（精选）ch9-3(4格林公式及其应用).ppt

一、Green公式,二、平面曲线积分与路径无关的条件,Ch9-3格林公式及其应用,1,区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,2,一、格林公式,定理1,3,边界曲线L的正向当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边。,4,证明(1),5,同理可证,6,(2),两式相加得,7,8,G,F,(3),由(2)知,9,10,L,（1）简化曲线积分,简单应用,11,12,（2）简化二重积分,13,14,（,例3计算,解可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。,从到,（,15,16,解,17,18,(注意格林公式的条件),19,还可将结论更一般化（略）,小结（1）L是D的边界，在D上,简单，而且,易于计算时，可应用格林公式计算,注此例中所作的辅助圆l是否一定要是D内的圆周（即r充分小）？,20,（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：,要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。,21,其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点”）,例5计算逆时针方向。,解,22,除原点外处处有,取,逆时针方向，则,23,（3）计算平面面积,24,解,25,26,B,A,如果在区域G内有,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,27,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:,(1)沿中任意光滑闭曲线,有,(4)在内每一点都有,28,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则,(根据条件(1),29,证明(2)（3）,在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点,与路径无关,有函数,30,证明(3)（4）,设存在函数使得,则,在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,31,证明(4)（1）,设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,32,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,3)可用积分法求在域D内的原函数:,33,例7计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,34,例8验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)，使,。,。,35,例9验证,在右半平面内存在原函,数,并求出它.,证令,则,由定理2可知存在原函数,36,或,37,内容小结,1格林公式,2等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲线L有,在D内有,设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数,则有,38,思考与练习,1设,且都取正向,问下列计算是否正确?