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文档简介

定积分的概念,1,a,b,原型（求曲边梯形的面积）,一、抽象定积分概念现实原型,2,面积怎么求？,元素法,3,利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可,概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.,将曲边梯形的底，即a,b进行分割(用垂直于x轴的直线).,第一步分割；,曲边梯形的面积的解决思路：,4,取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.,第二步取近似；,用矩形面积近似小曲边梯形面积,典型小区域面积,5,第三步求和；,矩形面积和与曲边梯形面积不相等,有误差,将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.,6,第四步取极限.,当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.,7,8,二、定积分的定义,定义,以直代曲,求和,9,积分上限,积分下限,取极限,10,注意：,11,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,12,几何意义,13,例1,解,14,15,定理,三、定积分的性质,定理,16,补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,定理（积分区间的可加性）,17,定理,18,对定积分的补充规定:,19,20,定理（保序性）,推论（保号性）,21,定理（有界性）,22,例2,解,23,24,定理（绝对值不等式）,用保序性证得,25,定理（积分中值定理）,积分中值公式的几何解释,26,定积分的计算,27,定积分计算,如何计算定积分？,定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.,根据几何意义，图不好画,28,定理,牛顿-莱布尼茨公式,微积分基本定理,29,微积分基本公式表明：,求定积分问题转化为求原函数的问题,注意,30,例1求,解,提示与分析：,先看成不定积分问题，求出原函数.,31,例2,例如,32,33,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,第一换元法,34,35,考虑,到底该令哪个式子为u,36,37,一定要换积分上、下限,38,第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式:,39,40,解,例4计算,41,说明:,使用第一换元法的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论形式不同.,42,例5计算,解一,提示与分析：,用凑微分法求解.,解二,43,解三,44,第一类换元法,难求,易求,第二换元积分法,第二类换元法,难求,易求,45,定积分的第二换元积分法,46,应用换元公式时要注意:,47,第二换元法,48,例7计算,解令,如何去掉根式？,三角代换,49,50,51,解,例8计算,52,解,例9计算,5
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