数理经济学 课件.ppt

数理经济学,授课教材、大纲与内容,其它参考书：1、蒋中一数理经济学的基本方法商务印书馆2、蒋中一动态最优化基础商务印书馆3、邵宜航数理经济学精要科学出版社,导论,一、什么是数理经济学？数理经济学不是经济学的一个分支学科，它是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其它经济学科。按照经济分析方法的分类来讲解相关的数学知识，并通过介绍大量的宏微观经济模型掌握经济分析方法和数学方法。,二、数理经济学的本质,探讨如何用数学语言准确、精练描述经济学问题，并推敲通过数理分析而导出的数学关系式所表达的经济学含义，由此揭示经济活动的规律性才是数理经济学的本质所在。,经济学问题的数学表述,举例1：消费者选择问题在收入水平的约束条件下，选择最优的消费量组合以最大化消费效用。模型为：,举例2：最优经济增长问题（连续型）,研究一代表性家庭如何选择最优的动态消费路径，以最大化其从现在到将来的效用现值总和。模型描述为：,三、授课逻辑主线,经济学定义为研究有限资源的有效（最优）配置的科学，因此许多经济学问题可以表示为数学的最优化问题。本课程主要学习在微观经济学和宏观经济学中经常使用的最优化数学分析方法。,数学的最优化问题：,所谓最优化问题是“在关于变量的约束条件下，寻找使目标值最大化或最小化的变量”的问题,举例1：非线性规划问题,举例2：最优控制问题,四、授课主要内容,相关数学背景知识（集合与映射、微积分、微分方程）静态最优化（最优化的古典方法无约束、等式约束；最优化的非古典方法数学规划（线性规划和非线性规划），处理不等式约束。）动态最优化（变分法、最优控制理论和动态规划）,第一部分数学背景,内容见杰里和瑞尼：高级微观经济理论上海财经大学出版社附录A1、A2,主要内容：,一、集合和映射二、凸集三、关系与函数四、一点拓扑学五、实值函数六、分离超平面定理,第一章集合和映射,一、集合1.集合的定义：具有某种特定性质的事物的总体。组成这个集合的事物称为该集合的元素。,举例：,子集的定义：,如果集合S的每个元素也是集合T的一个元素，那么集合S是另外一个集合T的子集。,2.集合的运算,3.集合的运算规律,4.集合的乘积,二、凸集,1.上的凸集定义：,凸组合例1：(当n=1),凸组合例2：(当n=2),凸集：例1：,非凸集：例2：,因此当且仅当把集合内的任意两点用一条直线联接，该直线完全处于集合内，那么此集合为凸集。,凸集本质上没有洞，无断点，在边界没有麻烦的凸凹。,2.凸集的性质,定理1：凸集的交集是凸集,三、关系与函数,1.二元关系,2.函数,函数是一类特殊的关系，它是将一个集合内的每个元素与另一个集合内的单个且唯一的元素联系起来的关系。称函数f是从集合D到另一个集合R的映射，记成,函数与非函数,四、一点拓扑学,拓扑学研究集合与映射的基本性质。（本书仅考虑上的集合）,1、度量空间,定理：,2、开球与闭球,反例：,闭集的特征：,证明：,举例：,3、有界集,举例：,定义：下确界、上确界,定理：,对于R的任何有界子集总会存在一个上确界和下确界。,定理A1.5实数子集的上界与下界,定义A1.8(heine-Borel)紧集,4、（Cauchy）连续性,定义：一元连续函数,定义：A1.9（Cauchy）连续性,问题：,一个连续函数能否将定义域内的开集映射进值域内的开集，或将闭集映射进闭集？,反例：,定理A1.6连续性与其逆象,问题：,连续函数能否将定义内的紧集映射进值域内的紧集？,定理A1.7紧集的连续象是一个紧集,5、数列,注意：,定义A1.13收敛的数列,定义A1.14有界的数列,有界性是数列收敛的必要条件；收敛的数列必定有界；无界数列必定发散。,定义A1.15子数列,定理A1.8有界数列,定理A1.9数列、集合和连续函数,6、一些存在性定理,举例：(a)s=1,2(b)s=(1,2),问题：考虑如下联立方程组,问题：方程（A1.2）的解是否存在？,定理A1.11brouwer不动点定理,不动点定理保证f的图像将在a,bXa,b内至少穿过45度线一次。,五、实值函数,每当向量X的一个或多个分量的增加不会引致函数值的下降，称函数为增函数。每当向量的所有分量的增加总会引致函数值的严格递增时，称函数为严格递增。每当X的一个或几个分量增加总会引致函数严格递增时，称函数为强递增。,注意：,一个函数的两个不同水平集不会相交，否则意味着两个不同的数对应着定义域内的同一个元素，破坏函数的定义。,说明：,对于函数图像上的每一对点，当且仅当连结这些点的弦处在图像上或其下边，那么该函数为凹的。,说明：,拟凹函数意味着若能在定义域内任取两点，并形成两点的凸组合，那么函数值必定不会小于这两点所取的最低函数值。,也可依据水平集描述拟凹函数,课堂练习：,证明：单调函数为拟凹函数。,下图的上优集？,严格拟凹函数的上优集边界不包含平坦的部分。,问题：,凹函数是拟凹函数吗拟凹函数是凹函数吗？,说明：拟凹函数不一定是凹的。,定理A1.15凹性蕴含着拟凹性,一个凹函数总是拟凹的，一个严格凹函数总是严格拟凹