数理统计作业三

第一部分 统计基础与概率计算（共10题，10分/题）1. 某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。解：读题可知每个 路口遇到红灯的概率是P=24（24+36）=0.4假设遇到红灯的次数为X，则，XB（3,0.4），概率分布如下0次遇到红灯的概率P0=（1-0.4）3=0.2161次遇到红灯的概念P1=（1-0.4）2*0.4=0.4322次遇到红灯的概念P2=（1-0.4）*0.42=0.2883次遇到红灯的概念P3=0.43=0.064期望：E（x）=nP=0.4*3=1.2方差：D(X)=2=nPq=0.4*3*(1-0.4)=0.72标准差：2. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。解：设被保险人死亡数为X，XB(20000，0.0005)2. 总收入为2万50=100万，要获利至少50万，则赔付的保险金额应该不超过50万，也就是被保险的人当中死亡人数不能超过10人，精确点就是用二项分布来做，但是由于20000这个数比较大，就可以用正态近似来做，就是认为死亡人数服从和原二项分布的均值方差相同的正态分布，结用正态函数表示。概率为P（X10）=0.58304（2）亏本的概率就是死亡人数大于20人的概率，思路如上P（X20）=1-P(X20)=0.00158(3)支付保险金额的均值50000E(X)50000np=50000200000.0005（元）50（万元） 支付保险金额的标准差50000(X)50000np(1-p) 1/2=50000(200000.00050.9995)1/2158074（元）3. 对题2的资料，试问：（1）可否利用泊松分布来近似计算？（2）可否利用正态分布来近似计算？（3）假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算？解：(1)由于泊松分布的特点为，当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中为np。通常当n10,p0.1时，就可以用泊松公式近似得计算= np=200000.0005=10P(X10) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=10)=010kk！e-=.58304比较两题的结果，可以知道泊松分布适用于此题。(2)可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。本例中，np=200000.0005=10，np(1-p)=200000.0005(1-0.0005)=9.995，即有XN(10,9.995)。相应的概率为：P(X10.5)0.51995，P(X20.5)0.853262。可见误差比较大。(3)由于p0.0005，假如n=5000，则np2.55，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。当n10,p0.1时，就可以用泊松公式计算。4. 某企业收购进甲、乙、丙三厂生产的同样规格的产品，在总收购量中甲、乙、丙三厂的产品各占40、35和25。甲、乙、丙三厂生产的次品率分别为1、2和3。若从总购量中任取1 件检查，问：(1)该件产品是次品的概率是多少？(2)如果抽到的产品是次品，那么所抽到的产品恰好是甲厂生产的概率是多少？恰好是乙厂和丙厂生产的概率各是多少？解：（1） 抽检到次品的概率为P=40%1%+35%2%+25%3%=1.85%（2） 恰好是甲厂的概率为：P甲=40%1%/1.85%=21.62%恰好是乙厂的概率为：P乙=35%2%/1.85%=37.84%恰好是丙厂的概率为：P丙=25%3%/1.85%=40.54%5. 据某地过去气象记录，在11 月的30 天中平均有2 天是雨天，假定11月每天是否下雨如同重复试验一样服从二项分布。(1)这种假定是否合理？(2)接二项分布计算，次年11 月最多有2 天是雨天的概率是多少？解：(1) 按照题意，在每次试验只有两种结果下雨或者不下雨，而且两种结果发生与否互相对立互不影响，且实验结果试验次数无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，因此这种假定合理。(2) 下雨概率P=2/30=0.067，设下雨天数X，XB(30，0.067)则最多有两天的概率为P(X2)0.6746.应用普哇松分布计算500 人中至多有1 人在元旦出生的概率(假定1年是365 天)。解：至多有一人在元旦出生，换句话说就是500人当中没有人，或者只有一个人在元旦出生的概率。P（X1）=P(X=0)+P(X=1)=（364365）500+5001365(364365)499=0.6027.已知生产产品时废品的概率为0.01，现每盒装100 个产品。问：(1)在1 盒中没有废品的概率是多少？(2)在1 盒中有1 个废品的概率是多少？(3)若要求以99的概率保证每盒有100 个合格品，每盒至少要装多少产品？解：（1）设盒中废品数量X，因此，XB(100，0.01)P（X=0）=(99100)100=0.366032(2)P（X=1）=0.36973(3) 设每盒产品为n个，合格品数量服从二项分布：XB(n，0.99)P(X100)0. 99 或P(X100)0.01根据中心极限定理，二项分布的正态近似8.某厂生产一批小型装置，设已知该小型装置的平均寿命为10 年，标准差为2 年。如果该小型装置的寿命服从正态分布，问：(1)整批小型装置不小于9 年的比重是多少？(2)整批小型装置不小于11 年的比重是多少？(3)如果工厂规定在保用年限期间遇有故障可免费换新，今要求免费换新率限制在3以内，保用年限有多长？解：（1）设比重为Y年F(Y9)=1-F（Y9）=1-（10-92）=1-（12）查正太表知道（12）=0.309 所以F(Y9)=0.691(2)F(Y11)=1-F(Y11）=（11-102）=（12）(3)P(X=n)= (n-10)/2)=0.03 可得n=6.24，则保用年限至多为6年。Excel：SPSS：9.某种电开关寿命(年)具有失效率K1/2的负指数分布。若有100 个此种开关装在不同系统中，那么在第一年最多有30 个失效的概率是多少？