基于Matlab和脉冲响应不变法的滤波器设计

目 录摘 要IAbstractII1 滤波器及Matlab软件简介21.1滤波器简介21.1.1模拟滤波器21.1.2数字滤波器21.2滤波器原理31.3 数字滤波器设计方法概述31.4 Matlab软件简介42 IIR滤波器设计及其MATLAB实现62.1模拟滤波器设计及其MATLAB实现62.1.1巴特沃斯低通滤波器介绍72.1.2巴特沃斯低通滤波器的matlab实现72.1.3调试结果分析92.2 模拟-数字滤波器变换及其MATLAB实现92.2.1脉冲响应不变法102.2.2数字低通滤波器的matlab实现102.2.3调试结果分析132.3 频带变换及其MATLAB实现142.3.1 模拟低通滤波器转换成数字高通滤波器142.3.2 模拟低通滤波器转换成数字带通滤波器163小结与体会194 参考文献201 滤波器及Matlab软件简介1.1滤波器简介1.1.1模拟滤波器由模拟电路实现的滤波方法，在采样前先用模拟滤波器进行滤波，可以改善信号质量，减少后续数据处理的工作量和困难。模拟滤波器可以分为无源和有源滤波器。无源滤波器：这种电路主要有无源元件R、L和C组成。有源滤波器：集成运放和R、C组成，具有不用电感、体积小、重量轻等优点。集成运放的开环电压增益和输入阻抗均很高，输出电阻小，构成有源滤波电路后还具有一定的电压放大和缓冲作用。但集成运放带宽有限，所以目前的有源滤波电路的工作频率难以做得很高。有源滤波自身就是谐波源。其依靠电力电子装置，在检测到系统谐波的同时产生一组和系统幅值相等，相位相反的谐波向量，这样可以抵消掉系统谐波，使其成为正弦波形。有源滤波除了滤除谐波外，同时还可以动态补偿无功功率。其优点是反映动作迅速，滤除谐波可达到95以上，补偿无功细致。缺点为价格高，容量小。由于目前国际上大容量硅阀技术还不成熟，所以当前常见的有源滤波容量不超过600kvar。其运行可靠性也不及无源。1.1.2数字滤波器数字滤波是数字信号处理的重要基础，数字信号处理主要是研究用数字或符号的序列来表示信号波形，并用数字的方式去处理这些序列，把它们改变成在某种意义上更希望的形式，以便估计信号的特征参量，或削弱信号中的多余分量和增强信号中的有用分量。数字滤波器在对信号的过滤、检测与参数估计等处理过程中，是使用最为广泛的一种线性系统。数字滤波器（Digital Filter，简称为DF）是指完成信号滤波处理功能的、用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统。数字滤波器的数学运算通常有两种实现方式。一种是频域法，即利用FFT快速运算办法对输入信号进行离散傅立叶变换，分析其频谱，然后根据希望的频率特性进行滤波，再利用傅立叶反变换恢复出时域信号。这种方法具有较好的频域选择特性和灵活性，并且由于信号频率与所希望的频谱特性是简单的相乘关系，所以它比计算等价的时域卷积要快得多。另一种方法是时域法，这种方法是通过对离散抽样数据作差分数学运算来达到滤波目的的。数字滤波器的输入是一组（由模拟信号取样和量化的）数字量，其输出是经过数字变换的另一组数字量。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等突出优点。随着数字技术的发展，用数字技术实现滤波器的功能愈来愈受到人们的重视，并得到了广泛的应用。数字信号处理学科的一项重大进展是关于数字滤波器设计方法的研究。60年代中期，开始形成关于数字滤波器的一套完整的正规理论。这一时期，提出了各种各样的数字滤波器结构，有的以运算误差最小为特点，有的则以运算速度高见长；出现了数字滤波器的各种逼近方法和实现方法，对递归和非递归两类滤波器作了全面的比较；统一了数字滤波器的基本概念和理论，对有限冲激响应（IIR）和无限冲激响应（FIR）的认识有了完整理论。70年代后，科学技术蓬勃发展，数字信号处理开始与大规模和超大规模集成电路技术、微处理技术等新工艺新技术结合起来，并引进计算机辅助设计方法，大大丰富了数字滤波器的分析与设计，各种新的数字信号处理系统，也都能用专用数字硬件实时加以实现。相信在未来，随着电子仪器与电子技术应用系统朝着数字化、小型化、自动化以及多功能化等方向发展，包括数字滤波器在内的数字信号处理技术会有以惊人的速度进行飞跃式发展。1.2滤波器原理滤波器，顾名思义，其作用是对输入信号起到滤波的作用。对于图1-2-1所示的LSI系统，其时域输入输出关系为： (1-1)h (n) x(n) y(n) 图1-1 图1-2-1 LSI系统若y(n),x(n)的傅立叶变换存在，则输入输出的频域关系是： (1-2)当输入信号x(n) 通过滤波器系统h(n) 后，其输出 y(n) 中不再含有|c的频率成分，仅使|=w8中的最小衰减系数T=1; %采样周期%性能指标Rip=10(-Rp/20);Atn=10(-As/20);OmgP=wp*T;OmgS=ws*T;N,OmgC=buttord(OmgP,OmgS,Rp,As,s); %选取模拟滤波器的阶数cs,ds=butter(N,OmgC,s); %设计出所需的模拟低通滤波器b,a=impinvar(cs,ds,T); %应用脉冲响应不变法进行转换 db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a); %求得相对，绝对频响及相位、群延迟响应%绘制各条曲线subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);title(幅频特性);xlabel(w(/pi);ylabel(|H(jw)|);axis(0,1,0,1.1);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0 0.2 0.3 0.5 1);%设置坐标轴set(gca,YTickMode,manual,YTick,0 Atn Rip 1);gridsubplot(2,2,2);plot(w/pi,db);title(幅频特性(dB);xlabel(w(/pi);ylabel(dB);axis(0,1,-40,5);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca,YTickMode,manual,YTick,-40 -As -Rp 0);gridsubplot(2,2,3);plot(w/pi,pha/pi);title(相频特性);xlabel(w(/pi);ylabel(pha(/pi);axis(0,1,-1,1);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0 0.2 0.3 0.5 1);gridsubplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);title(群延迟);xlabel(w(/pi);ylabel(Sample);axis(0,1,0,12);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0 0.2 0.3 0.5 1);grid%本设计用到的M文件函数 下面是以上M文件需要调用的函数freqz_m：functiondb,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a)%滤波器幅值响应（绝对、相对）、相位响应及群延迟%Usage:db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a) %500点对应0,pi%db 相对幅值响应； mag 绝对幅值响应； pha 相位响应； grd 群延迟响应；%w 采样频率； b 系统函数H(z)的分子项%a 系统函数H(z)的分母项H,w=freqz(b,a,500); %500点的幅频响应mag=abs(H);db=20*log10(mag/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(b,a,w);由此得出利用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的部分运行结果和特性曲线： shuziditongN = 4wn = 0.5344b0 = 0.1159B = 1.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000A = 1.0000 2.0000 1.00001.0000 2.0000 1.0000图2-2-1脉冲响应不变法数字低通滤波器的特性曲线2.2.3调试结果分析分析所得图形及数据可知，脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即=T，如不考虑频率混叠现象，用这种方法设计数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率响应。另外一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域逼近好。但其也具有很大的缺点，若抽样频率不高或其它原因将产生混叠失真，不能重现原模拟滤波器频率响应。所以，脉冲响应不变法适合低通、带通滤波器设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。2.3 频带变换及其MATLAB实现除了低通数字滤波器之外，实际中还常常需要高通、带通、及带阻数字滤波器。设计这三种滤波器的方法有很多，例如基于模拟滤波器转换法的IIR数字滤波器设计，基于直接数字域法的IIR数字滤波器设计等等。下面将具体介绍基于滤波器转换法的IIR数字滤波器设计直接由模拟低通滤波器转换成数字高通、带通滤波器。 不同类型（高通、低通、带通和带阻）滤波器对应的Wp和Ws值遵循以下规则：1高通滤波器：Wp和Ws为一元矢量且WpWs；2低通滤波器：Wp和Ws为一元矢量且WpWs；3带通滤波器：Wp和Ws为二元矢量且WpWs，如Wp=0.1,0.8,Ws=0.2,0.7。2.3.1 模拟低通滤波器转换成数字高通滤波器若已知模拟低通滤波器的系统传递函数为G(s)，则模拟低通滤波器s平面到数字高通滤波器的Z平面的变换公式为： (2-3-1)频率变换公式为： (2-3-2)从而得到数字高通滤波器的传递函数表达式为： (2-3-3)接下来，基于MATLAB利用巴特沃斯模拟滤波器举例，设计一数字高通滤波器，要求通带截止频率为0.6,通带内衰减不大于1dB,阻带起始频率为0.4，阻带内衰减不小于15dB,采样周期为Ts=1。clear all;Wp=0.6*pi;Ws=0.4*pi;Ap=1;As=15;N,wn=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As) %计算巴特沃斯滤波器阶次和截至频率b,a=butter(N,wn,high); %频率变换法设计巴特沃斯高通滤波器b0,B,A=dir2cas(b,a) %数字高通滤波器级联型db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a)； %数字滤波器响应subplot(211);plot(w/pi,mag);title(高通数字滤波器幅频响|H(ejOmega)|)subplot(212);plot(w/pi,db);title(高通数字滤波器幅频响(db)以下是得到的运行结果的一部分以及调试得到的曲线： shuzigaotongN = 4wn = 0.5344b0 = 0.0751B = 1.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 -2.0000 1.0000A = 1.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 -2.0000 1.0000 图2-3-1高通数字滤波器特性曲线2.3.2 模拟低通滤波器转换成数字带通滤波器若已知模拟低通滤波器的系统传递函数为G(s)，则模拟低通滤波器s平面到数字带通滤波器的Z平面的变换公式为： (2-3-1)频率变换公式为： (2-3-2)其中： (2-3-3)式中为下截止频率，为上截止频率。从而可得数字带通滤波器的传递函数表达式为： (2-3-4)接下来，基于MATLAB利用巴特沃斯模拟滤波器举例，设计一数字带通滤波器，要求带通上下截止频率为0.4,0.3,带通内衰减不大于3dB，阻带上下起始频率为0.5，0.2，阻带内衰减不小于18dB。以下为其M文件：clear all;Wp=0.3*pi,0.4*pi;Ws=0.2*pi,0.5*pi;Ap=3;As=18;N,wn=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As); %计算巴特沃斯滤波器阶次和截至频率b,a=butter(N,wn,bandpass); %频率变换法设计巴特沃斯带通滤波器b0,B,A=dir2cas(b,a) %数字带通滤波器级联型db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a); %数字滤波器响应subplot(2，1，1);plot(w/pi,mag);title(带通数字滤波器幅频响|H(ejOmega)|)subplot(2，1，2);plot(w/pi,db);title(带通数字滤波器幅频响(db)其运行结果和调试得到的曲线分别为： shuzidaitongb0 = 0.0213B = 1.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000A = 1.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 图2-3-2带通数字滤波器幅频特性曲线所以由巴特沃斯模拟滤波器设计的数字带通滤波器的传递函数表达式为：3小结与体会这次课程设计主要是用MATLAB语言进行IIR滤波器的设计和实现。IIR滤波器的设计步骤分为三步，即模拟低通滤波器设计，模拟-数字滤波器变换，滤波器的频带变换。在模拟低通滤波器的设计中，主要讨论了一种设计方法即巴特沃斯低通滤波器设计；在模拟-数字