（精选幻灯片）傅里叶.ppt

利用三角函数的周期性来展开周期函数,一.傅里叶(Fourier)级数,周期函数的傅里叶展开；奇函数和偶函数的傅里叶展开；有限区间中的函数的的傅里叶展开；复数形式的的傅里叶展开。,傅里叶变换,1,复变函数项级数,幂级数,2,要通过三角函数表示f(t)，则必须a.改变三角函数的周期为2l。b.组合各种三角函数来表现f(t)。这就是傅里叶级数。,1.周期函数的傅里叶展开,周期为2l的函数f(t)满足,3,三角函数族：,4,不同的函数形式由不同的组的和表示。,a.2l周期性,b.按三角函数族展开,此为傅里叶级数展开.,(1.1),5,三角函数族具有正交性,6,因此,此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。,7,函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致,狄里克雷定理,若函数f(t)满足条件(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数(1.1)收敛，且,8,9,2.奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数，,是偶函数。,故奇函数f(t)有,10,偶函数f(x)有,11,3.有限区间中的函数的的傅里叶展开,f(t)定义于(0,l).,可以认为它是某个周期为2l的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为g(t),在半周期(0,l)中g(t)=f(t).这种做法叫延拓。,12,例,偶延拓,奇延拓,13,4.复数形式的的傅里叶级数,14,其中,15,二.傅里叶积分与傅里叶变换,有限区间的函数可以延拓为周期函数。而任何一个非周期函数f(t)(定义域R)。从方便研究而言，它又可以看作为以2l为周期的函数g(t)当l趋于无穷大的函数。,设g(t)为周期函数，有如下傅里叶展开,1.傅里叶积分,16,其中,17,令：,18,傅里叶积分公式,(2.1),19,故,其中,(2.2),(2.3),(2.2)是f(t)的傅里叶积分公式的三角形式,20,傅里叶积分定理：若函数f(t)在区间上满足条件(1)在任意有限区间满足狄里克雷条件,(2)在区间上绝对可积（即收敛）,则f(x)可表为傅里叶积分，且,傅里叶积分值=,连续点间断点,21,3.奇、偶函数的傅里叶积分,偶函数,奇函数,22,例,定义矩形函数为,23,将矩形脉冲展开作傅里叶积分。,偶函数,24,25,26,像函数,像原函数,27,表示为,原函数到像函数的变换,像函数到原函数的逆变换,28,偶函数,29,奇函数,30,例1求矩形脉冲函数的傅氏变换及其积分表达式。,31,32,33,34,5.傅里叶变换的基本性质,(1)线性性质,35,证明：,(2)（微分性质）导数定理,#,36,证明：,(2)象函数的导数公式,37,记,则,由微分性质,即,#,(3)积分定理,38,(3)相似性定理,证明,39,(4)位移定理,40,(5),像函数的位移性质,41,(6)卷积定理,原函数的卷积与像函数的乘积间的关系,42,卷积定义：,卷积定理很多时候这样反过来用,43,证明,44,6.函数（单位脉冲函数）,作为广义函数的引入,对于任何一个无穷次可微的函数f(x)，如果满足,其中,45,(1)筛选性质,证明：（利用积分中值定理）,46,(2)其它性质,证明,47,单位阶跃函数,证明,48,49,7.傅里叶变换举例,50,7.傅里叶变换举例,51,52,53,54,55,56,57,58,59,三.傅里叶变换的应用,60,象原函数(方程的解),象函数,微分积分方程,象函数的代数方程,61,例1积分方程的解，其中,解：,为的