微积分ppt课件

,1,2,1、变速直线运动问题,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,4.2.1原函数存在定理,3,考察定积分,2、积分上限函数,4,证,5,由积分中值定理得,6,补充,证,7,例1求极限,解,分析：这是型不定式，应用洛必达法则.,8,证,9,10,证,令,11,定理（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,12,定理2（微积分基本定理）,证,4.2.2牛顿莱布尼茨公式,13,令,令,牛顿莱布尼茨公式,14,微积分基本定理表明：,注意:,求定积分问题转化为求原函数的问题.,15,例4求定积分,原式,例5设,求.,解,解,16,例6求积分,解,由图形可知,17,例7求积分,解,解面积,18,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,4.2.5小结与思考题1-2,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,19,思考题,20,思考题解答,21,课堂练习题,22,23,课堂练习题答案,24,定理3,4.2.3定积分法,1、换元积分法,25,证,26,27,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,28,例9计算定积分,解,令,例10计算定积分,29,解,30,例11计算定积分,解,原式,31,例12计算定积分,解,令,原式,32,证,33,34,奇函数,例13计算定积分,解,原式,偶函数,单位圆的面积,35,证,（1）设,36,（2）设,37,38,解,39,几个特殊积分、定积分的几个等式.,定积分的换元法:,4.2.5小结与思考题3,40,思考题,解,令,41,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,42,课堂练习题,43,44,课堂练习题答案,45,推导,2、分部积分法,46,例15计算定积分,解,令,则,47,例16计算定积分,解,48,例17计算定积分,解,49,解,50,51,证,设,52,积分关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,53,于是,54,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,4.2.5小结与思考题3,55,思考题,56,思考题解答,57,课堂练习题,58,课堂练习题答案,59,*4.2.4定积分的近似计算法,1、定积分近似计算的理由：,(1)被积函数的原函数不能用初等函数表示；,(2)被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；,(3)被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难,60,2、解决办法：,4、常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法,3、研究思路：,建立定积分的近似计算方法,61,一、矩形法(平均值法),则有,62,则有,（1）、（2）称为矩形法（平均值法）公式,63,二、梯形法,梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图,64,解,相应的函数值为,列表:,65,利用矩形法公式（），得,利用矩形法公式（），得,66,利用梯形法公式（），得,实际上是前面两值的平均值，,67,三、抛物线法,68,因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,69,70,于是所求面积为,71,72,例20,对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积.,73,74,解,根据抛物线公式(4)，得,75,求定积分近似值的方法：,矩形法、梯形法、抛物线法,注意：对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好,4.2.5小结与思考题4,76,课堂练习题,77,课堂练习题答案,78