数值分析_1ppt课件

数值分析,计算机学院软件部王贵珍Tel:(o)68914322,(mmail：gzwangAddress:中心教学楼906#（软件教研室）,1,课程内容,第一章数值计算中的误差第二章方程（组）的迭代解法第三章解线性方程组的直接解法第四章解线性方程组的迭代法第五章插值法第六章数值积分与数值微分,2,第一章数值计算中的误差,3,本章内容,1计数与数值2舍入方法与有效数字3算术运算中的误差4算法举例5数值计算中的误差6误差分配原则与处理方法,4,2舍入方法与有效数字,5,2舍入方法与有效数字2.1绝对误差与相对误差,近似数a的绝对误差，设a是精确值A的近似值，=aA绝对误差限|=|aA|(上界)由上式可推知aAa+，也可表示为A=a,简称误差,6,相对误差：绝对误差与精确值之比=/A。实际计算/a。代替后误差,相对误差限|=|/a|/|a|(上界)绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时亦用百分比、千分比表示。,2舍入方法与有效数字2.1绝对误差与相对误差,7,例：计算绝对误差与相对误差(1)a=0.3100*101近似精确值A=0.3000*101(2)a=0.3100*10-3近似精确值A=0.3000*10-3，解：(1)=0.1，(2)=0.1*10-4，,2舍入方法与有效数字2.1绝对误差与相对误差,=0.033=3.3%=0.033=3.3%,8,例：用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度a=312mm和b=24mm，问：(1)a、b的绝对误差限、相对误差限各是多少？(2)两直杆实际长度x和y在什么范围内？,解：,2舍入方法与有效数字2.1绝对误差与相对误差,9,舍入方法:将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法,A=a0a1am.am+1am+n+0.00am+n+1,2舍入方法与有效数字2.2舍入方法,10,取a=a0a1am.am+1am+n,|aA|0.00am+n+10.00999.0.001=110n,截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位的1个单位。,2舍入方法与有效数字2.2舍入方法2.2.1截断法,11,四舍情况，当am+n+1=0,1,2,3,4时，取a=a0a1am.am+1am+n,|aA|0.00am+n+10.00499.0.005=0.510-n,0,1,2,3,4,2舍入方法与有效数字2.2舍入方法2.2.2四舍五入法,绝对误差限=0.510-n,12,五入情况当am+n+1=5,6,7,8,9时，取a=a0a1am.am+1(am+n+1),|=|aA|=0.0010.00am+n+10.0010.0050.=0.510-n,5,6,7,8,9,2舍入方法与有效数字2.2舍入方法2.2.2四舍五入法,绝对误差限=0.510-n,13,四舍五入到小数点后第n位的方法:|0.510-n=0.510-n结论：凡是由准确值经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。,2舍入方法与有效数字2.2舍入方法2.2.2四舍五入法,14,例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y经过四舍五入而得到的近似值，问:a、b的绝对误差限、相对误差限各是多少？,解：,2舍入方法与有效数字2.2舍入方法2.2.2四舍五入法,15,定义：如果近似数x的绝对误差不超过某一位数字的半个单位，则称x准确到这一位；从该位数字到第一位非零的所有数字均叫做有效数字；若共有n位数字，则称x具有n位有效数字。若近似数x的绝对误差不超过最末一位的半个单位，则称x为有效数。,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,推论1对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。,由准确值经过四舍五入得到的近似值是有效数。,16,例：设x*=2.40315是精确值x=2.40194的近似值，则x*有几位有效数字？,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,0.510-2,解：|=|2.40315-2.40194|=0.00121x*有3位有效数字。,17,推论2有效数的相对误差限为,有效数位越多，相对误差就越小。,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,证明：令有效数A=a0a1am.am+1am+n,18,例：计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%？,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,解：Sin1.2=0.932039设取n位有效数字则：510-n/90.01%10-n1.410-4n4取4位有效数字。,19,注1：从有效数x的最末位数字向左到x的第一位非零数字均为有效数字。,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,由准确值经过四舍五入得到的近似值为有效数，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。,例：x=1.315416876,如果取作1.32，则有三位有效数字,误差限0.005;如果取作1.3154，则有五位有效数字,误差限为0.00005。0.0035290.00352900,20,注2：浮点数的有效数字由其定点部分的有效数位确定。,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,例：有效数x=1510-5,定点部分15有2位有效数字x有2位有效数字误差限为0.510-5相对误差限为有效数y=7.83105y有3位有效数字,，误差限为0.005105=0.5103,21,例：下列近似值的绝对误差限都是0.005:a=1.38，b=-0.0312，c=0.8610-4，d=0.86104问：各个近似值有几个有效数字？从小数点后第二位开始数起解：a:n=3(1,3,8)b:n=1(3)c:n=0（没有有效数字）d:n=6（8,6,0,0,0,0）,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,22,注3：若已知数x及其误差限，要求确定其有效数位并对x作舍入处理。,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,将扩大成0.510-k，对x舍入到小数点后k位。例：x=2.45648,其误差限0.000789456。0.0007894560.510-2x=2.45648，有3位有效数字。舍入处理为x=2.46。,x=2.46不是有效数。其误差包含了舍入误差与原误差。,23,注4：若要求近似数x的误差限小于，确定x取几位有效数字。,2舍入方法与有效数字2.3有效数字,将缩小成0.510-k，对x对应的精确数舍入到小数点后k位得到x。例：要求x的误差限小于=0.00045。0.510-40.00045x取至小数点后第4位。,24,2.1绝对误差与相对误差设A是精确值，a是近似值，绝对误差=aA绝对误差限|=|a-A|(上界)相对误差=/A相对误差限=/|A|(上界)绝对误差和相对误差有关系=a,2舍入方法与有效数字小结,25,2.2舍入方法截断法:绝对误差限为最末位的1个单位四舍五入法:绝对误差限为末位的半个单位,2舍入方法与有效数字小结,26,我们希望所表示的数本身就能显示出它的准确程度，于是引入2.3有效数字反映绝对误差限有效数的绝对误差限为最末数字的半个单位由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字在讲了有效数字之后，规定，所写出的数都应该是四舍五入到最后一位有效数字位。,2舍入方法与有效数字小结,27,本章内容,1计数与数值2舍入方法与有效数字3算术运算中的误差4算法举例5数值计算中的误差6误差分配原则与处理方法,28,3算术运算中的误差,29,x*，y*为准确值，x，y为其近似值绝对误差为：x=x-x*，y=y-y*绝对误差限为:|x-x*|x,|y-y*|yC=xyC=CC*=(xy)(x*y*)(x-x*)(y-y*)=xy|C|x|+|y|x+y,和差运算的绝对误差限为各数的绝对误差限之和。,3算术运算中的误差3.1加减运算,C,30,例1.1：求有效数285.35，196.87，58.43，4.96的和。,和545.61的绝对误差限为:,4(0.510-2)=0.02,545.61有4位有效数字，舍入处理为545.6,3算术运算中的误差3.1加减运算,0.05,31,例1.2:求有效数3.150950，15.426463，568.3758，7684.388的和。,0.5*10-2,和=8271.34,误差限,3算术运算中的误差3.1加减运算,32,和的绝对误差限为3*(0.5*10-4)+0.5*10-3=0.000650.005和=8271.34,3算术运算中的误差3.1加减运算,33,3算术运算中的误差3.2乘积运算,若多元函数f在其定义域内的一点(x1,x2,xn)可微，则f在该点的增量可表示为：或,34,3算术运算中的误差3.2乘积运算,x*,y*为准确值,x,y为其近似值绝对误差为:x=x-x*,y=y-y*绝对误差限为:|x-x*|x,|y-y*|yC=xydC近似C，dxx，dyy。,|C|y|x|+|x|y|y|x+|x|y,dC=xdy+ydx,C=yx+xy,35,乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和；乘积运算的相对误差限为各乘数相对误差限之和。,3算术运算中的误差3.2乘积运算,|C|y|x|+|x|y|y|x+|x|y,C=x+y,C,|C|=|x+y|=|x|+|y|x+y,36,商运算的相对误差限等于除数与被除数的相对误差限之和。,3算术运算中的误差3.3商运算,C=x+y,37,例1.4：求有效数25.7和3.6的商以及商的相对误差限和绝对误差限。,解：,C0.05/25.7+0.05/3.6=0.016,C=25.7/3.6=7.13889,C=7.13889*0.016=0.110.5,3算术运算中的误差3.3商运算,25.7/3.6=7,38,3算术运算中的误差3.3幂运算,幂运算的相对误差等于底数相对误差的指数倍幂运算的相对误差限等于底数相对误差限的指数倍,|c|=p|x|,39,(1)误差与计算次数成正比简化计算步骤，减少运算次数。例：计算多项式的值,如果改写为：,运算次数：乘法：n+(n-1)+1=n(n+1)/2加法：n,运算次数：乘法：n加法：n,3算术运算中的误差3.4运算时需要注意的地方(1)减少运算次数,40,(2)防止大数吃小数的情况数量级相同的先运算在计算机内，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。,103(0.8961)+10-3(0.4688),103(0.8961)+103(0.0000)004688,可能结果：a+b+ca+c+b例：a=1012，b=10，c=-a,3算术运算中的误差3.4运算时需要注意的地方(2)防止大数吃小数,41,例如计算采用3位浮点数的截断方式进行运算,从左到右的次序计算得y=2.91,从右到左的次序计算得y=2.93,避免这种情况,按绝对值从小到大的次序相加。,3算术运算中的误差3.4运算时需要注意的地方(2)防止大数吃小数,42,(3)两个相近数相减，易失有效位两正数之差C=x-y的相对误差限是因为x和y的前几位有效数字必然相同，相减之后有效数字位会大大减少，使有效数字严重损失例如：cos20=0.9994，1cos20=0.0006避免这种情况，可以使用转换公式；或者增加字长，维持一定有效位，保证精度。,3算术运算中的误差3.4运算时需要注意的地方(3)禁止相近数相减,43,(4)当商运算的分母很小时，|c|可能很大,分子舍入误差,放大了106倍,3算术运算中的误差3.4运算时需要注意的地方(4)禁止除数过小,例：分母0.000001,44,(5)当分母为两个相近数相减时,会因有效数字丧失而出现(4)的情况,这里分子的误差被扩大104倍,3算术运算中的误差3.4运算时需要注意的地方(4)禁止除数过小,45,在各种数学模型中,它们的解与x1,x2,xn有关,可以记为y=f(x1,x2,xn)假定f在点(x1,x2,xn)可微，则当数据误差较小时，解的误差限可估计如下：,3算术运算中的误差3.5数学问题解的误差估计,f,46,解的相对误差限如下：,公式仅当xi较小时才合宜,否则f或f按xi为线性迭加进行估计，实际为非线性变化系数Ai、Bi的大小可以衡量解对数据误差的敏感程度,3算术运算中的误差3.5数学问题解的误差估计,f,47,例已知球体的直径D=3.7cm,按v=D3/6计算体积，求其绝对误差限与相对误差限,3算术运算中的误差3.5数学问题解的误差估计,解：取=3.14=0.0016D=0.05,取310,V=8.440.0016+21.50.05=1.088,5,48,例设f(x,y)=cosy/x，x=1.300.005，y=0.8710.0005，如果用u*=f(1.30,0.871)作为f(x,y)的近似值，则u*有几位有效数字？,3算术运算中的误差3.5数学问题解的误差估计,解：u*=cos0.871/1.30=0.49543,有2位有效数字,=0.0022,0.005,49,本章内容,1计数与数值2舍入方法与有效数字3算术运算中的误差4算法举例5数值计算中的误差6误差分配原则与处理方法,50,4算法举例,51,例1.8计算,解:(1)算法1。分子分母分别计算后相除(取9位小数),A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012=0.000000009(有舍入),B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135=0.000000051(有舍入),A=B=0.510-9,取D=0.2,4算法举例,D=A/B=0.17647,下页,52,(2)算法2。分成三组因子,每组只取六位小数计算a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入)b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012/0.0135=0.088889(有舍入)D=1.666667*1.144000*0.088889=0.169482,4算法举例,D=0.0000003+0.0000056=0.0000059D=0.169482D=1.010-60.510-5,上页,取D=0.16948,真值为0.16948148,53,例1.9:试用5位有效数字及Taylor公式计算e-5.5的值,n,8*(0.5*10-3)=0.0040.5*10-2,4算法举例,54,改变算法计算例1.9先计算x=5.5的部分级数,再求倒数,n,n,15.5000106.980912.692215.125820.768327.730730.208438.13,n,170.010842160.033511150.097486140.26587130.6767601.0000121.5997113.4902,4算法举例,638.45541.94,0.0108420.0443530.141840.407711.08452.08453.68427.1744,12.67419.65432.34647.47168.23995.969126.18164.30,202.74244.70,3(0.510-6)+2(0.510-5)+2(0.510-4)+6(0.510-3)+2(0.510-2)0.024,商1/244.70的值0.0040866367具有相对误差限|0/1+0.024/244.70=0.000098|0.00408663670.0000980.410-60.5*10-3,80,2.近似式的项数已定而字长待定估算余式Rn的大小令=Rn,按照1可确定数值字长3.总误差给定，要求确定项数和数值字长应取=Rn=/2，按照Rn的大小，确定项数在计算公式和已定情况下，按照1可确定数值字长,6误差分配原则与处理方法6.2误差配置的处理方法,81,解：取Rn=/2=0.0005,=/2=0.0005设计算公式为,y=1/x5,则截断误差估计如下,6误差分配原则与处理方法6.2误差配置的处理方法,例:求,的值，总误差要求为,82,令Rn0.0005则n应