第十九讲：窄带随机过程的模拟、马尔可夫过程

第五章内容体系,信号的产生,信号的分析,信号的处理,实际系统窄带信号产生机理计算机模拟产生方法,内容体系,分析的数学工具相关函数的特性包络与相位的分布,应用实例（雷达检测，同步检波、包络检波）,如何模拟窄带随机过程？,模拟，这两个随机过程的相关特性不好模拟。,方法1：,方法2：,需要模拟，分布和功率谱特性比较容易满足。,关键是设计低通滤波器,实验5.1介绍的方案（研讨题）,方案2：(研讨题）任意随机过程的产生ProbabilityandrandomprocesswithapplicationsP465-475,频域方法：假定需要产生一个随机过程的一个现实（样本函数），持续时间为Td,X(t)(0,Td),可用傅里叶级数展开,如果是零均值高斯的，那么，也是零均值高斯,周期信号具有线谱,功率谱密度为,如果期望的功率谱为，那么,如果功率谱为带限的，即,即需要产生,这些随机变量的方差要选择满足下式，,总结：1.首先产生一组独立的高斯随机变量,如果随机过程是实过程，则只需要产生M+1个RV,2.构建时域样本,研讨要求：,了解随机过程产生的原理（频域法或时域法）假定,取,模拟信号的时长是,编写模拟该过程的MATLAB程序,3.按2.分别模拟两个随机过程，按下式构建窄带随机过程，取画出信号的波形。,第六章马尔可夫过程与泊松过程,MarkovProcessandPoisson,马尔可夫链马尔可夫过程独立增量过程、泊松过程,本章内容,马尔可夫过程是一类重要的随机过程，广泛应用于,近代物理生物（生灭过程）公用事业通信信号处理自动控制.,学习内容：马尔可夫链的定义；统计描述：状态概率、状态转移概率、状态转移矩阵、状态转移图切普曼-柯尔莫哥洛夫方程齐次性、平稳性、遍历性；几种马尔可夫过程：隐马尔可夫过程，独立增量、泊松过程,马尔可夫过程的基本特征是无后效应性，即未来状态只与现在有关，与过去无关。,6.1马尔可夫链（MarkovChain）,1.定义状态和时间参量都是离散的随机过程，在tr时刻状态已知的条件下，其后tr+1时刻所处的状态只与tr时刻的状态有关，而与以前tr-1、tr-2时刻的状态无关，则该过程称为马尔可夫链。,XnN个状态,（i,j,k=1,2,.N),一维随机游动问题。设有一质点在x轴上作随机游动。在t=0时质点属于x轴的原点，在t=1,2,3.时质点可以在轴上正向或反向移动一个单位距离。,举例：随机游动问题（RandomWalk）,质点正向移动一个单位质点反向移动一个单位,表示n时刻质点所处位置,2.马尔可夫链的统计特性,状态概率，状态转移概率，平稳性、齐次性、各态历经性。,(1)状态概率(概率分布列),(2)状态转移概率(TransitionProbability),s时刻,n时刻,状态转移概率矩阵(StateTransitionMatrix),每一行之和为零,状态概率与状态转移概率之间的关系,状态转移图-描述马尔可夫链的一种工具,3.切普曼-柯尔莫哥洛夫方程,P(s,n)=P(s,r)P(r,n),证明：,4.齐次马尔可夫链（HomogeneousMarkovChain）,定义：,齐次性等同于平稳性吗？,NO,对于齐次马尔可夫链，由切普曼-柯尔莫哥洛夫方程,令,由齐次性，得,由状态概率与状态转移矩阵之间的关系,令,齐次马尔可夫的状态概率只与起始状态及一步转移概率有关,举例：二进制对称信道,基本二进制对称信道,只有两个状态,一步状态转移矩阵,一步状态转移矩阵,二步状态转移矩阵,5.平稳性,定义：如果齐次马尔可夫链的所有状态概率相同，即,则称该链是平稳马尔可夫链。,在齐次链中，只要序列X1,X2的概率分布列相同，即,则此链必平稳。,证明：,n=2,s=1,n=3,s=2,如果已知齐次链的一步状态转移矩阵,例：,若该链平稳，求状态概率矢量,解：因为,如果平稳，则,取N-1个方程,设有一质点在线段上游动，终端设有反射壁。质点只能停留在a1=-2L,a2=-L,a3=0,a4=L,a5=2L上，游动的概率法则如下：如果游动前质点在a2,a3,a4位置，则以1/2概率向前或向后移动一单位L，若在a1或a5置，则以概率1返回，画出状态转移图并求概率分布列。,例：具有反射壁的随机游动。,反射壁,状态转移图和状态转移矩阵一一对应,状态概率的计算,例6.3吸收壁，求状态转移矩阵,a1,a2,a3,a4,a5,1,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1,吸收壁,例（习题6.1）,状态转移矩阵为,（1）如果n时刻位于a3状态，求n+2时刻处于a2状态的概率；（2）n时刻处于a1状态，求n+3时刻处于a3状态的概率。,6.遍历性,齐次马尔可夫链中，对于一切i与j，存在不依赖i的极限,当转移步数n足够大时，不论n步以前是哪种状态ai，n步后转移为状态aj的概率都接近于pj。,6.隐马尔可夫过程(HiddenMarkov),隐马尔可夫模型作为信号处理的一种统计模型，今天正在信号处理的各个领域得到广泛应用。,HMM是一个输出符号序列的统计模型，具有N个状态S1,S2,.,SN,它按一定的周期从一个状态转移到另一个状态，每次转移时，输出一个符号。转移到什么状态，转移时输出什么符号，分别由状态转移概率和转移时的符号输出概率来确定。因为只能观测到输出符号序列，而不能观测到状态转移序列（即模型输出符号序列时，是通过了哪些状态路径，不能知道），所以称为隐马尔可夫模型。,有三个状态：初始态S1,中间态S2,终了态S3，HMM只输出两个符号a和b。,假定从S1出发到S3截止，输出的符号序列为aab，试求输出aab的概率。,从S1到S3，并且输出aab，可能的路径有三条,S1-S1-S2-S3S1-S2-S2-S3S1-S1-S1-S3,S1-S1-S2-S30.3*0.8*0.5*1*0.6*0.5=0.036S1-S2-S2-S30.5*1*0.4*0.3*0.6*0.5=0.018S1-