穿根法解高次不等式

用根渗透法求解高阶不等式I .方法：因式分解，然后是根穿透法。请注意，在：的因子分解后，每个因子中的未知系数都是正的。使用方法：(1)在数轴上标记简化后的每个因子的根，使得等号保持的根被标记为实点，等号不保持的根被标记为虚点。(2)从右向左从上到下穿线。在奇数时间，重根不穿透，在奇数时间，重根穿透(称为奇数时间，偶数时间，不穿透)。(3)数值轴上方曲线对应的面积使“”有效，下方曲线对应的面积使“”有效。示例1:解决不等式(1) (x 4)(x 5)2(2-x)30(2) 1解决方案：(1)原来的不等式等价于(x 4)(x 5)2(x-2)302-4-5根据图中所示的根穿透方法不等式的解集是xx2或x-4和x5。(2)变形0221131根据图中所示的根穿透方法不等式的解集是x|x或x1或x2。(1)2x 3-x2-15x 0；(2)(x 4)(x 5)2(2-x)30。分析如果多项式f(x)可以分解成n个一阶表达式的乘积，则一元高阶不等式f (x) 0(或f (x) 0)可以用“透根法”求解，但应注意多重根的情况。解：(1)原来的不等式可以简化为x(2x 5)(x-3)0沿着轴线。然后从右上方依次画一条穿过三个根的曲线。其解集如图(5-1)中的阴影部分所示。(2)原来的不等式等价于(x 4)(x 5)2(x-2)30原不等式的解集是x | x -5或-5 x 2。注应注意用“透根法”解不等式：每个初等项的系数X必须是正的；(2)对于偶数或奇数重根，可参考(2)中的解法，将其转化为无重根的不等式，或直接使用“透根法”，但注意“奇透偶而不透”。该方法如图(5-2)所示。两个。使用数字线也被称为“通过多个轴穿透根的方法”第一步是用不等式的许多性质来改变不等式的项，使右边为0。(注意：确保x之前的系数为正数)例如，将x 3-2x 2-x20转换为(x-2)(x-1)(x 1)0第二步：用等号代替不相等的符号来解决所有的根。例如：(x-2)(x-1)(x 1)=0的根x1=2，x2=1，x3=-1步骤3:在数轴上从左到右标记每个根。例如：-1 1 2第四步：画一条穿过根的线：以数轴为标准，从“最右根”的右上角穿过根，再向左画一条线，然后再穿过“第二个右根”，一个接一个地穿过每个根。第五步：观察不相等的符号。如果不相等的符号是，取数值轴以上和根线以内的范围。如果不相等的符号是 ，那么取数值轴以下和根线以内的范围。如果x的次数是偶数，它就不会通过，也就是说，它不会超过偶数。例如：如果找到(x-2)(x-1)(x 1)0的根。在数轴上标记根：-1 1 2画一条线：从右上角开始。因为不相等的符号是 ，所以取数字轴以上和跟线以内的范围。那就是：-12。序列轴根标记法解题常见错误分析当高阶不等式f (x) 0(或 0(或0)的左分子和分母可以分解成几个主要因子的乘积(x-a1) (x-a2) (x-an)的形式，每个因子的根可以在数轴上标记形成几个区间，最右边的区间f (x)、 (x)/h (x)的值必须是正值，通常正值和负值从右到右交替这种解决不等式的方法为了形象地反映当前负值的变化规律，可以从右上方开始依次画一条波浪线穿过每个对应点，穿过最后一点后方向不变。如图1所示，这种绘图方法通常被称为“穿针方法”。使用序数轴根法求解不等式时，经常会出现以下错误：1.当有(A-X)形式的因素时，赶紧“穿针引线”。例1解决了不等式x (3-x) (x 1) (x-2) 0。x (3-x) (x 1) (x-2) 0的解是通过标记每个根-1，0，将原不等式解转化为x (x-3) (x 1) (x-2) 0。每个根-1、0、2和3依次标在数轴上。从图1可以看出，原不等式的解集是x |-1 x 0或2 x 3。2.当重根出现时，机械地“穿针引线”例2求解不等式(x 1) (x-1) 2 (x-4) 3 0该解在数轴上标记了三个根-1、1和4，这是从图2中获得的。原不等式的解集是x | x -1或1 x 4。这个解决方案也是错误的。故障在于“没有分析就机械地穿针”。当有几个相同的根时，绘制的波浪线在遇到“偶数”点(即对应于偶数个相同根的点)时不能穿过数字轴，但仍然在数字轴的同一侧折回。只有当它遇到“奇数”点(即对应于奇数个相同根的点)时，它才能穿过数轴。正确的解决方案如下：解决方法是在数轴上标记三个根-1，1和4。如图3所示，绘制了穿过每个相应点的波浪线图。当x=1时，波浪线不通过数轴，而是在数轴的同一侧折回。只有当点x=4通过数轴时，才能得到不等式的解集。x |-1 x 4且x 13.当有一个二次因子不能再分解时，干脆放弃“穿针引线”例3求解不等式x (x 1) (x-2) (x 3-1) 0解的原始不等式被转化为x (x 1) (x-2) (x-1) (x 2 x 1) 0。有些学生认为，当同样的解在这里变换时，不能使用序数轴根标记法，因为序数轴根标记法表明它要分解成主要因素的乘积。事实上，根据次要因素的符号，可以将其消除，然后可以使用序数轴根标