高等代数 数环和数域.ppt

数环和数域,1.学会发现和提出数学问题,发现问题、提出问题的一些套路1.学会反过来思考问题学完一个命题后，追问自己：这个命题将条件作为结论，将结论作为条件能否成立？案例1：（初中）平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。你是否有追问：命题“两直线平行，内错角相等”是否成立？2.学会一般化问题当我们学完一个命题后，追问自己：命题能否作一般性推广？3.学会四则运算生成新问题一个命题若对于加法成立，追问自己：对于减法、乘法、除法是否同样成立？案例3：2+7=9（小学案例）,认识2+7=9,认识2+7=9,认识2+7=9,认识2+7=9,认识2+7=9,回顾一下：对数式中数2,7，从奇偶性角度来探索尤其得到了奇偶分析方法，并尝试运用此方法解决一些趣题。,认识2+7=9,认识2+7=9,这个问题与著名的哥德巴赫猜想是相关的。哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。1966年陈景润证明了1+2成立，即：任一充分大的偶数都可以表示成二个质数的和，或是一个质数与两个质数积的和。,认识2+7=9,一个简单的算式：2+7=？，如果不急着丢弃它，而是转换角度，逐个方向去尝试探索角度1：奇偶数运算奇偶分析角度2：数的构成（和）质数和著名猜想收获远远胜过一道题、一个答案。,认识2+7=9,再回首，感知你的拥有：复杂的即是简单的养成从多个角度认识一个问题的意识；学会“反过来思考问题”（简记为1即2）的意识；学会“一般化问题”（简记为1即n）的意识学会利用“四则运算生成新问题”（简记为1即4）的意识；,1.5数环和数域,研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。,比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。,例如,我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。,在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中,代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算是指存在一个法则，它使A中任意两个元素都有A中一个元素与之对应。,（即运算是否封闭）。,运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。,例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。,根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。,一、数环,设S是由一些复数组成的一个非空集合，,则称S是一个数环。,整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集,C都是数环。,例如：,1、除了Z、Q、R、C外是否还有其他数环？,问题：,2、有没有最小的数环？,例1：设a是一个确定的整数。令,定义1：,则S是一个数环。,特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。,问题：,3、一个数环是否一定包含0元？,例2：证明,是一个数环。,问题：,定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充,要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。,二、数域,定义2：,设F是一个含有不等零的数的数集，如果F,则称F是一个数域。,有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，,例如：,则称F是一个数域。,中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，,且是三个最重要的数域。,问题：,7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？,例3：证明,是一个数域。,证明要点：,8、一个数域必包含哪两个元素？,问题：,9、最小的数域是什么？,定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。,证明：设F是一个数域，则,于是,对,故,10、在判断一个数集是不是数域时，实际上,问题：,要检验几种运算？,设F是一个含有非零数的数集，则F,定理1.1.3：,问题：,例：对任意素数P，,是一个数域。,在R与C之间不可能有别的数域。,设有数域F，使,，故,设x=a+bi，