热力学和统计物理的答案解析第二章

第二章均匀物质的热力学性质2.1众所周知，当体积保持不变时，气体的压力与其热力学温度成正比。证明了当温度保持不变时，气体的熵随体积增加而增加。解答：根据题目，气体的压力可以表示为(1)体积的函数在哪里？通过自由能的全差邓普西关系(2)将式(1)代入，有(3)因此，有。这意味着当温度保持不变时，气体的熵随体积增加。2.2将物质的状态方程设置为以下形式：试着证明它的内能与体积无关。解答：根据问题，物质的状态方程有以下形式：(1)确实有(2)然而，根据公式(2.2.7)，有(3)因此(4)也就是说，如果一种物质具有形式(1)的状态方程，那么该物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.2.3验证：解答：焓的全差是(1)命令(2)内能的全部差别是(3)命令(4)2.4已知，已确认解决方案：对于复合函数(1)找到偏导数，有(2)如果有(3)方程(2)也可以由雅可比行列式证明：(2)2.5试图证明均匀物体准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压温度随体积的增减。解答：热力学用偏导数来描述等压过程中熵随体积的变化率，用偏导数来描述等压过程中温度随体积的变化率。为了找出两个偏导数之间的关系，对于复合函数(1)找到偏导数，有(2)因为，所以积极和消极取决于积极和消极。方程(2)也可以由雅可比行列式证明：(2)2.6试图证明在相同的压降下，准静态绝热膨胀过程中气体的温降大于节流过程中的温降。解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温降分别用偏导数和导数来描述。熵函数的全微分是在可逆绝热过程中，有(1)最后一步使用麦克斯韦关系式(2.2.4)和(2.2.8)。焓的全差是在节流过程中，有(2)最后一步使用等式(2.2.10)和(1.6.6)。从公式(2)中减去公式(1)得到(3)因此，在相同的压降下，气体绝热膨胀过程的温降大于节流过程。这两种工艺都用于冷却和液化气体。由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机具有运动部件，运动部件的低温润滑技术是一个非常困难的问题。事实上，节流过程更常用。然而，当节流过程用于降低温度时，气体的初始温度必须低于转化温度。Kapitza (1934)将绝热膨胀和节流过程结合起来，首先使用绝热膨胀过程将氦气温度降低到转化温度以下，然后使用节流过程液化氦气。2.7实验发现，气体的压力和体积V与内能U的乘积只是温度的函数，即根据热力学理论，讨论了这种气体状态方程的可能形式。解决方案：根据主题，气体具有以下特征：(1)(2)根据公式(2.2.7)和公式(2)，有(3)并且可以通过式(1)获得(4)将等式(4)代入等式(3)，有或者(5)积分或者(6)其中c是常数。因此，如果气体具有方程(1)和(2)中表示的特性，根据热力学理论，其状态方程必须具有方程(6)的形式。需要进一步的实验结果来确定常数c。2.8证明并由此衍生根据上述两个公式，理想气体的定容热容和定压热容只是温度t的函数。解决方案：给出公式(2.2.5)(1)以t和v为状态参数，上述公式对v的偏导数如下(2)第二步，交换偏导数的导数阶，第三步，应用麦克斯韦关系式(2.2.3)众所周知，当v是常数时，它是t的线性函数，即因此这意味着理想气体的恒定体积热容量只是温度t的函数。在恒定温度下积分方程(2)得到(3)方程(3)表明，只要测量系统的定容热容，任何体积的定容热容都可以根据状态方程计算。类似地，给出等式(2.2.8)(4)考虑状态参数，然后找到上面公式的偏导数。有(5)第二步，改变求偏导数的顺序，第三步，应用麦克斯韦关系式(2.2.4)众所周知，当它是常数时，它是一个线性函数，即因此这意味着理想气体的恒压热容只是温度t的函数。在恒定温度下积分方程(5)得到方程(6)表明，只要测量系统在压力下的恒压热容，就可以根据状态方程计算任何压力下的恒压热容。2.9证明了梵高气体的定容热容只是温度T的函数，与比容无关。解决方案：根据练习2.8 (2)(1)范方程(方程(1.3.12)可表示为(2)因为当v不变时，范氏方程的p是t的线性函数，所以范氏气体的恒定体积热容量只是t的函数，与比容无关。不仅如此，根据问题2.8 (3)(3)我们知道，范氏气体往往是一种理想气体。让上面的公式，其中是理想气体的热容量。因此，fann气体和理想气体的定容热容量是相同的。顺便说一下，当压力恒定时，范德瓦尔斯方程的体积与温度没有线性关系。根据2.8的等式(5)(2)这意味着风扇气体的恒压热容量是一个函数。2.10证明理想气体的摩尔自由能可以表示如下解答：方程(2.4.13)和(2.4.14)给出了理想气体的摩尔吉布斯函数作为其自然变量的函数的积分表达式。本主题要求理想气体的摩尔自由能作为其自然变量的函数的积分表达式。根据自由能的定义(方程式(1.18.3)，摩尔自由能为(1)其中总和是摩尔内能和摩尔熵。根据方程(1.7.4)和(1.15.2)，理想气体的摩尔内能和摩尔熵为(2)(3)因此(4)使用部分积分公式制造等式(4)右边的前两项可以合并，等式(4)可以重写为(5)2.11找到风扇气体的特征函数，并导出其他热力学函数。解决方法：考虑1毫升梵高的气体。根据自由能全微分表达式(2.1.3)，摩尔自由能全微分为(1)因此.(2)积分(3)由于方程(2)的左边是偏导数，它的积分可以包含温度的任何函数。当fann气体趋于理想气体时，我们用极限条件来确定函数。根据练习2.11的等式(4 ),理想气体的摩尔自由能是(4)通过比较等式(3)和等式(4)的时限，我们知道(5)范氏气体的摩尔自由能是(6)等式(6)是特征函数范氏气体的摩尔熵是(7)摩尔内能是(8)2.12弹簧在恒定温度下的回复力与其伸长成比例，即比例系数是温度的函数。忽略弹簧的热膨胀，试图证明弹簧的自由能、熵和内能的表达式分别为解决方法：在准静态过程中，施加在弹簧上的外力等于弹簧的回复力，方向相反。当弹簧长度改变时，外力做功为(1)根据方程(1.14.7)，弹簧的基本热力学方程为(2)弹簧的自由能定义为它的全差分是当胡克定律被取代时，有(3)因此在固定温度下，对上述公式进行积分，得到(4)当温度为，伸长为零时，弹簧的自由能是多少？弹簧的熵是(5)弹簧的内能是(6)在力学中，弹簧的势能通常记录为它不被认为是温度的函数。根据热力学，它是外界在等温过程中所做的功，是自由能。2.13 X射线衍射实验发现，橡胶带在未张紧时具有无定形结构。当在张力下拉伸时，它具有晶体结构。这一事实表明橡皮筋有大分子链。(1)尝试讨论橡胶带在等温拉伸过程中，其熵是增加还是减少；(b)试图证明其膨胀系数是负的。解决方案：(a)熵是系统无序程度的量度。橡胶带在等温拉伸过程后由非晶态结构转变为晶态结构，这表明该过程后无序度降低，即熵降低，因此存在(1)橡胶带自由能的总差可以得到麦的关系(2)通过组合公式(1)和(2)，我们知道(3)从橡皮筋的状态方程，我们知道偏导数之间有一种链式关系。也就是说，(4)胶带恒温拉伸的解释(5)综合公式(3)-(5)因此，橡胶带的膨胀系数是负的，即(6)2.14假设太阳是黑色的，根据以下数据计算太阳表面的温度：每单位时间投射到地球大气层外单位面积上的太阳辐射能量是(这个值称为太阳常数)，太阳的半径是，太阳和地球之间的平均距离是。解答：代表太阳的半径。太阳表面球体中心顶点的立体角所拉伸的面积是。假设太阳是一个黑体，根据斯特凡-玻尔兹曼定律(公式(2.6.8)，单位时间内以立体角辐射的太阳辐射能量为(1)在单位时间内，太阳辐射能量在以太阳为中心、太阳与地球之间的平均距离为半径的球面上以立体角辐射使两个公式相等，得到(3)替换和的值以获取2.15当热辐射的体积从等温变为等温时，计算热辐射吸收的热量。解决方案：根据等式(1.14.3)，系统在可逆等温过程中吸收的热量为(1)等式(2.6.4)给出了热辐射的熵函数表达式(2)因此，在可逆等温过程中，当它随时间变化时，热辐射量所吸收的热量是(3)2.16尝试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，并计算其效率。解决方案：根据等式(2.6.1)和(2.6.3)，平衡辐射压力可表示为(1)因此，平衡辐射的等温过程也是一个等压过程。方程(2.6.5)给出了可逆绝热过程(等熵过程)中温度T和平衡辐射体积V之间的关系(2)将方程(1)与方程(2)相结合，去掉温度t，可以得到可逆绝热过程中压力与平衡辐射体积之间的关系(常数)。(3)下图是平衡辐射可逆卡诺循环的曲线图，其中等温线方程和绝热线方程分别是方程(1)和方程(3)。下图是相应的图表。在计算效率时应用图表更方便。在从等温状态(温度为)膨胀到稳态的过程中，平衡辐射吸收的热量为(4)在从等温状态(温度为)到压缩状态的压缩过程中，平衡辐射释放的热量为(5)循环过程的效率是(6)2.17如图所示，电介质的介电常数与温度有关。试着找出电路闭合时电介质的热容量和充电后电路断开时的热容量之间的差异。解答：根据方程(1.4.5)，当介质的电位移发生变化时，外界所做的功为(1)其中e是电场强度和介质体积。这个题目不考