上海市2020学年高二数学下学期阶段性检测试题（含解析）

上海市2020学年高二数学下学期阶段性检测试题（含解析）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_.【答案】2【解析】【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出【详解】复数（1+ai）（2+i）2a+（1+2a）i是纯虚数，解得a2故答案为：2【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题2.椭圆（为参数）的焦距为_.【答案】6【解析】【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距【详解】将变形为，平方相加消去参数可得：，所以，c3，所以，焦距为2c6故答案为6【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键3.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程【详解】椭圆的焦点为F（1，0），顶点为（，0）；则双曲线的顶点为（1，0），焦点为（，0），a1，c，b1，双曲线方程为，故答案为：【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题4.某圆锥体的侧面图是圆心角为的扇形，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是_.【答案】【解析】【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l，则侧面展开图扇形的面积S l227；l9又设圆锥的底面圆半径为r，则2r l，rl；圆锥的高h；该圆锥体的体积是：V圆锥r2h故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，计算能力，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于基础题5.已知实数、满足，则目标函数的最大值为_.【答案】5【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点C时取最大值1.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相同，若圆柱与球的体积相等，则它们的表面积之比_.（用数值作答）【答案】【解析】【分析】由已知中圆柱M与球O的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S圆柱：S球的值【详解】设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h则球的表面积S球4R2又圆柱M与球O的体积相等即解得h，4R22R2+2Rh则S圆柱2R2+2Rh=，S球，S圆柱：S球，故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键7.若虛数、是实系数一元二次方程的两个根，且，则_.【答案】1【解析】【分析】设z1a+bi，则z2abi，（a，bR），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值【详解】由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1a+bi，则z2abi，（a，bR且），又则abi，（2a+b）+（a+2b）i1i，z1+i，z2i，（或z2+i，z1i）由根与系数关系，得p（z1+z2）1，qz1z21，pq1故答案为：1.【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题8.已知双曲线，、是它的两个顶点，点是双曲线上的点，且直线的斜率是，则直线的斜率为_.【答案】2【解析】【分析】设P（x0，y0），则，由A1（1，0），A2（1，0），知k1k2，由此能求出直线PA2的斜率【详解】设P（x0，y0），则，A1（1，0），A2（1，0），设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，k1k2，k1，k2故答案：2【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题9.已知半径为的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，得出ABBCCAR，利用其周长得到正三角形ABC的外接圆半径r，故可以得到高，设D是BC的中点，在OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在RtABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R【详解】球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，ABCBCACAB，ABBCCAR，设球心为O，因为正三角形ABC的外径r2，故高ADr3，D是BC的中点在OBC中，BOCOR，BOC，所以BCBOR，BDBCR在RtABD中，ABBCR，所以由AB2BD2+AD2，得R2R2+9，所以R2故答案为：2【点睛】本题考查了球的基本概念及性质应用，考查了空间想象能力，是基础题10.关于的方程有一个实数解，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可得，函数yx+1的图象和函数y的图象有一个交点，对函数y的m分类，分别画出y的图象，可求出实数m的取值范围【详解】关于x的方程x+1有一个实数解，故直线yx+1的图象和函数y的图象有一个交点在同一坐标系中分别画出函数yx+1的图象和函数y的图象由于函数y，当m=0时，y和直线yx+1的图象如图：满足有一个交点；当m0时，yy2x2m(y0)此双曲线y2x2m的渐近线方程为yx，其中y=x与直线yx+1平行，双曲线y2x2m的顶点坐标为（0，），如图：只要m0，均满足函数yx+1的图象和函数y的图象有一个交点，当m0)，此双曲线x2y2m的渐近线方程为yx，其中y=x与直线yx+1平行，而双曲线x2y2m的顶点坐标为（，0），如图：当时，满足函数yx+1的图象和函数y的图象有一个交点，即当时符合题意；综上：，故答案为：【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线yx+1的图象和函数y的图象有一个交点，是解答本题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题11.棱长为1的正方体中，点、分别在线段、上运动（不包括线段端点），且.以下结论：；若点、分别为线段、的中点，则由线与确定的平面在正方体上的截面为等边三角形；四面体的体积的最大值为；直线与直线的夹角为定值.其中正确的结论为_.（填序号）【答案】 【解析】【分析】作NEBC，MFAB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MNFE，利用AA1面AC，可得结论成立；截面为AB1C，为等边三角形，故正确设，则dMBCN=，故成立；设，当接近于0时，直线与直线的夹角接近于，当接近于1时，夹角接近于，故不正确；【详解】作NEBC，MFAB，垂足分别为E，F，AMBN，NEMF，四边形MNEF是矩形，MNFE，AA1面AC，EF面AC，AA1EF，AA1MN，故正确；点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCDA1B1C1D1 上的截面为AB1C，为等边三角形，故正确设，则dMBCN，又AM=BN=,=，dMBCN =，dMBCN=，当且仅当时取得最大值，故成立；设，当接近于0时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，当接近于1时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，故不正确；综上可知，正确的结论为故答案为：【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数在至少有一个零点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x21）a+2xb+x20，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得，从而可得a2+b2；从而解得【详解】把等式看成关于a，b的直线方程：（x21）a+2xb+x20，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即，所以a2+b2，x2在3，4是减函数，2x21+5；即x26；故；当x3，a，b时取等号，故a2+b2的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程（x21）a+2xb+x20是难点，属于较难题二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑13.设直线与平面平行，直线在平面上，那么（ ）A. 直线不平行于直线B. 直线与直线异面C. 直线与直线没有公共点D. 直线与直线不垂直【答案】C【解析】【分析】由已知中直线l与平面平行，直线m在平面上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案【详解】直线l与平面平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面无公共点，又直线m在平面上，直线l与直线m没有公共点，故选：C【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了直线与平面平行的定义，属于基础题14.已知集合，若，则，之间的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若AB即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可【详解】设zx+yi，则（a+bi）（xyi）+（abi）（x+yi）+20化简整理得，ax+by+10即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=0的点集，若AB，即直线ax+by+10与圆x2+y2=0没有交点，d，即a2+b21故选：C【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题15.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A. 0B. C. 0或D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案【详解】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则等腰BCD中，中线BECD，等腰ACD中，中线AECD，AE、BE是平面ABE内的相交直线CD平面ABE，结合AB平面ABE，可得ABCD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos900，检验：此时ABE中，AEBE，不满足AE+BEAB，故此种情况舍去；当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为，根据余弦定理得cos综上所述，得所求余弦值为故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题16.以下命题：根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由斜二测画法规则直接判断正确；举出反例即可说明命题、错误；【详解】对于，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故正确；对于，如图符合条件但却不是棱柱；故错误；对于，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥故错误； 对于，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角故错误；只有命题正确故选A【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，正方体的棱长为1.（1）求二面角的大小；（用反三角函数表示）（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）连接AC，取AC中点O，连接BO，先说明为二面角的平面角，再在中求得即可（2）取的中点，连接和.由和得平面，可得为直线与平面所成的角. 在直角三角形中，计算即可.【详解】（1）连接，取中点，连接，因为，则，因为，则，所以为二面角的平面角.因为平面，所以，所以，即二面角的大小为.（2）取的中点，连接和.由和得平面，所以为直线与平面所成的角.在直角三角形中，所以，所以，所以直线与平面所成角的大小为.【点睛】本题考查线面角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，利用定义定理作出所求角是关键，是中档题18.已知抛物线，是轴上一点，是抛物线上任意一点.（1）若，求的最小值；（2）已知为坐标原点，若的最小值为，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由题意及抛物线的定义可得=P到准线的距离，可得P为抛物线的顶点时，的最小值为1.（2）将表示为关于x函数，结合二次函数的性质求得结果.【详解】（1）当a=1时，A（1，0）为抛物线的焦点，此时=P到准线的距离，当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离最小为1，即的最小值为1.（2）的最小值为，即当时取得最小值，所以，即.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了二次函数最值问题，考查了分析转化能力，属于基础题.19.如图，已知四面体中，且两两互相垂直，点是的中心.（1）过作，求绕直线旋转一周所形成的几何体的体积；（2）将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与直线所成角记为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥的高的和为，底为，代入圆锥的体积公式，即可得到答案（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求得，令，结合点的轨迹方程求得t的范围，可得结果.【详解】（1）过作，经计算得，由此得，所以绕直线旋转一周所形成的几何体的体积.（2）过作交于，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，所以，在平面上，点的轨迹方程为，令，将看作直线y=x+t，则直线y=x+t与圆有公共点，则，所以，于是.【点睛】本题考查了旋转体的体积，考查了利用空间向量进行异面直线所成的角的求法，涉及点的轨迹问题，属于中档题20.如图，几何体中，是边长为2的正方形，为直角梯形，.（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求几何体的体积；（3）若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）双曲线.【解析】【分析】（1）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，求出向量，的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；（2）利用几何体的体积VVEABCD+VBCEF，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算（3）利用向量夹角公式直接可得关于x，y的表达式，满足双曲线方程，可得结果.【详解】（1）且，平面，如图建系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设异面直线和所成角的大小为，则所以异面直线和所成角的大小为.（2）如图，