C4人寿保险的精算现值

2020/5/22,1,第四章人寿保险趸缴纯保费,人寿保险精算现值,2020/5/22,2,中英文单词对照,趸缴纯保费精算现时值死亡即刻赔付保险死亡年末赔付保险,NetsinglepremiumActuarialpresentvalueInsurancepayableatthemomentofdeathInsurancepayableattheendoftheyearofdeath,2020/5/22,3,定期人寿保险终身人寿保险两全保险生存保险定额受益保险变额受益保险,TermlifeinsuranceWholelifeinsuranceEndowmentinsurancePureendowmentinsuranceLevelbenefitinsuranceVaryingbenefitinsurance,2020/5/22,4,引言,本章主要讨论各种人寿保险趸缴纯保费的计算。将建立一系列的寿险模型,在这些模型中保险金支付的数量是确定的，给付时间是不确定的。我们把保险金支付的时间和数量看成只依赖于被保险人死亡的时间，模型是利用T(x)和K(x)的定义建立的。,2020/5/22,5,人寿保险的分类,根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分，可分为：非延期保险和延期保险。（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。,2020/5/22,6,人寿保险的性质,保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。被保障人群的大数性这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。,2020/5/22,7,保险金给付采用的形式,死亡即刻赔付的形式在保险期限内，被保险人在保险责任范围内一旦发生死亡，由保险人立即给付保险金。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。死亡年度末赔付的形式在保险期限内，被保险人在保险责任范围内发生死亡，由保险人在死亡的保单年度末给付保险金。死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。,2020/5/22,8,趸缴纯保费的厘定假定条件,假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资收益（即预定利率）。,2020/5/22,9,纯保费厘定原理,保费净均衡原则净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值.,2020/5/22,10,本章的基本思路,确定随机变量T(x)或K(x)写出关于随机变量T或K的给付现值函数ZT或ZK+1它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数的随机变量.定义给付现值函数：,2020/5/22,11,精算现值=给付现值函数的期望趸缴纯保费=EZT或EZK+1=zk+1*p,2020/5/22,12,主要内容安排,死亡年度末给付的寿险（4.2）死亡即付的寿险（4.1）死亡即付和死亡年末给付的寿险的精算现值的关系（4.3）利用转换函数计算趸缴纯保费（补充）变额寿险趸缴纯保费（4.4）离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充）,2020/5/22,13,4.2离散型的人寿保险模型（P56）,保险金死亡年末赔付由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末赔付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。,2020/5/22,14,思路方法引入随机变量K写出关于随机变量K的给付现值函数ZK+1求离散型随机变量的期望,2020/5/22,15,设被保险人在投保时的年龄为x岁，其未来寿命整年数为K（x），保险金在K（x）+1处给付，给付数额为bk+1元，vk+1为给付1个单位在签单时的贴现系数，则。离散型的人寿保险模型下的一般表达式是：,2020/5/22,16,定期寿险的趸缴纯保费,表示（x）投保保险期限为n年，保险金额为1单位元，死亡年度末给付的保险的趸缴纯保费。（1）随机变量为K.k=0,1,2,n-1,n,n+1.=1,k=0,1,2,n-10,其他（2）给付现值函数ZZ=1*,k=0,1,2,n-10,其他,2020/5/22,17,(3)K、Z的分布律K012.n-1Zvv2v3.vnP(K=k)qx1|qx2|qxn-1|qx,2020/5/22,18,自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。,2020/5/22,19,例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险金于死亡年末给付,按中国保险业经验生命表CL1（2000-2003）和利率6%,计算：(1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。(2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。,2020/5/22,20,终身寿险的趸缴纯保费,Ax表示（x）投保保险金额为1元，保险期限为终身，死亡年末给付的寿险的趸缴纯保费。将上例定期寿险改为终身寿险,2020/5/22,21,两全保险的趸缴纯保费,Ax:n表示（x）投保保险期限为n年，保险金额为1元的两全保险的精算现值。（1）K（2）Z=1*vk+1k=0,1,2n-11*vnkn,2020/5/22,22,（3）K、Z的分布律k012n-1nZvv2v3vnvnP(K=k)qx1|qx2|qxn-1|qxnpxEZ+vn*npx=+,2020/5/22,23,例：设（35）购买离散型保额为10000元的5年期两全保险，年利率i=6%,利用附表1计算该保单的趸缴纯保费。,2020/5/22,24,延期寿险的趸缴纯保费,延期m年的n年定期人寿保险表示（x）投保延期m年,保险期限为n年,保险金为1元死亡年度末给付的寿险的趸缴纯保费。（1）K1,k=m,1,2,mn-1=0,其他（2）给付现值函数ZZ=1*vk+1,k=m,1,2,mn-10,其他,2020/5/22,25,2020/5/22,26,延期m年的终身寿险,表示(x)投保延期m年保险金额为1单位元死亡年度末给付的延期终身寿险的精算现值。,2020/5/22,27,例题：设（40）购买了延期10年定期15年的人寿保险,若保险金额为20000元,利用附表2求趸缴纯保费.(i=0.06),2020/5/22,28,试证：,2020/5/22,29,离散型的人寿保险模型各种寿险趸缴纯保费计算公式小结（P60）,定期寿险终身寿险两全保险延期m年的终身延期m年的定期延期m年的两全,2020/5/22,30,4.1连续型的人寿保险模型（P46）,死亡即刻赔付由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。,2020/5/22,31,连续型的人寿保险模型,基本思路:确定随机变量T(x)简写为T写出关于随机变量T的给付现值函数ZT精算现值=给付现值函数的期望趸缴纯保费=E（ZT）,2020/5/22,32,n年定期保险的趸缴纯保费,（x）投保连续型的保额为1单位元的n年定期寿险，其有关函数:bt=1(tn)0(tn)vt=ZT=1*vTTn0Tn趸缴纯保费用表示。,2020/5/22,33,=E(ZT)=,为利力。,2020/5/22,34,2020/5/22,35,P48:例4.1.1设生存函数(0x100),年利率为0.1,计算:,2020/5/22,36,终身寿险,表示（x）投保终身寿险，保险金额为1元，死亡时立即给付保险金的趸缴纯保费。t0,=,=,2020/5/22,37,例题:4.1.2设（x）投保连续型的保险金额为1元的终身寿险，签单时其未来寿命T的密度函数=1/60,0t60，利力为。0,其他求趸缴纯保费。,2020/5/22,38,两全保险的趸缴纯保费,:表示（x）投保n年期两全保险。若在n年内死亡保险人立即给付1元，若生存满n年则在第n年末支付满期保险金1元的趸缴纯保费。则：ZT=1*vTTnvnTn=E（ZT）=+vnnpx=,2020/5/22,39,延期寿险的趸缴纯保费P52,:表示（x）投保延期m年的终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡时立即给付的趸缴纯保费，则：ZT=0Tm1*vTTm,P53：例4.1.4（1）,2020/5/22,40,若（x）投保延期m年的n年定期寿险，保险金额为1元，保险金在死亡时立即给付。趸缴纯保费用表示。,P52:4.1.9,2020/5/22,41,若（x）投保延期m年的n年期两全保险，保险金额为1元，死亡保险金在死亡时立即给付。趸缴纯保费用表示。,2020/5/22,42,死亡即付寿险的趸缴纯保费计算公式小结P56,定期寿险终身寿险两全保险延期m年的终身延期m年的定期延期m年的两全,2020/5/22,43,4.3死亡即付和死亡年末付寿险精算现值的关系P61,死亡即期给付模型符合实际，但必须在知道连续型随机变量的生存函数时才可求得。死亡年末付寿险模型计算简便，可直接利用生命表求，但不符实际。本节通过适当的假设寻找死亡即付和死亡年末付精算现值的关系。,2020/5/22,44,P61推导过程的几点说明1.第二步2.UDD假设3.连续收付年金终值P292.5.3-2.5.5,2020/5/22,45,2020/5/22,46,UDD假设下，死亡即期给付和死亡年度末给付的寿险趸缴纯保费的关系：,2020/5/22,47,P62：例4.3.1(35)投保25年期两全保险,保险金额为20万元,在死亡或满期时立即给付.用中国人寿保险业经验生命表CL1及年利率i=6%,在UDD下，计算其趸缴纯保费。,2020/5/22,48,补充：利用转换函数计算趸缴纯保费,令：Dx=vx*lxNx=Dx+Dx+1+=Sx=Nx+Nx+1+Nx+2+=,为了简化公式和方便计算，我们设置以下几个新的转换函数,2020/5/22,49,令：Cx=vx+1*dxMx=Cx+Cx+1+Cx+2+=Rx=Mx+Mx+1+Mx+2+=,2020/5/22,50,利用转换函数可得：,2020/5/22,51,2020/5/22,52,2020/5/22,53,2020/5/22,54,例题：依据附表1，计算保险金额为1元的下列保单，在20岁签发时的趸缴纯保费。设死亡给付发生在保单年度末，利率为6%。（1）终身寿险（2）25年定期寿险（3）30年两全保险,2020/5/22,55,4.4变额寿险（离散型寿险模型）,变额寿险指保险金额随保险时期不同而变动的寿险，通常可以被看成几个定额寿险的组合。例如:假定（x）在投保10年内死亡，给付20000元；投保10年后死亡，给付10000元的终身寿险，可以看成,2020/5/22,56,变额寿险精算现值一般情况,假设（x）购买一终身寿险保单，约定死亡年度末给付bk+1,则该保单的趸缴纯保费为多少？基本方法险种组合,2020/5/22,57,（1）K（2）Z=（3）EZ=,2020/5/22,58,(30)投保5年期的定期保险，该保单规定，如果在第一个保单年度死亡年末给付保险金额10000元，在第二、三个保单年度死亡给付20000元，在第四、五个保单年度死亡给付50000元。按附表1，利率为6%，计算该保单的精算现值。,2020/5/22,59,递增型终身寿险,设（x）自投保之日起,在第一个保单年度死亡,则年末给付1单位元，在第k+1个保单年度死亡则年末给付k+1单位元.如此直至被保险人死亡为止。用表示该险种的趸缴纯保费。,2020/5/22,60,(1)k0,1,2(2)(3),(4.4.4),2020/5/22,61,换个角度:引入从而,按算术数列递增的终身寿险,实际上是一系列延期终身寿险所构成的.,P64:例4.4.2,2020/5/22,62,保额递增的n年定期寿险,设（x）自投保之日起，在第一个保单年度死亡则年末给付1单位元，在第二个保单年度死亡则年末给付2单位元，.在第n个保单年度死亡则年末给付n单位元。用表示该险种的趸缴纯保费。,2020/5/22,63,(1)k0,1,2.n-1(2)(3),(4.4.5),2020/5/22,64,换个角度:,2020/5/22,65,例:设（25）购买离散型的递增的30年期定期保险,保险利益是:被保险人在第一个保单年度内死亡,则年末给付1000元,在第二个保单年度内死亡,则给付1100元,依次下去,在第三十个保单年度内死亡,则给付3900元,按附表2，利率6%，计算该保单的趸缴纯保费.,2020/5/22,66,递减的n年定期寿险,表示(x)投保保额递减的n年定期保险的趸缴纯保费。被保险人在投保第一年内死亡在死亡年末给付保险金n单位元,在投保第k+1年内死亡在死亡年末给付保险金n-k单位元,在投保第n年内死亡在死亡年末给付保险金1单位元。,2020/5/22,67,(1),(2),(3),(4.4.7),2020/5/22,68,换个角度：P66：例4.4.3,2020/5/22,69,4.5递推公式,不同年龄的趸缴纯保费，是否存在相互关系？本节以终身寿险为例，推导其趸缴纯保费在离散型下递推公式。,2020/5/22,70,离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式,对于保险金额为1元的终身寿险因为px=1-qx,2020/5/22,71,P686已知:A76=0.8,D76