有趣的追及问题

有趣的追及问题数学广角同学们，龟兔赛跑的故事一定听说过吧，实际上龟兔赛跑是行程问题中的另一种情况，它是一种同向行程问题，我们把它叫做追及问题。两个运动物体同向前进，有一个运动物体速度较快，另一个运动物体速度较慢。如果慢的走在前，快的就能追上慢的，这就产生了追及问题。求追及时间的关系式是：追及时间=追及距离速度差。智慧密码例1小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸发现小明忘带了书包骑自行车去追，每分行375米，爸爸出发多少分后能追上小明？分析画出线段图。小明上学离家走了12分后，他爸爸才去追，由于爸爸速度比较快，最后一定会追上小明。算术方法：从图中，可以看出，当爸爸出发时，小明已经行了7512900米，这实际上就是爸爸追小明的路程即路程差，而每经过1分，爸爸要追上小明37575300米，这实际上就是速度差，因此爸爸要追上小明，只要看这900米里包含有几个300米，就是爸爸追上小明需要几分。解爸爸出发距小明的米数7512900（米）爸爸每分钟比小明多行的米数37575300（米）爸爸出发后追上小明的时间9003003（分）追及问题的基本关系式：路程差速度差追及时间速度差路程差追及时间追及时间路程差速度差方程方法：用方程思想来解决这一类问题，关键之处是要找到等量关系，观察线段图即可发现在爸爸追上小明的时刻，小明和爸爸所行的路程相等。解：设爸爸x分钟可以追上小明。7512 + 75x = 375x375x 75x = 900 300x = 900 X = 3答：爸爸3分钟可以追上小明。多长时间追上环行路上的行程问题，有着它独特的方面，由于环行的道路是封闭的，因此，环行路上的运动，计算行程时，通常与环行道路的周长有关。例2 在400米的环行跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。求甲追上乙需要多少秒？分析：这道题初看时，由于他们每人跑100米，都要停10秒钟。似乎不太好解决。但如果将二人看成不停的跑，就很容易算出甲追上乙的时间，这时再考虑在这期间所停留的时间，问题的解决就比较简单了。解答：如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：100（54）=100（秒），甲在100秒中共跑：5100=500（米），而甲在跑100米、200米、300米、400米时共停留了4次，到了500米处恰好追上乙。不必计算停留的时间。所以，甲追上乙所需的时间是：100410=140（秒）说明：甲跑到500米处时，正好是乙跑完400米，并且休息完10秒时。当甲跑到时，乙恰好要出发，他们两个在这一瞬间正好相遇。例3 如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A，小明在点B，他们同时出发，反向而行。他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求这个圆的周长分析：第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起来走了一圈半。也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是第一次相遇时合起来所走路程的3倍，因此，不难看出AD的距离是AC距离的3倍，所以再求圆周的长度就比较简单了。解答：因为AC=100米，AD的长度是AC长度的3倍。AD=AC3=1003=300（米）半个圆的周长：30080=220（米）整个圆的周长：2202=440（米）说明：这道题还可以从另一个角度进行考虑。由于C到D两人共走了一个圆周，由A、B到C两人共走了半个圆周，所以，CD的长度是AC长度的2倍。因此，同样可以判断出AD的距离是AC距离的3倍。例4 如图，沿边长为90米的正方形，按逆时针的方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？ 分析：这是一道环行追及问题，这类问题可以先看成“直线”的追及问题，求出乙追上甲所用的时间，再回到环行路上的追及问题，根据乙这段时间所走的路程，推算出应在正方形的哪一条边上。解答：先求追上甲时乙所用的时间：903（7265）=（分）再求这段时间乙所走的路程： 72=（米） 由于，正方形每边长90米，因此： =（472）90这样不难看出，乙走的比7圈零两条边还多米，所以，当乙第一次追上甲时，甲和乙应在正方形的AD边上。说明：如何将直线上的追及问题，与环行道路的特点相结合，是这道题得以解决的关键。牛刀小试1、 一辆面包车的速度是每小时60千米，在面包车开出30分钟后，一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点出发沿着同一行驶路线去追赶面包车，多少时间后追上？2、 姐姐步行的速度是每分钟75米，妹妹步行的速度是每分钟65米，在妹妹先出发20分钟后姐姐去追赶妹妹，问姐姐多少分钟后追上妹妹？这时离出发地多少米？3、实验小学组织学生排队步行去郊游，步行速度是每秒1米，排头的王老师以每秒2.5米的速度赶到排尾，然后立即返回排头，共用10分钟，求队伍的长度。4、兄妹两人同时从家出发去1080米远的学校上学，哥哥骑车每分钟走360米，妹妹步行每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘带课本，立即原路返回，问哥哥再次由家出发在离学校多远处追上妹妹？5、有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地。乙比丙晚出发10分钟，经40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，经50分钟追上乙，那么甲出发后多长时间追上丙？俱乐部陈景润不爱玩公园，不爱逛马路，就爱学习。学习起来，常常忘记了吃饭睡觉。 有一天，陈景润吃中饭的时候，摸摸脑袋，哎呀，头发太长了，应该快去理一理，要不，人家看见了，还当他是个姑娘呢。于是，他放下饭碗，就跑到理发店去了。 理发店里人很多，大家挨着次序理发。陈景润拿的牌子是三十八号的小牌子。他想：轮到我还早着哩。时间是多么宝贵啊，我可不能白白浪费掉。他赶忙走出理发店，找了个安静的地方坐下来，然后从口袋里掏出个小本子，背起外文生字来。他背了一会，忽然想起上午读外文的时候，有个地方没看懂。不懂的东西，一定要把它弄懂，这是陈景润的脾气。他看了看手表，才十二点半。他想：先到图书馆去查一查，再回来理发还来得及，站起来就走了。谁知道，他走了不多久，就轮到他理发了。理发员叔叔大声地叫：“三十八号！谁是三十八号？快来理发！”你想想，陈景润正在图书馆里看书，他能听见理发员叔叔喊三十八号吗？过了好些时间，陈景