第十二章-微分方程PPT.ppt

,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十二讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,微分方程,第六章,积分问题,微分方程问题,推广,第6章,微分方程的基本概念,机动目录上页下页返回结束,1,了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的基本概念,第6章,引例.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,机动目录上页下页返回结束,第6章,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,机动目录上页下页返回结束,第6章,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,机动目录上页下页返回结束,第6章,例1.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,机动目录上页下页返回结束,第6章,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十三讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,可分离变量微分方程,机动目录上页下页返回结束,2,解变量可分离方程,变量可分离的微分方程,第6章,分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,说明由确定的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0时,上述过程可逆,由确定的隐函数x(y)也是的解.,机动目录上页下页返回结束,第6章,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),机动目录上页下页返回结束,第6章,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,机动目录上页下页返回结束,第6章,例3:,解法1分离变量,即,(C0),解法2,故有,积分,(C为任意常数),所求通解:,机动目录上页下页返回结束,第6章,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,机动目录上页下页返回结束,第6章,练习,1.已知一阶微分方程,（1）求通解；,（2）求它过点（1，4）的特解；,（3）求出与直线,相切的解。,解：,（1）方程变形为,将方程两端积分，有,（2）将点（1，4）代入通解，得,所求特解为,（3）解方程组,由于相切，故根的判别式,所求曲线为,2.求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,机动目录上页下页返回结束,第6章,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十四讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,齐次方程,机动目录上页下页返回结束,会识别齐次方程，会求其解,第6章,3,齐次方程的定义,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,机动目录上页下页返回结束,第6章,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),机动目录上页下页返回结束,第6章,例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,机动目录上页下页返回结束,第6章,例3.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,故原方程的通解为,(C为任意常数),机动目录上页下页返回结束,第6章,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十五讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,一阶线性微分方程,机动目录上页下页返回结束,一、一阶线性微分方程的形式,第6章,二、掌握求通解的计算公式,4,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,机动目录上页下页返回结束,第6章,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动目录上页下页返回结束,第6章,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动目录上页下页返回结束,第6章,例2.求方程,的通解.,解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解为,机动目录上页下页返回结束,第6章,内容小结,一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,机动目录上页下页返回结束,第6章,练习,1.判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,机动目录上页下页返回结束,第6章,2.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,机动目录上页下页返回结束,第6章,2.设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解:1)先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,故有,机动目录上页下页返回结束,第6章,2)再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3)原问题的解为,机动目录上页下页返回结束,第6章,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十六讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,一阶微分方程的解法练习,机动目录上页下页返回结束,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,第6章,一、一阶微分方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,三个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,.,机动目录上页下页返回结束,第6章,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,机动目录上页下页返回结束,第6章,方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,机动目录上页下页返回结束,第6章,提示：,机动目录上页下页返回结束,第6章,例3.,机动目录上页下页返回结束,