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一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,1,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的,物质,求分布在内的物质的,可得,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法:,质量M.,密度函数为,2,定义.设,存在,称为体积元素,若对作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,下列“乘,积和式”极限,3,二、三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分,4,三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:,5,其中为三个坐标,例1.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,6,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,7,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,8,其中为,例3.计算三重积分,所,解:在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,9,例4.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,10,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点M的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,11,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,12,例5.计算三重积分,解:在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,13,1.将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,
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