高三总复习步步高数学(文科)2.1映射、函数及反函数

1,1.映射（1）定义:设A,B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的,在集合B中都有的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做的映射,记作f:AB.2.象和原象:给定一个集合A到B的映射，且aA,bB,如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的,元素a叫做b的.,第二章函数,2.1映射、函数及反函数,要点梳理,集合A到集合B,原象,任何一个元素,惟一,象,2,2.函数（1）函数的定义设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的,在集合B中.,称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.x的取值范围A叫做函数的,.叫做函数的值域.（2）函数的三要素：、和.（3）函数的表示法表示函数的常用方法：、.,定义域,值域,对应法则,定义域,函数值的集合,解析法,列表法,图象法,任何一个数x,都有惟一确定的数,f（x）和它对应,f(x)xA,3,3.反函数（1）定义一般地，函数y=f(x)(xA)中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x=(y),如果对于y在C中的,通过x=(y),x在A中都有.和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的，记作,习惯上用x表示自变量，用y表示函数，把它改写成.(2)互为反函数的函数图象的关系函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线对称.,任何一个值,反函数,x=f-1(y),y=f-1(x),y=x,惟一的值,4,1.与函数f(x)=|x|是相同函数的是（）A.B.C.D.解析B中y=x(x0），C中y=x(x0),D中y=x,只有A中y=x,故选A.2.设M=x|0x2，N=y|0y3，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）,基础自测,A,C,5,解析根据函数定义：对于M中的任意一个x在N中都有唯一确定的y与之对应.因此，都表示从M到N的函数关系.3.若对应关系f：AB是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法错误的是（）A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同C.B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同D.B中的元素在A中可能没有对应元素解析由映射概念可知，A中元素在B中必有惟一元素与它对应，B中元素在A中可以没有对应关系，即从A到B的对应关系可以是一对一，多对一，但不可以是一对多.,B,6,4.如图所示，三个图象各表示两个变量x,y的对应关系，则有（）A.都表示映射，且表示y为x的函数B.都表示y是x的函数C.仅表示y是x的函数D.都不能表示y是x的函数解析据映射及函数的定义，在3个图象中，不能表示映射，也不能表示函数；是映射，也是函数.,C,7,5.已知f=x2+5x,则f(x)=.解析x0,令=t,即x=(t0),故f（x）=,8,给出下列两个条件：（1）f()=x+2(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.【思维启迪】（1）对+1换元.（2）设f(x)=ax2+bx+c.解（1）令t=+1,t1，x=(t-1)2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).,题型一求函数的解析式,9,(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.又f(0)=3，c=3,f(x)=x2-x+3.探究拓展求函数解析式的常用方法有：(1)代入法,用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式；(2)拼凑法，对fg(x)的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.,10,已知函数（1）画出函数的图象；（2）求f(x),f(-1)，ff(-1)的值.【思维启迪】考虑特殊函数的图象在某区间内的形状,特别要注意区间的端点处.解（1）分别作出f(x)在x0,x=0,x0段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=-=1,ff（-1）=f（1）=1.,题型二分段函数,11,探究拓展分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式.对于分段函数，注意处理好各段的端点.,12,（12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？【思维启迪】准确理解题意，构建函数模型.,题型三函数的实际应用,13,解（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2(1+0.75x)(万元)，销售量为1000(1+0.6x)(辆).故利润y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1000(1+0.6x),4分整理得y=-60 x2+20 x+200(0x1).6分(2)要保证本年度利润比上一年有所增加，则y-(1.2-1)10000,8分即-60 x2+20 x+200-2000,即3x2-x0.10分解得0x.适合0x1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比,14,例x的取值范围是0x.11分答（1）函数关系式为y=-60 x2+20 x+200(0x1).(2)投入成本增加的比例x的范围是（0，）12分探究拓展函数的实际应用问题，要准确构建数学模型，求得函数解析式后，要写出函数的定义域（一般情况下，都要受到实际问题的约束,15,方法与技巧1.函数的定义中最重要的是定义域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的.在求ff（x）类型的值时，应遵循先内后外的原则.2.判断两个函数是否为相同的函数，抓住两点：（1）定义域是否相同；（2）对应法则即解析式是否相同.注意：解析式可以化简.3.建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求得函数解析式，但要注意定义域.,16,失误与防范1.判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”。但要注意：（1）A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；（2）B中元素可无原象，即B中元素可有剩余.2.分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复.,17,1.(1)已知f=lgx，求f（x）；(2)已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；（3）已知f（x）满足2f（x）+f=3x，求f（x）.解(1)令+1=t，则x=f（t）=lgf（x）=lg,x(1,+).(2)设f（x）=ax+b，则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7.,18,（3）把中的x换成得2-得2.在同一平面直角坐标系中，函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称，现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得图象是由两条线段组成的折线（如图所示，则函数f(x)的表达式为(),A,19,A.B.C.D.解析方法一在图形上取A（0，1），A点向右移动两个单位，再向下移动1个单位得A（2，0），A为函数y=g(x)上的点，f(x)与g(x)互为反函数，f(x)过（0，2），排除B、C、D，故选A.,20,方法二f(x)与g(x)互为反函数，设图中函数为（x）,则,21,3.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a,BC=a,BAD=45，作直线MNAD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.解作BHAD，H为垂足，CGAD，G为垂足，依题意，则有AH=AG=a.（1）当M位于点H的左侧时，NAB，由于AM=x，BAD=45.MN=x.y=SAMN=x2（0x）.,22,(2)当M位于HG之间时,由于AM=x，MN=，BN=x-.y=S直角梯形AMNB(3)当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.y=S梯形ABCD-SMDN,23,24,1.下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）A.B.C.D.解析y=lg10 x=x(xR)；y=2log2x=x(x0).2.B3.若，则f(-1)的值为（）A.1B.2C.3D.4解析f(-1)=f(2)=f(5)=f(8)=log28=3.,C,C,25,4.C5.C6.(2008陕西理，11)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,则f(-3)等于（）A.2B.3C.6D.9解析f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201=f(0)+f(1),f(0)=0.f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1=f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0.f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1=f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2.f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1=f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6.,C,26,7.128.9.(1)f(x)=x2+x+1(2)10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x.(1)求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)f(x)-x-1.解（1）设函数y=f(x)的图象上任