空间向量法解决立体几何问题(张钟艳)

空间向量坐标法-解决立体几何问题一建立恰当的空间直角坐标系，能求点的坐标；1、三条直线交于一点且两两垂直; 方便求出各点的坐标。2、如何求出点的坐标：先求线段的长度(特别是轴上线段)：由已知条件可全部求出来；若不能，则可先设出来。（1）轴上的点-X轴-（a,0,0）, y轴-（0,b,0）, z轴-（0,0,c）（2）三个坐标面上的点-已知或求出过点作垂直轴的线段长度， X0y-（a, b, 0）, y0z-（0 ,b , c）, x0z-（a, 0, c）（3）其它的点：已知或求出过点作垂直面的线段长度；（4）中点坐标：A(x1, y1, z1 ), B(x2, y2, z2 )-则线段AB的中点：3、动点问题的处理-待定系数法法一：直接设出来，然后根据已知条件求出来（1）轴上：，、；（2）面上：、；（3）其它：。法二：A(x1, y1, z1 )、B(x2, y2, z2 )，M是AB上的动点：设，由 ，用表示点的坐标。4、有向线段的坐标：A(x1, y1, z1 ), B(x2, y2, z2 )-则二、重要公式或结论：设，向量的数量积：， 向量的模：， 向量的夹角：两向量共线：两向量垂直：1、如图，长方体 AD=1，垂直于，为的中点.（1）建立适当的坐标系求各点的坐标 及 与的坐标。（2）M是FD上的点：若，求M点的坐标若，求M点的坐标（用表示）三、引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中, 由与确定的直线AB的方向向量是2.平面的法向量如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作,这时向量叫做平面的法向量. 2.1若法向量的模为1，则法向量叫做平面的单位法向量.2.2在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图,设、是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若且,则. 换句话说,若 = 0且 = 0,则. 2.3求平面的法向量:（一）直接法：已知线段中存在 （二）待定系数法-步骤如下：v 第一步(设):设出平面法向量的坐标为=(x,y,z). 在平面中找两条相交直线，求其方向向量，v 第二步(列):根据 = 0且= 0可列出方程组v 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.v 第四步(取):取z为任意正数(如1，当然取得越特殊越好),从而得到平面法向量的坐标(x,y,z)。例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,（1）求面OA1D1的法向量. （2）求面的法向量。 答案：案：练习：已知点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），求平面ABC的一个单位法向量。四、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;线/： 存在实数使线： (2)直线与平面的位置关系线/面： （是面的法向量）线面： （1）、（是面内的相交直线） （2）（是面的法向量）(3)平面与平面的位置关系/： （是平面、的法向量）： （是平面、的法向量）简单应用练习：设直线n，m的方向向量分别为 ， ，根据条件判断n，m的位置关系：（1）（2）（3）例2：在三棱柱ABC-中，底面是正三角形，底面ABC，求证： 练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分别为AB1、PQ的中点。求证：MN/平面ABCD。 例4：在正方体ABCD-中，E,F分别是的中点，求证：面面BDE2、求解空间中的角度；由 可得：1. 异面直线与所成的角：2. 斜线与平面所成的角：记，则 （是面的法向量，）3.的平面角：（是、的法向量）（也可能是钝角，因为二面角-L-的大小与法向量夹角相等或互补，要结合具体的题目判断）例5 如图:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,求对角线DB1与CM所成角的余弦值.例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2, 则直线BC1和平面DBB1D1所成角的余弦值为多少？ 例7在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小练习：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1， 求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值 例8：（09.陕西理）在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=1，AC=AA1= ，证明：（1）AB；（2）求二面角A-B的大小。3、求解空间中的距离：(1)点到平面的距离：1、直接求点到平面的垂线长；2、等体积法（通常放在三棱锥中，求平面的高） 3、向量法-代点到面的距离公式，如下； 设A为平面外一点, 为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH. 点到面的距离：（是面的法向量、线段是经过点的任意斜线段）（2）线到面的距离、面面距离转化为点到面的距离求解；（3） 异面直线的距离： 1、直接找公垂线求解；2、向量正投影法-代异面直线的距离公式，如下；如图,设两条异面直线AC、BD的公垂线的方向向量为, 即AC，BD， 这时分别在直线AC、BD上各取一点，如A、B两点， 则向量在上的正射影长就是两条异面直线AC、BD的距离. （因为AC，BD，所以 ，由此可得异面直线AC、BD的公垂线的方向向量）例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1B