判断充分与必要条件的常用方法

判断充分与必要条件的常用方法充分条件与必要条件是高中阶段非常重要的数学概念，它涉及知识范围广，综合性强，能与高中任何知识相结合，有一定的深度与难度，此类题目能有力地考查学生的逻辑思维能力.那么我们如何把握和解决此类问题呢？一、定义法对于“?圯”，可以简单的记为箭头所指为必要，箭尾所指为充分.在解答此类题目时，利用定义直接推导，一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义.例1已知p：-2m0，0n1；q：关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件？分析条件p确定了m，n的范围，结论q则明确了方程的根的特点，且m，n作为系数，因此理应联想到根与系数的关系，然后再进一步化简.解设x1，x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根，即0x11，0x21，则0x1+x22，0x1?x21，依韦达定理，则有0-m2，0n1，从而q?圯p.而对于满足条件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并无实根，所以pq.综上，可知p是q的必要但不充分条件.点评解决条件判断问题时，务必分清谁是条件，谁是结论，然后既要尝试由条件能否推出结论，也要尝试由结论能否推出条件，这样才能明确做出充分性与必要性的判断.二、集合法如果将命题p，q分别看作两个集合A与B，用集合意识解释条件，则有：若A?哿B，则xA是xB的充分条件，xB是xA的必要条件；若A?芴B，则xA是xB的充分不必要条件，xB是xA的必要不充分条件；若A=B，则xA和xB互为充要条件；若A?芫B且A?芸B，则xA和xB互为既不充分也不必要条件.例2设x，yR，则x2+y22是|x|+|y|的（）条件，是|x|+|y|2的（）条件.A.充要条件B.既非充分也非必要条件C.必要不充分条件?摇D.充分不必要条件解如右图所示，平面区域P=（x，y）|x2+y22表示圆内部分（不含边界）；平面区域Q=（x，y）|x|+|y|表示小正方形内部分（含边界）；平面区域M=（x，y）|x|+|y|2表示大正方形内部分（不含边界）.由于（，0）?埸P，但（，0）Q，则P?芸Q.又P?芫Q，于是x2+y22是|x|+|y|的既非充分也非必要条件，故选B.同理P?芴M，于是x2+y22是|x|+|y|2的充分不必要条件，故选D.点评由数想形，以形辅数，这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现.数形结合不仅能够拓宽我们的解题思路，而且也能够提高我们的解题能力.三、逆否法利用互为逆否命题的等价关系，应用“正难则反”的数学思想，将判断“p?圯q”转化为判断“非q?圯非p”的真假.例3（1）判断p：x3且y2是q：x+y5的什么条件；（2）判断p：x3或y2是q：x+y5的什么条件.解（1）原命题等价于判断非q：x+y=5是非p：x=3或y=2的什么条件.显然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要条件.（2）原命题等价于判断非q：x+y=5是非p：x=3且y=2的什么条件.因为非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分条件.点评当命题含有否定词时，可考虑通过逆否命题等价转化判断.四、筛选法用特殊值、举反例进行验证，做出判断，从而简化解题过程.这种方法尤其适合于解选择题.例4方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（）A.0a1B.a1C.a1D.0a1解利用特殊值验证：当a=0时，x=-，排除A，D；当a=1时，x=-1，排除B.因此选C.点评作为选择题，利用筛选法避免了复杂的逻辑推理过程，使解题方法更加优化，节省了时间，提高了解题的速度，因此同学们应该注意解题方法的选择使用.五、传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn.同样，充要条件也有传递性.对于比较复杂的具有一定连锁关系的条件，两个条件间关系的判断也可用传递法来加以处理.例5已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解由题意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那么可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要条件，故选A.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?点评对于两个以上的较复杂的连锁式条件，利用传递性结合符号“?圯”与“”，画出它们之间的关系结构图进行判断，可以直观快捷地处理问题，使问题得以简单化.教师范读的是阅读教学中