第13章 有导体和电介质存在时的静电场

1,第十三章有导体和电介质存在时的静电场,前面两章讲述了真空中静电场的基本概念和规律，而在实际的应用中，常利用导体带电形成电场，而且还使用绝缘体（或电介质）来改变空间的电场和电荷的分布。本章即将讨论静电场对导体和电介质的作用，及导体和电介质对静电场的影响。,2,半导体(semiconductor):介于上述两者之间。,静电场中的物质按其导电特性可分为三类：,3,内容,13-1静电场中的金属导体,13-3静电场中的电介质,13-4电介质对电容的影响及电容器的能量,13-2电容和电容器,4,一、金属导体的静电平衡,1.金属键晶体的电结构,金属导体是由大量带正电的原子实和带负电的自由电子组成；,自有电子处于不停的热运动中；,若导体无外加电荷或外加电场；,自由电子分布均匀，整个导体对外不显电性,13-1静电场中的金属导体,5,2.静电感应,若施以外电场,自有电子定向漂移电荷重新分布导体两段出现等量异号电荷，称为静电感应,静电感应所产生的电荷产生一个附加电场,导体内合电场为：,6,导体达到静电平衡,3.静电平衡,7,4.静电平衡下的导体性质,(1)静电平衡时导体中自由电荷没有定向运动(或宏观运动)的状态，而实现这一状态的必要条件，是导体内部的电场强度为零。,(2)导体表面附近的电场强度处处与表面垂直，否则电场强度沿表面的分量将使自由电子沿表面作定向运动。,(3)整个导体是等势体，导体的表面是等势面。在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为,8,由于外部电场的作用，使某一导体的两端出现异号电荷，试问空间的电场线应该如何画？,思考题,电场线的走向代表了它所经过的空间各点上电场强度的方向，而电场强度的方向总是由高电势指向低电势；另外，处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。,由这两点看，由导体正端发出的电场线是绝对不会终止于自身的负端的。,9,二、静电平衡的导体上的电荷分布及表面的电场,1、导体内部不存在净电荷，电荷只能分布在导体表面。,因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零，所以导体内部必定不存在净电荷。,在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理，应有,10,在带电导体表面任取一面元S，可认为其电荷面密度为均匀分布。包围S作一圆柱状闭合面，使其上、下底面与导体表面平行。通过整个圆柱状闭合面的电通量等于通过圆柱上底面的电通量。,上式表示，处于静电平衡的导体，其表面附近的电场强度大小与该处面电荷密度成正比。,根据高斯定理，有,2.带电导体表面附近的电场,11,代入上式,一导线相连的两导体球,3.孤立的导体处于静电平衡时，其面电荷密度分布的特点,12,说明：大球的电荷密度小，小球的电荷密度大,推论：由于任意形状导体的表面都可视为许多半径不同的球面连接而成，因此表面尖锐的地方，对应球面半径小（或曲率大），面电荷密度大，反之面电荷密度小。,13,尖端放电：,导体表面越尖锐，其电荷面密度越大。,凸起越利害的地方，其附近的场强越大，而强的电场又可以将空气分子电离，从而使空气中电荷移动。,例：金属针上的电荷形成的“电风”会将蜡烛的火焰吹向一边，这就是尖端放电现象。,14,三、处于静电平衡的空腔导体，其电荷与电场分布特点,空腔内部电场强度为零，即它们是等势体。,15,2.腔内有电荷的空腔导体,16,利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为静电屏蔽。无线电技术中有广泛应用，例如，常把测量仪器或整个实验室用金属壳或金属网罩起来，使测量免受外部电场的影响。,四、导体静电平衡性质的应用,1.静电屏蔽(electrostaticshielding),17,18,2.库仑平方反比律的精确证明,4.范德格拉夫静电高压起电机,3.场致发射显微镜,19,五、有导体存在时静电场的分析与计算,导体放入静电场中时，电场会影响导体上电荷的分布；而同时，导体上的电荷分布也会影响电场的分布。这种相互影响将一直继续到导体达到静电平衡时为止，这时，导体上的电荷分布及周围的电场分布就不再改变了。,1、静电场的基本规律,2、电荷守恒定律,3、导体静电平衡条件,20,例1：两块导体平板平行并相对放置，所带电量分别为Q和Q，如果两块导体板的面积都是S，且视为无限大平板，试求这四个面上的面电荷密度。,解：设四个面的面电荷密度分别为1、2、3和4，空间任一点的场强都是由四个面的电荷共同提供的。由高斯定理，各面上的电荷所提供的场强都是i/20。另外，由于导体内部的合场强为零。若取向右为正方向，则处于导体内部的点A和点B的场强可以表示为,21,根据已知条件S(12)=QS(34)=Q.可解得：,上式表明两块无限大的导体平板，相对的内侧表面上面电荷密度大小相等、符号相反，相反的外侧表面上面电荷密度大小相等、符号相同。如果Q=Q，可以求出：,S,22,例题2:一半径为R的接地导体球，附近有一电量为q的点电荷。点电荷距离球心为r，求，导体面上的感应电荷的电量q.,解：根据电势的叠加原理,球心:,点电荷在球心O产生的电势,感应电荷在球心处产生的电势为,解得：,23,例3：,24,25,结论：无论导体空腔是否接地，小球与球壳之间的电势差恒定,26,例题4：,场,27,28,29,一、孤立导体的电容,所谓“孤立”导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体。,设想一个孤立导体带电量为q，它将具有一定的电势V，理论与实验表明：随着q的增加，V将按比例地增加，关系式：,C与导体的形状和尺寸有关，与q和V无关，称之为孤立导体的电容。,13-2电容和电容器,30,孤立导体电容的物理意义为：使导体每升高单位电势所需的电量。,为了理解电容的意义，可比喻为：我们向几个不同容器灌水时，为了使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不相同的。这是由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。,例如，半径为R，带电量为Q的孤立导体球，其电势表示为,孤立导体球的电容为,31,电容的单位：称作F(法拉)或记为(C/V)。,由此可见，电容C决定于导体的几何因素。,地球可看成一个导体球，它的半径约6400千米，它的电容C约为7.110-4F。,二、电容器：,孤立导体作为提供电容的器件，是没有实际意义的。这是因为，首先它的电容太小，没有实际应用价值，其电容易受周围导体的影响。,32,用一个封闭的导体壳B将导体A包围起来，并将B接地。使VB0，这样壳外的导体就不在影响B的电势。,若使导体A带电qA，导体壳B的内表面将带电-qA。随着qA的增加，VA将按比例增加,仍可定义它的电容为,33,当然这时C已与导体壳B有关了,(此时之所以用孤立导体的电容来定义带电体A的电容,是因为B接地,屏蔽了外来场的干扰,A在此仍可看成一个孤立的带电导体).,其实,导体壳B也可不接地,则它的电势VB0,虽然这时VA，VB都与外界的导体有关，但电势差：,仍不受外界的影响，且正比于qA，比值不变。这种由导体壳B和其腔内的导体A组成的导体系，叫做电容器。比值叫做它的电容。,34,电容器的电容与两导体的尺寸形状和相对位置有关，与qA和UAB无关。组成电容器的两个导体A，B叫做电容器的极板。,孤立导体也可以看成是一个电容器，不过它的另一极板在无限远处。这两个极板的电势差，即等于孤立导体的电势。,若使A的外表面和B的内表面之间的距离减小，则在A带同样电量的情况下，A，B之间的电势差减小，即电容增大。,35,三、电容的计算,平行板电容器的电容与极板的面积S成正比，与两极板之间的距离d成反比。,缩小板间的距离d；增大板上的面积。,36,2.同心球形电容器,两个同心金属球壳带有等量异号电荷,电量为Q，两球壳之间的场强为,两球壳间的电势差为,37,讨论,以球面积代入，即,相当于平行电容器的电容,假设，则，则,半径为RA的孤立导体球的电容。,38,3.圆柱形电容器（同轴电缆）,两个长为l的圆柱体，圆柱面上带有等量异号的电荷，其间距离RBRAl，线电荷密度为l=Q/l。,39,讨论,1.当RA=RB时，,将展开，得,40,计算电容的步骤为：,设电容器两极上分别带电荷q，计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极板间的电势差VAB,41,例1:两根距离为d的平行无限长直导线带等量异号电荷,构成电容器，设导线半径ad，求单位长度的电容。,解:如图建立坐标系，坐标轴上x处的场强可由高斯定理求出,方向沿x轴正方向。式中是正电导线单位长度所带电量。两导线间的电势差为,由此可算得单位长度的电容为,42,四、电容器的用途,1.用来产生用于各种目的的电场,电子束的加速和偏转；电介质的极化；离子加速器,2.储存能量,3.用于电子线路、滤波器、振荡、延迟，使电子时代的到来成为可能,43,五、电容器的联接,恒量一个实际的电容器的性能有两个主要的指标：一个是电容的大小；另一个是它的耐压能力。在实际应用中，所加的电压不能超过电容器本身规定的耐压值，否则在电介质中就会产生过大得场强，而使它有被击穿的危险。在实际电路中，当遇到单独的一个电容器的电容或耐压能力不能满足要求时，就把几个电容器联接起来使用。电容器联接的基本方式有并联和串联两种。,44,1.并联电容器的电容,令,45,2.串联电容器的电容,令,46,注意：电容器的并联和串联比较如下,1、并联时，总电容虽然增大了，但因每个电容器都直接联到电源上，所以电容器组的耐压能力受到耐压能力最低的电容器的限制；,2、串联时，由于总电压分配到各个电容器上，所以电容器组的耐压能力比每个电容器都提高了，但是，总电容比每个电容器都减小了。,47,例2正方形平行板电容器，由于制作的原因，两板之间有一小的夹角，求C（设板的边长为a，最小间距为d.),对于x处的平行板电容器的电容为,解：由于的存在，两板处处间距不等，因此可将其视为许多电容器的并联。,48,注意：很小，很小,将展开，得,49,13-3静电场中的电介质,导体:含有许多可以自由移动的电子或离子,电介质:不存在自有电子，其电子被束缚在自身所属的原子核周围，在电场的作用下，电介质分子中的电子和原子核只能作相对移动，但不能超出分子范围。,50,一、电介质的种类,由于电介质的种类很多，极化的情况也比较复杂，我们的讨论只限于以下情况。,a)各向同性的电介质，就是沿各不同的方向，物理性质都相同。,b)均匀的电介质，即物理性能各处一致。对于均匀电介质，极化电荷只出现在电介质表面上;对于不均匀电介质，极化电荷不仅出现在介质表面上，也出现在体内。,51,无外场作用下，从分子的线度看电介质的电结构，可将其分为两类：,在外电场作用下，电介质的表面出现宏观电荷的现象，称为电介质极化。,二、电介质的极化,52,电场越强，极化越强，表面极化电荷越多,1.极化的微观机制,（无极分子）,53,取向极化（有极分子）,使得无极分子介质,宏观上不呈电性,54,注意,一般情况下，有极分子在外场的作用下，除了发生取向极化外，还发生位移极化，只是取向极化比位移极化强的多，因而以取向极化为主；对于无极分子，位移极化则是唯一的极化机制。,两种极化的微观机制过程是不同的，但宏观的结果却是一样的。,55,三、电极化强度(polarization),为了定量描写电介质的极化程度，我们在电介质内取一物理无限小体积元（看成一个宏观点），在没有外电场时，电介质未被极化，内部宏观小体积元中各分子的电偶极矩的矢量和为零（p=0）；当有外电场时，电介质被极化，此小体积元中的电偶极矩的矢量和将不为零（p0）。外电场越强，分子的电偶极矩的矢量和越大。,用单位体积中分子的电偶极矩的矢量和表示电介质的极化程度,1.引入,56,2.电极化强度的定义,为表征电介质的极化状态，定义极化强度矢量：在单位体积的电介质中分子电矩的矢量和，以P表示，即,式中是在电介质体元内分子电偶极矩的矢量和,极化强度的单位是C/m2、库仑/米2。,如果电介质内各处极化强度的大小和方向都相同，就称为均匀极化。我们只讨论均匀极化的电介质。,57,四、极化强度与极化电荷的关系,对于均匀极化的电介质，极化电荷只出现在介质的表面上。在电介质内切出一个长度为l、底面积为S的斜柱体，使极化强度P的方向与斜柱体的轴线相平行，而与底面的外法线n的方向成角。,若把整个斜柱体看为一个“大电偶极子”，它的电矩的大小为Sl，所以，斜柱体内分子电矩的矢量和的大小可以表示为,斜柱体的体积为,极化强度的大小为,58,由此得到=Pcos=Pn,或表示极化电荷面密度等于极化强度沿该面法线方向的分量。,右：,左：,讨论,59,为了得到极化强度与极化电荷更一般的关系,在闭合曲面S上取面元dS，以dS点乘上式等号两边，,积分：,等号右端是闭合曲面S上极化电荷的总量，而这些极化电荷都处于S上，用表示。,无论电介质是否极化，介质都是电中性的。因此在S面内必定存在的极化电荷。,60,上式表示，极化强度沿任意闭合曲面的面积分(即P对该闭合曲面的通量)，等于该闭合曲面所包围的极化电荷的负值。,注意,对于均匀电介质，极化电荷只出现在电介质的表面上；,闭合曲面S完全处于均匀电介质的内部，而S内部不可能存在极化电荷，即,该闭合曲面极化强度通量为零,61,例题1半径为R的均匀介质球，沿水平方向均匀极化，设极化强度，求：a)介质表面极化电荷的分布，b)左右半球面上的电荷的电量。,解：,a.以球心为坐标原点，建立坐标系。由于球对称，球面上任一点的极化电荷面密度与有关。角为任一点外法线与的夹角。,62,极化电荷面密度,b.沿垂直P的方向将球面分割成许多环形的球带，过任一点球带的宽度为，周长为,右半球：,左半球：,当时，最大；在时，为零,63,足够小，故ds上可视为均匀，其极化电荷为：,积分：,左半球：,64,五、极化电荷对电介质内部场强的影响,65,则两板之间的电场强度的大小为E0=s/e0。在电容器内充满均匀电介质时E=s/e0。总电场强度E的大小可以表示为,以平行板电容器为例,如果极板电容器上所带自由电荷面密度分别为和，,实验表明，对于各向同性的电介质，极化强度P与作用于电介质内部的实际电场E成正比，并且两者方向相同，可以表示为,66,式中e是电介质的极化率。引入电介质的相对电容率，定义为,r=1+e,电介质的相对电容率(相对介电常数),67,说明,在均匀介质中，内部场强的大小等于外加电场的,真空中的电容率,电介质的相对电容率（无量纲）,电介质的绝对电容率（量纲同）,68,电介质的相对介电常数（电容率）：,69,六、电介质存在时的高斯定理,自由电荷,束缚电荷,根据真空中的高斯定理,在电场中有电介质，高斯面内可能同时包含自由电荷和极化电荷这两种电荷，高斯定理应表示为,70,自由电荷,对于任一闭合曲面电感应强度的通量，等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和。,物理意义,对于各向同性的电介质,71,思考题：,从看，电感应强度矢量仅与自由电荷有关，而与极化电荷无关，对否？,该式只表明对任何闭合面的D通量决定于自由电荷，而与极化电荷无关，并不表示D本身只决定于自由电荷，与极化电荷无关。在一般情况下，D是与极化电荷有关的，这可以从公式中看到。,72,七、边界条件,在两种不同的电介质分界面两侧，D和E一般要发生突变，但必须遵循一定的边界条件。,在两种相对电容率分别为r1和r2的电介质分界面处，作一扁平的柱状高斯面,使其上、下底面(S)分别处于两种介质中，并与界面平行，柱面的高很小,运用高斯定理，得,即或D1n=D2n,上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，电感应强度的法向分量不变。,73,取法线分量，则,结论：场强的法线分量在电介质介面上是突变的,74,在上述两种介质分界面处作一矩形回路ABCDA，使两长边(长度为l)分别处于两种介质中，并与界面平行，短边很小，取界面的切向单位矢量t的方向沿界面向上。由静电场的环路定理得,上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，电场强度的切向分量不变。,即或E1t=E2t,75,取切线分量，则,结论：电感应强度的切线分量在电介质介面上是突变的。,76,例1：半径为R的金属球带电量Q，球外同心的放置相对电容率为r的电介质球壳，球壳的内、外半径分别为R1和R2。求空间各点的电感应强度D、电场强度E以及电介质球壳表面的极化电荷密度。,解：以球心为中心、以大于R的任意长r为半径作球形高斯面，由高斯定理可求得,高斯面,在RR2的区域，不存在电介质，r=1，有,在R1rR2的区域，存在电介质，所以,77,电介质的极化强度P只存在于极化了的电介质球壳中，并且P的方向与E相同。P的大小为,也可以根据公式D=0E+P来求P，得,极化电荷出现在电介质球壳的内、外表面上。在内表面，r=R1，n指向球心，所以,在外表面，r=R2，n沿径向向外，所以,78,在内表面上的负极化电荷总量为,在外表面上的正极化电荷的总量为,可见，由于电介质整体是电中性的，所以电介质球壳内、外表面上的负、正极化电荷量必定相等。,79,求极化电荷的方法：,80,例2：平行板电容器充满两层厚度为d1和d2的电介质(d=d1+d2)，相对电容率分别为er1和er2。求：1.电介质中的电场；2.电容量。,解：设两介质中的电感应强度为D1和D2，由高斯定理知：,介质中的场强：,同理得到,81,板间电势差：,以上两个例题的求解，都是绕过了极化电荷的影响，通过电感应强度矢量D进行的，使问题大为简化了。,电容器的电容：,82,讨论：极化电荷与自由电荷的区别,a.电介质极化而出现在电介质表面上(或体内)的宏观电荷，就是极化电荷；在外电场的作用下可以自由运动的宏观电荷，称为自由电荷。,b.极化电荷是束缚在分子中的电子作微小位移，它的活动范围不能超出分子的线度。而自由电荷是由于原子或分子的电离或金属中的自由电子重新分布引起的，它的活动范围可以是整个物体，也可以在不同的物体之间；,c.极化电荷不能转移到其他物体，而自由电荷可以转移到其他物体。,83,13-4电介质对电容器的影响及电容器的能量,一.电介质对电容器的影响,1、电量一定,电容器极板间的电势差U12相应减小了，为电介质不存在时的1/r。,式中U012是电介质不存在时电容器极板间的电势差，d是两极板之间的距离。,电势差：,电容：,84,电介质放入后：,电介质放入后，电容增大为原来的r倍。,电势差一定,电介质放入后，电量增大为原来的r倍。,85,在电容器充电过程中,设某时刻两极板间的电压为UAB,在外力作用下持续地将dq电量从负极板移到正极板时，外力因克服静电场力作的功为：,所以在电容器中储存的能量为：,二.电容器