数分B期中期末考试卷一致连续

书书书 收稿日期:!# $#! $#% 基金项目: 辽宁省高等教育教学改革基金资助项目( 一致连续性; 流程图 中图分类号: ,#-#文献标识码: . 文章编号:#+-) $/+(!#)* $!(/ $* 引言 函数一致连续是数学分析课程重要学习内容， 也是学生学习比较困难的内容， 特别是初学者对一致连 续性证明问题感到不知所措， 针对这类现象， 我们对函数一致连续性证明方法进行了研究， 给出一般解题 思路， 为了表达清楚， 我们给出证明一致连续性方法的流程图， 帮助学生解决好一致连续性证明问题， 在教 学过程中， 我们尝试过此方法， 效果较好! 首先我们给出证明函数一致连续的常用结论! 定义 # # 设 ! 为定义在区间 上的函数!若对任给的 ! 0， 存在 1 ( !) 0， 使得对任何 #$， #%! ， 只要2#$ $ #%2 3 ， 就有 2!( #$) $ !( #%) 2 3 ! 则称 ! 在区间 上一致连续! 命题 # !# 设 ! 在区间 上有有界导数， 则 ! 在区间 上一致连续! 命题 ! )# 设 ! 为连续周期函数， 则 ! 一致连续! 命题 ) *# 设 ! 在有限开区间( ) 上连续， 且 456 7 9 ;!( #) 1 ( 有限) ， 则 ! 在 ) 上一致连续! 对于区间( $ ;， ， 9 ;) 也有类似结果， 对于区间( $ ;， ) 可以用命题 ) 和 命题 * 判别一致连续性! 命题 / # 设区间 #的右端点为 )!#， 区间 !左端点也为 )!， 若 ! 分别在区间 #和 !上一致连 续， 则 ! 在 1 #!上也一致连续! 命题+ /# 设 ! 在 ) 上可导， 且 456 7 9 ; 2!$( #) 2 1 (， 则 ! 在 ) 上一致连续的充要条件 ( 为 有限数! 对于( $ ;， ， 9 ;) 也有类似结果! 第 )! 卷 第 * 期 !# 年 #! 月 渤海大学学报( 自然科学版) ?84 AB85 C?5DEF5GH( ) 上一致连续! 分析解题思路一: 若考虑到# 9! # 9#的有界性结合三角函数性质此题可以用定义证明， 但不直观; 解题思路二: 若考虑函数导数的有界性， 因为 2!$( #) 2 1 2 # ( # 9#) !F5? # # 9 # #! JF # # 9 # # 9# # #! JF # # 2$ # ( # 9#) ! 9 # #! 9 # #!( # 9#) $ - * 则由命题 # 方法可证; 解题思路三: 假设没有考虑到导数有界， 从区间考虑， 是无穷区间， 且含有限端点 #， 考虑 456 # 9 ; # 9! # 9#F5? # # 1， 则由命题 * 方法可证! 例 !设 !( #) 1 ( # 9!) * # #， 证明 !( #) 在 #， 9 ;) 上一致连续! 分析 解题思路一: 由于 * # #有界性及 # 9! 的一致连续性， 可以用定义证明; 解题思路二: 假设没有考虑到用定义证明， 由于 !( #) 不是周期函数， 考虑导数 !$( #) 1 * # #(# $# 9! #! ) 是 否有界? 由于对任意 #! #， 9 ;) ， 有2!$( #) 2 1 2* # #(# $# 9! #! 2$*2# $ # 9! #! 2$!*， 则由命题 # 可证! 解题思路三:若考虑导数有界有一定困难， 可按流程图往下考虑， 又因为 456 79;!(#) 1 9;， 而 456 #9; 2!$(#) 2 1# 容 易考虑， 所以由命题+ 可证! 例 )设 !( #) 1 # 9 8JG8? # # 9 # () # ! ， 证明 !( #) 在(， 9 ;) 上一致连续! 解题思路: 由于 +( #) 1# 在在(， 9;) 上是一致连续， 故考虑 ,( #) 18JG8? # 9 # 9 # () # # 在(， 9 ;) 上一致连续， 显然 ,( #) 不是周期函数， 但 ,$( #) 也不易求， 不妨考虑 ,( #) 在 # 和 #9 ; 时极限， 由于 456 7 9 ;,( #) 1 ! ! ， 456 # ,( #) 1456 # 8JG8? #*#-(# 9 # # ) 1456 # 8JG8? 1， 则由命题) 和命题* 可证! 例 *证明 !( #) 1 F5?! #在 #! ， 9 ;) 上一致连续! 分析解题思路一: 由于 2F5?!#$ $ F5?!#%2 1!2F5? !#$ $!#% ! 2 2JF !#$ 9!#% ! 2$2!#$ $!#2 1 2 #$ $ #% !#$ 9!#% 2 可以考虑把区间分成 ， # # ， 9;) ， 在 ， # 上 !$( #) 1 # !#JF ! #无界， 但 !( #) 连续， 由定理# 可知 ! ( #) 在 ， # 上一致连续， 在 #， 9;) 上， 2F5?!#$ $ F5?!#%2$ # ! 2#$ $ #%2， 可由定义证明 !( #) 在 #， 9 ;) 上 一致连续， 由命题/ 可知 !( #) 在 ， 9;) 上一致连续! 解题思路二: 若考虑函数导数 !$( #) 1 # !#JF ! #， 因为 !$( #) 在(， 9 ;) 上无界， 可以考虑把区间分成 -(!第 * 期钱伟懿 : 函数一致连续证明方法研究 ， # # #， 9 ;) ， !( #) ， # 上连续， 由定理 # 可知， !( #) 在 ， # 上一致连续， !$( #) 在 #， 9 ;) 上有界， 由命题 # 可知， !( #) 在 #， 9 ;) 上一致连续， 由命题 / 可知 !( #) 在 ， 9 ;) 上一致连续! 参考文献: # 华东师范大学数学系% 数学分析( 上册第三版 ) !O# % 北京: 高等教育出版社， !+% !# 舒斯会% 数学分析选讲 O# % 北京: 北京大学出版社， !-% )# 杨传林% 数学分析解题思想与方法 O# % 杭州: 浙江大学出版社， !P% *# 裴礼文% 数学分析中的典型问题与方法 O# % 北京: 高等教育出版