线性控制系统的能控性与能观测.ppt

3.1能控性的定义,3.2线性定常系统的能控性判别,3.3线性连续定常系统的能观性,3.4离散时间系统的能控性与能观性,3.5时变系统的能控性与能观性,3.6能控性与能观性的对偶关系,3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型,3.8线性系统的结构分解,3.9传递函数阵的实现问题,3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系,能控性和能观测性的基本概念：,20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。,能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。输入能够控制状态（控制问题）,能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。状态能否由输出反映（估计问题）,3.1能控性定义,指外输入u(t)对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。,有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。,受u(t)控制的状态称为能控状态，不受u(t)控制的状态称不能控状态。,一、例子例1：系统的结构图如下,显然，只能控制而不能影响，我们称状态变量是可控的，而是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。,+,L,例2:取和作为状态变量,u输入,y=-输出.,-,u,(1)当,状态可控,(2)当,u只能控制，状态不可控,3.1能控性的定义,1线性连续定常系统的能控性定义,线性连续定常系统：,如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，使系统由某一初始状态，转移到指定的任一终端状态工，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。,几点说明：,1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻，初始状态为，而任意终端状态就指定为零状态。即,2)也可以假定=0，而工为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用，在有限时间内，能将由零状态驱动到任意。在这种情况下，称为状态的能达性。,3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将驱动到，而不计较的轨迹如何。,2线性连续时变系统的能控性定义,线性连续时变系统：,3离散时间系统,这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：,二、能控性定义,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到任一终端状态，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。,几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到零态，则称系统是状态能控的。,2、系统的状态能达性：,初始状态为状态空间原点，即零态；终端状态为状态空间任意非零有限点。,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在的有限时间内使得系统从零态转移到任意非零状态，则称系统是状态能达的。,3.2线性定常系统的能控性判别,3.2.1具有约旦标准型系统的能控性判别,1单输入系统,具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：,线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。,(1),为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。,1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：,2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：,3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分子方程组为：,2具有一般系统矩阵的多输入系统,系统的状态方程为：,(12),2、具有一般形式的系统,系统的线性变换不改变系统的能控性。,（1）设线性系统具有两两相异的特征值则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：,中，不包含元素全为0的行。,1）,例：考察以下系统的能控性：,状态完全能控,3）,状态完全能控,状态不完全能控,X2状态不能控,2）,中，阵中与每个约当小块最后一行所对应的元素不全为零。,（2）：设线性系统具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能控，否则状态不能控。,如果行线性无关，则状态能控,含义：,对于：,状态完全能控,状态完全能控,例：考察如下系统的状态能控性：,推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系统状态必不能控。,状态完全能控,状态不完全能控,状态不完全能控,X2状态不能控,3.2.2直接从A与B判别系统的能控性,1单输入系统,线性连续定常单输入系统：,其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵：,满秩，即。否则，当时，系统为不能控的。,2多输入系统,对多输入系统，其状态方程为：,其能控的充分必要条件是矩阵：,式中,B为阶矩阵；为r维列矢量。,的秩为。,(14),(15),二、秩判据,对于线性连续定常系统：状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：,满秩,即：,证明：,证明目标：,对系统的任意的初始状态，能否找到输入u(t)，使之在的有限时间内转移到零。则系统状态能控。,已知：线性定常非齐次状态方程的解为：,（2）,由（1）式得：,将代入上式：,（1）,由凯利哈密顿定理有：,（3）,（4）,将（3）式代入（2）式得：,（5）,令：,（6）,将（5）式代入（4）式得：,由以上可以看出式（6）中各参数维数如下：,说明：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质：,式（6）是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：,由于x(t0)任意，所以，必须有：,证毕,例判别如下系统的能控性,解：,1）构造能控性判别矩阵：,故系统的状态完全可控,2）求能控性判别矩阵的秩：,例判别如下线性连续定常系统的能控性,解：,故系统状态不完全能控。,指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。,3.3能观测性及其判据,有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能,能通过y(t)确定下来的状态称为能观状态，不能通过y(t)确定下来的状态称为不能观状态。,1、举例系统结构图如下,显然输出中只有，而无，所以从中不能确定，只能确定。我们称是可观测的，是不可观测的。,一、能观测性的定义,+,L,例2:取和作为状态变量,u输入,y=-输出.,-,u,(1)当,状态可观测,(2)当,u只能控制，状态不可观测,3.3线性连续定常系统的能观性,3.3.1能观性定义,能观性所表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即,如果对任意给定的输入，在有限观测时间,使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。,(1),2、能观测性定义,如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间，使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。,1、能观测性规定为初始状态的确定。任意状态可在输入作用下由状态转移矩阵得到。,2、能观测性是研究输出反映状态向量的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。由于输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u恒等于0。,几点说明：,3.3.2定常系统能观性的判别,定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。,1转换成约旦标准型的判别方法,线性时不变系统的状态空问表达式为：,现分两种情况叙述如下：,(1)A为对角线矩阵,(2),这时式(2)用方程组形式表示，可有：,(3),(4),从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：,能观性判据P104,二、能观测性判据,前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性,1、约当标准型判据,（1）线性系统具有两两相异的特征值则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：,中，不包含元素全为0的列。,例：考察如下系统的能观测性：,这时，状态方程的解为：,(2)A为约旦标准型矩阵,以三阶为例：,由式(5)可知，当且仅当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。,约旦标准型系统具有串联型的结构，如图所示：,中，阵中与每个约当小块首列所对应的列，其元素不全为零。,（2）：设线性系统具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量是否是列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。,推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SO系统，系统状态必不能观测。,例如：,列线性无关，则状态能观测,例：考察如下系统的能观测性：,2、秩判据,对于线性连续定常系统：状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,例判别如下系统的能观测性,解：,1）构造能观测性判别矩阵：,故此系统不是状态完全能观测的,例判别如下系统的能观测性：,故此系统是状态完全能观测的,解：,构造能观测性判别矩阵，并判断其秩：,1、离散系统的能控性定义,若存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能将某个初始状态x(0)=x0在第l步上到达零态，即x(l)0，则称此状态是完全能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态能控的。,对于n阶线性定常离散系统：,一、离散系统的能控性,3.4离散系统的能控性与能观测性,满秩,即：,线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：,2、离散系统的能控性判据,故系统状态完全能控。,解：,首先构造能控判别阵：,所以能控性判别阵为：,求能控性判别阵的秩：,例：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能控性。,3.4离散时间系统的能控性与能观性,3.4.1能控性矩阵M,离散时间系统的状态方程如下：,(1),3.4.2能观性矩阵N,离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。,式中,为维列矢量；C为输出矩阵，其余同式(6)。,(2),当系统为单输入系统时，式中为标量控制作用控制阵为维列矢量；G为系统矩阵；为状态矢量。,如果根据有限个采样周期内测量的y(0)，y(1)，y(l)，可以唯一地确定出系统的任意初始状态x0，则称x0为能观测状态。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。,二、离散系统的能观测性,对于n阶线性定常离散系统：,1、离散系统的能观测性定义,2、离散系统的能观测性判别,对于线性离散定常系统，其状态完全能观测的充要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,例：设线性定常离散系统方程如下，试判断其能观测性,解：,系统状态不完全能观测,三、采样周期对离散化系统能控性和能观测性的影响,思考：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能控性和能观测性是否发生变化。,例：,已知连续系统：是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。,解：,先求连续系统的状态转移矩阵：,所以：,要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即：,要使系统状态能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：,联立上2式可知，要使离散化后系统能控且能观测，T必须满足：,1）、对于线性连续定常系统如果是不能控和不能观测的，则其离散化后的系统也必是不能控和不能观测的。,2）、对于线性连续定常系统如果是能控和能观测的，则其离散化后的系统不一定是能控和能观测的。,3）、离散化后的系统能否保持能控和能观测性，取决于采样周期T的选择。,故，线性连续定常系统离散化后，系统的能控和能观测性变差了。,结论：,根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出，就能唯一地确定任意初始状态矢量，则系统是完全能观的，现根据此定义推导能观性条件。从式(1)，有：,若系统能观，那么在知道时，应能确定出，现从式(7)可得：,(3),写成矩阵形式：,有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于。这个系数矩阵称为能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即,(4),(5),3.5时变系统的能控性与能观性,3.5.1能控性判别,1.有关线性时变系统能控性的几点说明,这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。,3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。,4)非奇异变换不改变系统的能控性。,2)定义中的，是系统在允许控制作用下，由初始状态转移到目标状态(原点)的时刻。,1)定义中的允许控制，在数学上要求其元在区间是绝对平方可积的，即,5)如果是能控状态，则也是能控状态，是任意非零实数。,7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间，记为。,6)如果和是能控状态，则也必定是能控状态。,2线性连续时变系统的能控性判别,时变系统的状态方程如下：,为非奇异的。,系统在上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵,为非奇异的。,(1),(2),3.5.2能观性判别,1有关线性时变系统能观性的几点讨论,2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：,这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。,3)对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。,5)如果和都是不能观的，则也是不能观的。,1)时间区间是识别初始状态所需要的观测时间，对时变系统来说，这个区问的大小和初始时刻的选择有关。,4)如果是不能观测的，为任意非零实数，则也是不能观测的。,6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子,(3),2线性连续时变系统能观性判别,为非奇异的。,在上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵,3.5.3连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系,(5),众所周知，一个矩阵：,因此，有这个矩阵的列矢量线性无关与非奇异等价。,式中，为列矢量，当且仅当由构成的格拉姆矩阵为非奇异时，列矢量是线性无关的。现在,3.6能控性与能观性的对偶关系,能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。,3.6.1线性系统的对偶关系,有两个系统，一个系统为：,另一个系统：为：,若满足下述条件，则称与是互为对偶的。,式中，为维状态矢量；各为r与m维控制矢量；各为与维输出矢量；为系统矩阵；各为，与，维控制矩阵；各为与维输出矩阵。,3.6.2对偶原理,3.6.3时变系统的对偶原理,时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复杂得多。,对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到其对偶系统能观性方面的结论。,系统和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。或者说，若是状态完全能控的(完全能观的)，则是状态完全能观的(完全能控的)。,若能控，则能控性矩阵满秩。即,设和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观测性；的能观测性等价于的能控性。,二、对偶原理,证明：,的能观测性矩阵为：,所以能观测。,*：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。,反之亦然。,3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型,3.7.1单输入系统的能控标准型,如果系统是状态完全能控的，即满足：,对于一般的维定常系统：,1能控标准型,(1),若线性定常单输入系统：,是能控的，则存在线性非奇异变换：,(2),(3),使其状态空间表达式(1)化成：,(4),称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准型。其中，为特征多项式：,的各项系数。,若线性定常单输入系统：,2.能控标准型,(6),相应的状态空间表达式(6)转换成：,(7),是能控的，则存在线性非奇异变换：,(8),(10),(11),并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准型。,式(9)中的是系统特征多项式：,的各项系数，亦即系统的不变量。,式(11)中的是相乘的结果，即：,(12),解：,1）判断系统能控性,2）计算特征多项式,3）化为能控标准II型,例试将下列状态空间表达式变换为能控标准II形。,3.7.2单输出系统的能观标准型,与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即有：,系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。,若线性定常系统：,是能观的，则存在非奇异变换：,(13),(14),1能观标准型,状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准型和能观标准型，它们分别与能控标准型和能控标准型相对偶。,使其状态空间表达式(13)化成：,(15),(17),(18),取变换阵：,直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下：,首先构造的对偶系统,然后写出对偶系统的能控标准型，的状态空间表达式的能观标准型即是的能控标准型，即,(19),的能控标准I型对应的系数阵；,式中，为系统的能控标准II型对应的系数阵；,1、能观测标准I型（对偶于能控标准II型）,如果单输出线性定常系统：是能观测的，,则存在线性非奇异变换：,将状态方程化为第一能观测标准型：,其中：,非奇异变换阵为：,2能观标准型,(20),若线性定常单输出系统：,是能观的，则存在非奇异变换,(21),使其状态空问表达式(20)变换为：,(22),(24),(25),称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准型。,2、能观测标准II型（对偶于能控标准I型）,如果单输出线性定常系统：是能观测的，,将状态方程化为能观测标准II型：,则存在线性非奇异变换：,其中：,将代入上式，即可得到。,非奇异变换阵为：,证明思路：仍然用对偶原理证明，能观测标准II型，就是其对偶系统的能控标准I型。,例：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为能观测标准II型。注意：非特别标明，能观测标准型指的是能观测标准II型。,解：,1）判断系统能观测性,3）计算变换阵，并化为能观测标准II型,2）计算特征多项式,例：写出以下传递函数的能观测标准II型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。,所以：,能观测标准II型为：,分解的目的：,除了对角线和约当标准型可能明显识别外，其它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性地表示出来。结构分解是：1）最小实现的理论依据：本质上反映状态空间描述的特性2）状态反馈的基础：能控部分极点可任意配置。3）状态重构的前提。,3.8线性系统的结构分解,3.8.1按能控性分解,设线性定常系统,(1),是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：,的秩,则存在非奇异变换：,(2),将状态空间表达式(1)变换为：,(3),(5),(6),可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中维子空问：,是能控的，而维子系统：,是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为对不起作用，仅作无控的自由运动。显然，若不考虑维子系统，便可得到一个低维的能控系统。,至于非奇异变换阵：,(7),其中个列矢量可以按如下方法构成，前个列矢量是能控性矩阵M中的个线性无关的列，另外的个列在确保为非奇异的条件下，完全是任意的。,一、按能控性分解,目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分。为实现做准备。,如果线性定常系统：是状态不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵：前n1列为Qc中n1个线性无关的列，其余列在保证Rc非奇异下任选。,3.8.2按能观性分解,设线性定常系统：,其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵,的秩,(8),则存在非奇异变换：,(9),能控性分解示意图：,其中是n1维能控部分：,其中是n-n1维不能控部分：,u不能直接控制，而未来信息中又不含的信息。,将状态空间表达式(8)变换为：,(10),(12),(13),可见，经上述变换后系统分解为能观的，维子系统：,结构图如下。显然，若不考虑维不能观测的子系统，便得到一个。维的能观系统。,和不能观的，维子系统：,非奇异变换阵是这样构成的，取,(14),3.8.3按能控性和能观性进行分解,1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。,2)变换矩阵R确定之后只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性和能观性进行结构分解但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。,3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成相应的子系统。,3.9传递函数阵的实现问题,3.9.1实现问