三重积分的几种计算方法_第1页
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文档简介

.,当R3，有X=(x,y,z),d=dv,则,三重积分,1.直角坐标系下三重积分的计算,直角坐标系下，记体积元素,dv=dxdydz,则,三重积分,.,(1)化成一个定积分和一个二重积分,设D为在xy平面上投影区域.,y=y1(x),b,a,y=y2(x),.,例1.计算,其中是由平面x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,解：D:0y1x,0x1,.,例2.计算,其中是由抛物,柱面,及平面y=0,z=0,解：D:0y,0x,.,y=y1(x,z),z,0,y=y2(x,z),Dxz,y,x,.,x=x2(y,z),z,0,x=x1(y,z),Dyz,y,x,.,例3.将,化为三次定积分，其中,是由z=x2+y2和z=1所围的闭区域.,解：先对z积分，将向xy平面投影.,z=x2+y2,x2+y2=1,D:x2+y21,z=1,z=1,.,x,y,z,0,1,Dxy,z=1,z=x2+y2,.,解2：先对y积分，将向xz平面投影：,z=x2+y2,Dxy:x2z1,z=1,1x1,z=x2+y2,.,(2)化为一个二重积分和一个定积分,:(x,y)D(z),z1zz2,.,例4.计算,其中是由z=x2+y2和z=1,所围成的闭区域.,解：D(z):x2+y2z,z0,1,.,例5.计算,解：D(x):0y1x,0z1xy,x:0x1,其中是由平面x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,.,2.利用柱面坐标计算三重积分,M(r,z),x=rcos,y=rsin,z=z,(0r+,02,z+),r,z,M,y,x,.,柱面坐标的三组坐标面分别为,r=常数,=常数,z=常数,.,=r,故dxdydz=rdrddz,.,例1.计算,其中由,与z=1所围闭区域.,解：,D:x2+y21,z=r,z=r,z=1,.,D,.,例2.计算,=(x,y,z)|x2+y2+z21,z0.,解：,D:x2+y21,.,例3.再解例1,其中是由,与z=1所围闭区域.,解：用=截得D(),而02故,原积分=,.,x,z,y,.,例4.再解例2,其中=(x,y,z)|x2+y2+z21,z0.,解：用=截得D(),而02故,原积分=,.,x,y,z,0,.,3.利用球面坐标计算三重积分,M(r,),x=OPcos,z=rcos,(0r+,0,02),y=OPsin,=rsincos,=rsinsin,.,球面坐标的三组坐标面：,r=常数,=常数,=常数,dxdydz=r2sindrdd,.,例5.计算,其中=(x,y,z)|x2+y2+z21,z0.,解：x2+y2+z2=1r=1,而02故,用=截得D(),原积分,.,x,y,z,0,z,.,例6.,和x2+y2+z2=a2所围成闭区域.,解：x2+y2+z2=a2r=a,原积分,.
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