）因为，.所以，依题意，在区间上存在变号零点.因为，设，所以在区间上存在变号零点.因为，所以，当时，所以，即，所以在区间上为单调递增函数，依题意， 即解得 .所以，若在区间上存在极值点，的取值范围是.【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围.22.已知函数.（）若，求的极值；（）若在区间上恒成立，求取值范围；（）判断函数的零点个数.（直接写出结论）【答案】（）有极大值，极大值为；没有极小值；（）；（）详见解析.【解析】【分析】（）根据极值定义求解；（）转化为求函数的最值；（）根据函数的单调性和极值即可判断.【详解】解：（）当时，定义域为.因为，所以.令，解得，极大值所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以有极大值，极大值为；没有极小值.（）因为，所以在上恒成立，即在恒成立.设当时，不符合题意.当时，.令,即，因为方程的判别式，两根之积. 所以有两个异号根. 设两根为，且，i）当时，极大值所以在区间上单调递