四川大学自动控制原理课件 第四章 根轨迹法.ppt

第四章根轨迹法,经典控制理论的两大代表性方法之一W.R.Evans1948年提出根据开环传递函数，分析改变系统参数对闭环极点的影响,本章主要内容,根轨迹基本概念绘制根轨迹的基本依据及规则参数根轨迹串联校正的综合（自学）,4-1.根轨迹基本概念,开环传递函数的某一参数从0变到时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。,根轨迹的定义：,常规根轨迹,参数根轨迹,例：,由根轨迹图分析:.稳定性因为根轨迹全部位于左半平面，故闭环系统对所有的0都是稳定的。.稳态性能开环传函有一个位于坐标原点的极点I型系统阶跃响应的稳态误差为0；闭环极点确定K确定其他响应的稳态误差确定。,暂态性能02阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？,特征方程为：1+G(s)H(s)=0即：G(s)H(s)=-1,相角条件,4-2.绘制根轨迹的基本依据和条件,幅值条件,零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：,相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据幅值条件主要用于特征根s确定时求Kg,幅值条件和相角条件的几何意义,4-3.绘制根轨迹的基本规则,二根轨迹的对称性,特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此根轨迹对称于实轴。,三根轨迹的起点和终点,起点对应于时的特征根位置，终点则对应于时的特征根位置。,一根轨迹的分支数,根轨迹的分支数=n，与开环极点数相同。,特征方程可改写为,当，必有，即起点是开环极点；当，必有，即开环零点是终点。,对于控制系统，一般nm（有n-m个无穷远处零点），所以有m条根轨迹终止于m个开环零点，剩下的n-m条根轨迹将趋于无穷远处（终止于n-m个无穷远处零点）。如前面的二阶系统，起点：0，-2，无零点，n=2，m=0，n-m=2，两条根轨迹,四实轴上的根轨迹,在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。,依据：共轭复数零、极点到s1的相角之和为0，相互抵消；实轴上s1点左侧的开环零、极点提供的相角为0，而右侧的相角均为180。,例：,有三个极点，根轨迹有三条分支,n=3,m=2有-条根轨迹，条终止于开环零点。,实轴上右边开环零、极点数目之和为奇数的线段为根轨迹,仿真结构图,取Kg=2,5,10,50,系统的单位阶跃响应,Kg=2,Kg=50,Kg=5,Kg=10,Kg极点与虚轴距离，2个极点零点（偶极子）快速性,五根轨迹的渐近线,根轨迹中（nm）条趋向无穷远处分支的渐近线的倾角为,渐近线的交点总在实轴上，即必为实数共轭复数零、极点的虚部相互抵消计算时只须代入开环零、极点的实部,.渐近线与实轴的交点,例：,求根轨迹。,解：在s平面中确定开环零、极点的位置；,j,确定实轴上的根轨迹；,n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向无穷远处；,确定渐近线的位置,六.分离点和会合点,两条根轨迹分支在平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。,求解：,特点：Kg在分离点上取极值，或特征方程有重根。,注：两式等价，只须用其中之一，且只是必要条件,续前例：求分离点上的坐标。系统的特征方程为即,上式的根,分离点在至-之间，应取s1=-0.423,用幅值条件确定分离点的增益：,七.根轨迹与虚轴的交点,在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出现虚根。,计算：（1）将s=j代入特征方程求解；（2）利用劳斯判据确定（见教材）。,续前例，将代入特征方程。,利用MATLAB绘制根轨迹图,Command：a=zpk(,0,-1,-2,1)rlocus(a),或a=tf(1,1320),利用MATLAB根轨迹图获取信息,Command：a=tf(1,1320)rlocus(a)sgrid,绘制等阻尼比线,仿真结构图,取Kg=0.2,0.385,0.5,1,5,（分离点）,（=0.84）,（=0.51）,（=0.035）,系统的单位阶跃响应,Kg=0.2,Kg=0.385,Kg=5,Kg=0.5,Kg=1,八.根轨迹的出射角和入射角,出射角：根轨迹离开开环极点的切线方向与正实轴方向的夹角入射角：根轨迹到达开环零点的切线方向与正实轴方向的夹角,出射角和入射角的计算：,则开环零极点分布及实轴上的根轨迹如图,如何从p2,3出发并趋向z2,3？,根轨迹从p2出发的出射角:,根轨迹到达z2的入射角:,j,根轨迹图,响应性能与Kg的关系?,仿真结构图,取Kg=0.5,1,5,10,20,50,系统的单位阶跃响应,Kg=0.5,Kg=1,Kg=5,Kg=20,Kg=10,Kg=50,九.特征方程的根之和=开环极点之和（n-m2）,计算时只须代入实部,上式说明当某些根轨迹向左移动时，必有另一些根轨迹向右移动（见前面例）；还可用于求解一个未知实数极点（其他已知时）。,闭环极点及传递函数的确定：,根据性能要求确定主导极点由主导极点确定根轨迹增益由根轨迹增益和已确定的极点计算其他闭环极点,要求一对主导极点的阻尼比=0.707,续前例：,1.画出线并确定主导极点,2主导极点处对应的增益值用幅值条件求,如何用计算的办法确定主导极点及其对应的Kg？,分别令实部和虚部为零，可得,虚部实部时如何求？,3求另一个闭环极点,若为单位反馈系统（H=1），则闭环传函为,4求闭环传递函数,零度根轨迹与根轨迹族的概念,K1从0变到+时，闭环极点的变化轨迹称为零度根轨迹。,零度根轨迹还可用于分析正反馈系统和非最小相位系统（有右半s平面零点或极点）。,有右半s平面零点或极点的系统：,有右半s平面极点的情况同理。,正反馈系统：,根轨迹族：开环传递函数有多个参数变化时，闭环系统极点在s平面上的变化轨迹。,例：已知系统结构图，绘制以为可变参数（从0变到）的根轨迹.,4-4.参数根轨迹,相当于一种反馈校正,（1）系统的开环传递函数与特征方程,特征方程为,（2）以为参变量，特征方程可改写为,即,绘制的根轨迹,（等效开环传函）,等效开环传函与原开环传函所对应的特征方程相同即改写前后的特征方程或特征根等效。,（3）开环极点开环零点,（4）实轴上的根轨迹（5）会合点求，得（6）出射角,若要求闭环极点s1,2=-1，如何求闭环传函？,注意：闭环极点确定后求闭环传函时要用原开环传函Gk，不能用等效开环传函。,求闭环传递函数：,=1,例：,绘制以b为参变量的根轨迹。,特征方程为,绘制以Kb为参数,Gb的根轨迹图（绘制过程略）.,相当于一种串联校正,绘制系统的根轨迹图；分析根轨迹图，估计开环增益或其他参数