正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文内蒙古财经大学本科毕业论文 正定矩阵的性质及应用正定矩阵的性质及应用 作 者 郝芸芸 系 别 统计与数学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 10级 学 号 102093113 指导教师 高菲菲 导师职称 讲师 答辩日期 成 绩 内 容 提 要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研 究线性代数的一个有力工具而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念正定矩阵 是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用且正定矩阵具有一般矩 阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域本文在第一部分介绍 了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件在第二部分列举了正定矩阵的一系列 性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性本文在第三部分介绍了正定矩阵的 相关定理本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征 值法、与单位矩阵合同法且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定最后 本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用 关键词：二次型 正定矩阵 判定方法 应用应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words: Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application 目 录 引言 .1 一、正定矩阵的定义 .1 二、正定矩阵的性质 .2 三、正定矩阵的有关定理 .6 四、正定矩阵的判定方法 .9 （一）定义法 .9 （二）主子式法 .10 （三）特征值法 .11 （四）与单位矩阵合同法 .12E 五、正定矩阵的应用 .13 （一）正定矩阵在不等式中的应用 .13 （二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 .14 总结 .16 参考文献 .16 后记 .17 正定矩阵的性质及应用 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值 ，应用很广泛的数学理论矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主 要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控 制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用二次型理论起源于解析几何中化二次曲 线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位， 在实数域上文字的正定二次型与阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用 1, , n XXn 二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义其次本文证明了 正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运 用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题 一、正定矩阵的定义 定义定义1 13 设均为实常数，则关于个实变量的二次齐次多项式,1,2, ; ij ai jn ijn 12 , n x xx 函数 ， 222 1211 1222 , nnnn fx xxa xa xa x 121213 131,1 222 nnnn a x xa x xaxx 1 称为元实二次型n 定义定义2 23 只含有平方项的二次型称为标准形，即 222 121122 , nnn fy yyd yd yd y 2 定义定义3 33 若二次型的标准形中的系数仅为，则此标准形称为二次型的规范1,2, i d in1, 1,0 形 定义定义4 4 1 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数， 12 , n fx xx 12 , n c cc 都有； 12 ,0 n f c cc 如果都有，那么称为负定的；如果都有 12 ,0 n f c cc 12 , n fx xx ，那么称为半正定的；如果都有， 12 ,0 n f c cc 12 , n fx xx 12 ,0 n f c cc 那么称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么 12 , n fx xx 就称为不定的 12 , n fx xx 定义定义5 5 1 若实数域上的元二次型是正定二次型n 12 11 (,)() nn nijijijji ij f x xxaXaa T X AX （负定二次型），则称为正定矩阵（负定矩阵）；若二次型是半正定二次型（半负A 定二次型），则称为半正定矩阵（半负定矩阵）其中A ， 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa 1 2 n x x X x 定义定义6 61 子式 11121 21222 12 1,2, i i i iiii aaa aaa Pin aaa 3 称为矩阵的 阶顺序主子式 ij nn Aai 下面是正定矩阵的一些等价条件 定理定理1 18 设是阶实对称矩阵，则下列命题等价：An (1)是正定矩阵A (2)的正惯性指数等于An (3)的特征值全大于零A (4)合同于阶单位矩阵An n E (5)合同于主对角元大于零的对角矩阵A (6)存在可逆矩阵，使得，其中表示的转置P T AP P T PP 注：注：二次型的正定（负定），半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性 不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的二次型的有定性与其矩阵的有定性之 间具有一一对应关系因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的 正定性的判定 二、正定矩阵的性质 性质性质1 11 正定矩阵的行列式大于零 证明证明 设是正定矩阵因为与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使AAC ACECCC 两边取行列式，有 2 0AC CC 推论推论1 11 若是正定矩阵，则的顺序主子式全大于零AA 证明证明 设二次型是正定的对于每个，令 12 11 , nn nijij ij fx xxa x x ,1kkn 下面证明是一个元的正定二次型对于任意一组不 12 11 , kk knijij ij fx xxa x x k fk 全为零的实数，有 1, , k cc 11 11 ,0,00 kk kkijijk ij fcca ccf cc 因此是正定的由性质可知，的矩阵的行列式 1, , kk fxx k f 111 1 0,1, k kkk aa kn aa 这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零A 性质性质2 2 6 若是正定矩阵，则的主对角元全大于零AA 证明证明 设，对于任意的，恒有，其中，() ij Aa0X 11 nn T ijij ij X AXa x x ijji aa 令，将其代入，得,1,2,i jn(0,0,1,00) i T X 11 () nn T ijijijji ij X AXa x x aa ，所以，从而结论得证 T ii X AXa0 ii a 1,2,in 性质性质3 36 正定矩阵中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到() ij Aa 证明证明 设是正定矩阵，则它的一切主子式都大于零如果是的中绝对值最() ij Aa() ij a ijA 大的一个元素，那么，取的二阶主子式 ，由此可得A0 iiij iijjijji jijj aa a aa a aa ，因此，的绝对值不可能都小于，所以，或 2 iijjijjiij a aa aa, iijj a a ij a ijii aa ，故中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到 ijjj aaA 性质性质4 48 若是正定矩阵，则，是正定矩阵，其中AkAAkE0k 证明证明 由是正定矩阵，可知的特征值，则的特征值AA 12 0,0,0 n kA ，因此是正定矩阵0(1,2,) i kinkA 同理可得的特征值，因此也是正定AkE 12 0,0,0 n kkkAkE 矩阵 性质性质5 57 若是正定矩阵，则，是正定矩阵，其中表示的逆矩阵，A 1 A * A 1 AA 表示的伴随矩阵 * AA 证明证明 首先证是正定矩阵 1 A 因为是正定矩阵，所以可逆且，则有AA T AA ， 1 11 T T AAA 即为实对称矩阵 1 A 设的特征值为，因为是正定矩阵正定，所以A 12 , n A0(1,2,) i in 故的特征值，因此也是正定矩阵 1 A 111 12 0,0,0 n 1 A 再证是正定矩阵 * A 由，可得，即是实 *1 AA A 1 111 TT T A AA AA AA A * T AA * A 对称矩阵因为的特征值，所以是正定矩阵 * A 12 0,0,0 n AAA * A 性质性质6 6 1若是正定矩阵，则对于任意整数，都是正定矩阵Ak k A 证明证明 当时，显然是正定矩阵0k k AE 当时，由于，而，有性质可知，也是正定矩阵，故0k kk 1 k k AA 1 A 下面只需假定为正整数即可k 当为偶数时，由于，且，由正定矩阵的等价条件(6)可知k T AA 22 T kk k AAA k A 是正定矩阵 当为奇数时，由于是正定矩阵，故存在实可逆矩阵，使kAC T AC C 由此可得：，从而仍由正定矩阵的 111111 222222 T kkkkkk kT AAAAAC CACACA 等价条件(6)可知，是正定矩阵 k A 性质性质7 74 设为阶正定矩阵，则，其中为 的主对角元素.An 1122nn Aa aa ii a1,2,inA 证明证明 设，其中为 的阶顺序主子式， 1 T nn A A a = 1 AA1n 121, , T nnnn aaa 那么 ， 1 111 11 11 11 00 0101 n n TTT nnnn AAEEA aaAA = 两边取行列式得 ： ， 1 11 T nn AAaA 因为是正定矩阵，所以，都是正定矩阵，那么 A 1 A 1 1 A 由上式可知 1 1 00 T AA ， 1nn AAa 同理，其中为的级顺序主子式阵，这样继续下去可得 121,1nn AAa 2 AA2n . 12-1, -11122nnnnnnnn AAaAaaa aa 性质性质8 85 任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正线性组合也是 正定矩阵 证明证明 设,都是正定矩阵，又设由,是正定矩阵，可得AB,0a b AB 则有, TT AABB ， T TT aAbBaAbBaAbB 所以是实对称矩阵因为对任意有aAbB0() n XXR ，() TTT XaAbB XaX AXbX BX 由性质4可知是正定矩阵，则有，所以,aA bB0 T aX AX 0 T bX BX 因此是正定矩阵()0 T XaAbB XaAbB 多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明： （1）当时已证明命题成立；2n （2）假设时命题成立，现证明时命题也成立1nk1nk 设是同阶正定矩阵，对任意有 12,1 , kk A AA A 121 ,0 kk a aa a 0() n XXR ， 11111111 ()0 TTTT kkkkkkkk Xa Aa AaAXa X A Xa X A XaX AX 其中每一项均为正所以当时，结论成立1nk 综合（1）（2）可知，对于一切的自然数，多个正定矩阵的正线性组合必为正n 定矩阵 性质性质9 98 如果是正定矩阵，是任意实数，则存在正定矩阵，使得AmB m AB 证明 由于是正定矩阵，所以存在正交矩阵，使，其中AQ 1 0 0 T n Q AQ ，所以 1, ,0 n 1 0 0 T n AQQ 令，则，结论得证 1 0 0 m T m n BQQ m AB 三、正定矩阵的有关定理 定理定理2 25 若，都是正定矩阵，则是正定矩阵AB 0 0 A B 由定理2的推广，可以得到如下推论： 推论推论2 2 若，都是正定矩阵，则ABCD 是正定矩阵 12 34 0 (0,1,2,3,4) 0 i l Al B li l Cl D 推论推论3 3 若都是正定矩阵，则是正定矩阵 12 , s A AA 1 2 s A A A 定理定理3 35 正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵 证明证明 设为阶正定矩阵，为阶实对称矩阵且与合同BnAnB 由正定矩阵的等价条件可知，与单位矩阵合同又因为与合同，那么B n EABA 也与单位矩阵合同，即为正定矩阵 n EA 定理定理4 45 若,是实对称矩阵，的特征值全大于，的特征值全大于若ABAaBb ，则是正定矩阵0abAB 证明证明 性质5已证得是实对称矩阵，且由已知条件可知，都是正定矩阵，ABAaEBbE 由性质5可得是正定矩阵()()AaEBbE 设是的任一特征值，则AB ，()()()()EABabEAaEBbE 这表明是的特征值由于是正定矩阵()ab()()AaEBbE()()AaEBbE ，故，所以，即的特征值全大于 ，从而为正()0ab()0abAB0AB 定矩阵 推论推论4 4 设都是实对称矩阵，的特征值均大于若 12 , s A AA i A(1,2, ) i a is ，则是正定矩阵 1 0 s i i a 12s AAA 定理定理5 59 若,是正定矩阵，则是正定矩阵的充要条件是ABABABBA 证明证明 必要性：设是正定矩阵，则是实对称矩阵，从而ABAB T TT ABABB ABA 充分性：由知，故是实对称矩阵ABBA T TT ABB ABAABAB 由于正定，存在可逆矩阵使得，从而BP T BP P ， 11( ) TTT ABAP PP PAP PPPAPP 即与相似，因而与有相同的特征值因为正定，故也正定AB T PAPAB T PAPA T PAP ，的特征值全大于零，故的特征值全大于零，所以是正定矩阵 T PAPABAB 定理定理6 67 若是实对称矩阵，且可逆，则是正定矩阵AA 2 A 证明证明 由已知可知，则是实对称矩阵.又因为 T AA 2 22 T T AAA 2 A ，故与合同，从而是正定矩阵正定. 121 T AA AE 2 AE 2 A 对定理6推广，可以得到如下推论： 推论推论5 5 若是实对称矩阵，且可逆，则是正定矩阵.AA 2 () k AkZ 注：当满足推论的条件时，不一定是正定矩阵例如A 21( ) k AkZ ，则是实对称矩阵，且可逆显然不 1 2 3 A AA 21 21 21 1 2 3 k k k A 是正定矩阵 定理定理7 76 设都是阶正定矩阵，则也是正定矩阵，其中 , ijij AaBbn ij Cc ijijij ca b 证明证明 是实对称矩阵，显然也是实对称矩阵任取，则由矩阵,A BC 1 (,)0 T n Xxx,A B 是正定矩阵，可知： ， 1111 0,0 nnnn TT jkjkjkjk jkjk X AXa x xX BXb x x 且存在阶可逆矩阵，使得，即n ij Qq T BQ Q ， 1 ( ,1, ) n jkljlk l bq qj kn 所以 ， 11111111 nnnnnnnn jkjkjkjkljlkjkjkjljklk jkjklljk a b x xaq qx xax qx q 对任意，因为可逆，所以总存在一个 ，使得 1 (,)0 T n XxxQl ， 1 1 (,)0 n T lnl x qx q (不妨设，则由可逆知的第一列中总有一个元素不为零，设为，于是 1 0 x QQ 1 l q )又由是正定矩阵有：对以上的 成立所以 1 1 0 l x q A 11 0 nn jkjljklk jk ax qx q l ，即为正定矩阵 11 0 nn jkjkjk jk a b x x ijij Ca b 定理定理8 86 设是正定矩阵，为实矩阵，其中为的转置矩阵，则ABmn T BB 为正定矩阵的充要条件是的秩 T B ABB r Bn 证明证明 必要性 设为正定矩阵，则对任意的维非零列向量，有 T B ABnX ，于是，因此元齐次线性方程组只有X 0 T TT XB ABBXA BX=0BX n0BX 零解，故系数矩阵的秩B r Bn 充分性 因为，故为实对称矩阵. T TTTT B ABB A BB AB= T B AB 若，则齐次线性方程组只有零解，从而对任意实维非零列向量 r Bn0BX n ，有又因为正定，所以对于有，于是当X0BX A0BX 0 T BXA BX0X 时，有，故为正定矩阵. 0 T TT XB AB XBXA BX= T B AB 四、正定矩阵的判定方法 (一)定义法 阶实对称矩阵称为正定矩阵，如果对于任意维实非零向量，都有nAnX 则实对称矩阵简称为正定矩阵，记作：0 T X AX A0A 用定义证明矩阵是正定矩阵需证明两点：A (1)为实对称矩阵A (2)对任意的非零向量，X0 T X AX 运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相 关矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则 可以确定该矩阵属于正定矩阵 例例1 1 设是实矩阵，且是列满秩，即，证明是正定矩阵AnmA r Am T A A 证明证明 首先，因为，所以，是实对称矩阵 TT TTTT A AAAA A T A A 其次，由可知，齐次线性方程组只有零解因此，对任意维列 r Am0AX m 向量，必有，不妨设，则是一组不全为零0X 0AX 12 , T n AXa aa 12 , n a aa 的实数从而，对任意维列向量，二次型m0X ， 2 1 0 n T TT i i XA A XAXAXa 即二次型正定，所以矩阵是正定矩阵 TT XA A X T A A 例例2 设是矩阵，证明当时，是正定矩阵Amn T BEA A0B 证明证明 因为，故是阶实对称矩阵，对于任意的维实向 T TTT BEA AEA ABBnn 量，有0 x 22T TTTTT x Bxx xx A Axx xAxAxxAx 由于，则恒有，而，因此，由定义可0 x 0 2 0 x 2 0Ax00 T x Bxx 得是正定矩阵B (二)主子式法 若矩阵的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵为正定矩阵AA 运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得然后 根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵 ，但是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵 例例3 3 设二次型，判定该二次型的矩阵是 222 1231231213 ,65744fx x xxxxx xx x 否属于正定矩阵. 解解 二次型的矩阵为 ， 622 250 207 A 其各阶顺序主子式分别为全大于零，所以矩阵 123 62 6,26,162 25 DDDA 是正定矩阵A 例例4 4 取何值时，二次型的矩阵是正定矩阵t 222 112132233 222410fxx xx xxtx xx 解解 二次型对应的矩阵为f ， 111 122 1210 At t 要使矩阵正定，必须使的各阶顺序主子式全大于零，即满足AA 12 11 10,10, 12 DD ， 222 3 111 0121944104484(2)0 0219 DAttttttt t 得到，所以，当时，二次型的矩阵是正定矩阵21t ( 2,1)t f (三)特征值法 若矩阵的特征值全为正数，则矩阵为正定矩阵AA 运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，若所有特征值都为正数 则可以判定该矩阵属于正定矩阵如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算 出特征值的具体值直接判定此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或 根据已知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵 例例5 5 已知是阶实对称正定矩阵，证明是正定矩阵,A AEn 1 EA 证明证明 由可知，是对称矩阵设 1 11 T TT EAEAEA 1 EA 是的特征值，则的特征值，即， 12 , n AAE 12 10,1 ,10 n 1 i 那么，从而 1 1 i 1 10 i 综上可得：的特征值全为正数，即是正定矩阵 1 EA 1 EA 例例6 6 判定元二次型的矩阵是否属于正定矩阵n 1 2 1 11 nn iii ii fxx x 解解 二次型的矩阵为f 11 1 22 11 1 22 11 1 22 n n A 则，记 2111 1211 11 1,1,1 22 1121 AE 1 1 1,1,1 1 B 由可得，的特征值是与 （重）于是的特征值是( 2 BnBBn01n A 11 1 , 22 n 1n 重) 的特征值全为正数，故属于正定矩阵AA 例例7 7 设是阶实对称矩阵，且满足，证明是正定矩阵An 432 34640AAAAEA 证明证明 设是矩阵的特征值，是矩阵的属于特征值的特征向量，则有AA ， 432432 346434640AAAAE 因为，所以，即0 432 34640 ， 2 2120 由于是实对称矩阵，故由上式可知矩阵的特征值为或，即矩阵的特征AAA 值全为正数，从而可得是正定矩阵A (四)与单位矩阵合同法E 正定二次型的规范形为，而规范形的矩阵为单位矩 12 , n fx xx 222 12n yyy 阵，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵合同EE 此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对应的二次型是否大于零， 也不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单位矩阵合同即可此 法适用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵 例例8 8 已知是阶可逆矩阵，证明是正定矩阵An T A A 证明证明 由于，则是对称矩阵 T TT A AA A T A A 因为，且是可逆矩阵，所以与是合同矩阵，从而是正定 TT A AA EAA T A AE T A A 矩阵 例例9 9 用此法证明分块矩阵是正定矩阵，其中分别为阶正定矩阵 0 0 A Q B ,A B,m n 证明证明 由于矩阵为正定矩阵，故存在可逆矩阵和，使得,A B m m C n n D ，, TT mn C ACED BDE 令，则，且为阶可逆矩阵 0 0 C P D 0 0 T T T C P D Pmn ， 00000 00000 TT mT TT n EACCC AC P QP EBDDD BD 所以，矩阵与单位矩阵合同，故分块矩阵是正定矩阵QE 0 0 A Q B 五、正定矩阵的应用 (一)正定矩阵在不等式中的应用 实对称矩阵是正定矩阵是由于其对应的实二次型（其中A T XAX 12 , n Xx xx ）正定，而二次型正定是指对于任意恒有因此可以利用此性质来证明 0 X 00 0 T X AX 不等式是否成立 例例1010 证明不等式（其中是不全为零的实数）成立 222 1231213 4222xxxx xx x 123 ,x x x 证明证明 令，其系数矩阵为 222 1231231213 ,4222fx x xxxxx xx x ， 1-11 -140 102 A 的各阶顺序主子式为，则为正定矩阵因此A 1122 1-1 =10,=30,20 -14 AAAA 对于任意一组不全为零的都有，故原不等式成立 123 ,x x x 123 ,0fx x x 例例1111 证明不等式成立 22 11 nn ii ii nXX （） 证明证明 令，则二次型为 22 11 nn T ii ii fnXXX AX （） ， 1 2 12 111 111 , 111 nX nX fXXXn Xn 则 111 111 111 n n A 的各阶顺序主子式，所以是半A 2 1122 11 10,20,0 11 n AnAnnA n A 正定的，那么二次型是半正定的，即故原不等式成立0f (二)正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以 解决. 定义定义7 72 设元实函数在的某个邻域内存在一阶、n 12 ()(,) n f Xf x xx 12 (,)T n n Xx xxR 二阶连续偏导数记,称为函数在点 12 ()()() (), n f Xf Xf X f X xxx ()f X()f X 处的梯度 12 ( ,)T n Xx xx 定义定义8 82 ，此矩阵称为函数 222 2 1121 2 222 2 12 ()()() () () ()()() n ij n n nnn f Xf Xf X xx xx x f X H X x x f Xf Xf X xxxxx 在点处的(Hessian)黑塞矩阵则是由的个 12 ()( ,) n f Xf x xx n XR()H X()f X 2 n 二阶偏导数构成的阶实对称矩阵n 定理定理9 92 (极值必要条件)设函数在点处可微，且为该函数的极值点()f X 000 012 (,)T n Xxxx 0 X ，则 1)必为的稳定点，即. 0 X()f X 0 ()0f X 2) 若在的某领域存在连续二阶偏导数，则当为极小值时，()f X 0 X 0 U X 0 fX 在的黑塞矩阵为正定或正半定；则当为极大值时，在的黑塞()f X 0 X 0 fX()f X 0 X 矩阵为负定或负半定 定理定理10102 (极值充分条件)设函数在点的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数时()f X 0 n XR ，且则： 000 0 12 ()()() (),0 n f Xf Xf X f X xxx (1)当是正定矩阵时，在处取得极小值； 0 ()H X()f X 0 X (2)当是负定矩阵时，在处取得极大值； 0 ()H X()f X 0 X (3)当是不定矩阵时，在处不取极值 0 ()H X()f X 0 X 例例1212 求多元函数的极值. 222 ( , , )22244f x y zxyzxyz 解解 先求驻点，由 ， 解得 220 440 44