线性代数第二章、行列式.ppt

第二章,行列式,行列式的概念n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开定理行列式的计算再论可逆矩阵,设二元线性方程组,a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2,(1),(2),1行列式的概念,若令，,则方程组可表示为,定义3.1二阶行列式,注：二阶行列式是一个数。,用消元法解方程组，当时，,为了简洁明了的表示以上结果，我们引进一个符号,回忆中学,方程组有唯一解：,引入行列式的定义后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。,当时，有,同样，可以用消元法求解三元一次线性方程组,a11x1+a12x2+a13x3=b1,a21x1+a22x2+a23x3=b2,a31x1+a32x2+a33x3=b3,定义3.2,对角线法则,三阶行列式,当系数行列式,相应的三元线性方程组,方程组有唯一解,其中,说明：,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,(1)项数：2阶行列式含2项，3阶行列式含6项,这恰好就是2!,3!.,(2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于,不同行不同列的2个和3个元素的乘积.,(3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负,3阶,行列式6项,3正3负.,例1计算行列式,例2解方程,=0,注：方程左端必须展成代数形式，利用代数方程的形式来解,=0+24+(-24)-0-(-60)-(-12)=72,例2解方程组,注意：系数行列式为,以及,问：表示方程组解的这一结果是否可以推广到n元线性方程组呢？从而给出n阶行列式的定义,定义1,由n个不同的数字构成的一个有序数组称为这n个数字的一个n级排列.,例如：,12345,51234,53214,都是数1，2，3，4，5的一个排列.,注：n个数的不同排列有个.,n!,自然排列.,按照由小到大的顺序排成的排列称为,定义2,2n阶行列式的定义,一、排列的逆序数,在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列含有一个逆序.,一个排列中出现的逆序的总数,定义3,称为这个排列的逆序数，排列,的逆序数通常记为,例如：排列12的逆序数为，排列21的逆序数为，排列231的的逆序数为，排列213的逆序数是。,0,1,2,1,定义4逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。,n级排列,的逆序数的计算,或者,求排列32514的逆序数.,例1,例2,求排列453162的逆序数.,例3,求排列423165的逆序数.,定义5,把一个排列中的两个数交换位置，其余的数不动，叫做对该排列作一次对换.,将相邻的两个数对换，称为相邻对换.,定理3.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明：,设排列为,除外，其它元素的逆序数不改变.,当时，,当时，,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.,因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.,设排列为,现来对换与,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,定理3.2,时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个.,推论1,偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对换改变排列的奇偶性。,推论2,任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.,三阶行列式,说明：,（1）三阶行列式共有项，即项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,二、n阶行列式的定义,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然排列时）,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,定义6,当,时，也可记为,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而引入的;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;,5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;,4、的符号为,6、上式称为n阶行列式的完全展开式.,行列式的等价定义,结论：1、共有n！项。,2、每项有n个元素。,3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中。,4、每项符号与逆序数的奇偶有关,例1在6阶行列式中，下列项应带什么符号.,解,431265的逆序数为,所以前边应带正号.,342165的逆序数为,所以前边应带正号.,例2,解,含的项有两项,即,对应于,例3计算4阶行列式,解：根据定义，D是4！24项的代数和，但每一项的乘积中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需展开式中不明显为0的项。,行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式Da11a22a33a44。,主对角线以上的元素全为零（即ij时元素aij0）的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。,行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即ij时元素aij0）的行列式称为对角行列式，它等于主对角线上元素的乘积。,例4证明,上面的行列式中，未写出的元素都是0。,证:行列式的值为,若乘积非零，j1j2jn只能是排列n(n1)21，,它的逆序数为,所以行列式的值为,例如,而,例5证明,利用行列式的定义去计算行列式，显然是很麻烦的对于阶数较高的行列式这样去计算几乎是不可能的，所以我们有必要去研究行列式的性质和找到能够比较快地进行计算的方法,3行列式的性质,性质1行列式与它的转置行列式相等。,行列式DT称为行列式D的转置行列式。,即：,证：记,即bijaji(i，j1，2，n),*或者设,则,性质2互换行列式的两行（列），行列式反号。,证,交换第p、q两列，得行列式,说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,对于D中任一项,在D1中必有对应一项,与只经过一次对换,所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。,推论若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。,性质3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。,性质4行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。,*设A为n阶方阵，,则,性质5若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如,则行列式D等于下列两个行列式之和：,性质6把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,以数k乘以第i行上的元素加到第j行对应元素上，有,例1求,=(。=0),解：原式,例2计算四阶行列式,解观察此行列式知，它具有以下特点：各行的元素之和都相等因此，把第，4行都加到第行上，提取公因子，然后各行减去第1行，得,例3求,例4计算行列式,例5证明,例6证明：,4行列式按行（列）展开定理,定义n阶行列式中，划去元素aij所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的n1阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij。,Aij叫做元素aij的代数余子式。,显然，Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。,（先观察上节例1P41）,引理n阶行列式D，如果其中第i行元素除aij外全部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即DaijAij,证先证i1，j1的情形,次交换行与交换列的步骤.,对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。,得,定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,例1,同样的道理和方法，计算,（思考题）,例2计算,解：,推论行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,证,当ij,将式中ajk换成aik(k=1,2,n),可得,同理可证,代数余子式的重要性质:,例4已知,求（1）,(2),定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或,运算性质,证明,证明,推论2设,同时,同时,定理5设A,B是n阶方阵，则,证明:,另：对上述行列式作行变换，将第n+1行的a11倍，第n+2行的a12倍，第2n行的a1n倍加到第一行，,再依次将第n+1行的ak1倍(k=2,3,n)，第n+2行的ak2倍，第2n行的akn倍加到第k行，得,得：,由定理4的推论得,证明完毕。,*设A,B是n阶方阵,则,证明过程：,有了上述定理的结论之后，再换个角度看定理的结论。,设A、B均为n阶方阵，为一实数，,证明,证明：,当=0时显然等式成立。,当0时，根据分块矩阵的广义初等变换与初等方阵的关系可知，,例5,另外，,有,故,5行列式的计算,一、对角线法则,此时，要结合行列式的各种性质，加以简化计算。另外，这个方法只适合二阶及三阶行列式。,二、化为三角形行列式,例3,求第一行各元素的代数余子式之和,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,例4,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,三、数学归纳法,证明,用数学归纳法,(1)当n=2时,结论成立.,（只适合证明题）,(2)设对n1阶范德蒙德行列式结论成立，来证对n阶范德蒙德行列式结论也成立.,n-1阶范德蒙德行列式,证毕.,有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算,例5计算,例6计算,例7证明,证明,对阶数n用数学归纳法。,四、降阶递推法,方法:降阶找递推公式.,2020/5/22,解按第1行展开,有,2020/5/22,递推公式,五、加边升阶法,例9计算,（可以用化上三角的方法）,例10计算行列式(加边法),解当x0或y0时，显然D0，现假设x0，且y0，由定理知,例11计算,说明：计算行列式的方法是多种多样的，这里仅列出了比较常见的几种方法。在计算行列式的时候，需要将行列式的有关性质、结论以及多种方法结合起来使用，才能更容易的求出行列式的值。,利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果：,设,则：,例12,证明：,例13,证明,例13,证明,定义,行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵,称为矩阵的伴随矩阵.,6再论可逆矩阵,如果一个,阶方阵,能够找到一个,阶方阵,使得,则称,是可逆的,可逆和,对应的行列式,有什么关系呢？,矩阵的伴随矩阵具有如下性质：,证明：,定义设A为n阶方阵,若